#多维随机变量及其分布

#考点定位

• 大纲位置：概率论与数理统计 · 多维随机变量及其分布（数一考点；数二不考概率论）
• 常见题型：由联合分布律/联合密度确定常数、求边缘分布与条件分布、独立性判定、二维均匀与二维正态的概率计算、求 $P\{(X,Y) \in D\}$ 的二重积分、两个随机变量函数的分布（卷积、$\max/\min$）
• 考查频率：高。多维随机变量是概率论解答题的核心舞台，几乎每年一道大题；"联合 → 边缘 → 条件 → 独立 → 函数分布"是贯穿全章的一条主线
• 前置知识：随机变量及其分布（一维分布函数与密度函数、常用分布）；连续部分需要多元函数微分学（分段函数求偏导）与重积分（二重积分换序、极坐标）
• 定位：一维随机变量描述"单指标"，但实际系统往往同时关心多个指标（请求的"时延 + 吞吐"、芯片的"长度 + 宽度"）。本章把随机变量从 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 扩展到 $\mathbb{R}^2$，核心问题只有一个：联合信息 ≥ 边缘信息之和——知道联合分布能推出一切边缘与条件，反之不行

#核心讲解

#二维随机变量与联合分布函数

定义（二维随机变量）：设 $\Omega$ 是样本空间，$X = X(\omega)$、$Y = Y(\omega)$ 是定义在 $\Omega$ 上的两个随机变量，则称向量 $(X, Y)$ 为二维随机变量（二维随机向量）。

定义（联合分布函数）：对任意实数对 $(x, y)$，称

$F(x, y) = P\{X \le x,\ Y \le y\}, \quad x, y \in (-\infty, +\infty)$

为 $(X, Y)$ 的联合分布函数。几何上，$F(x, y)$ 是随机点 $(X, Y)$ 落在以 $(x, y)$ 为右上顶点、向左下无限延伸的矩形区域内的概率。

联合分布函数的四条性质（判断某二元函数能否作为联合分布函数的标准）：

1. 分别单调不减：固定 $y$，$F(x,y)$ 关于 $x$ 单调不减；固定 $x$，关于 $y$ 单调不减；
2. 极限规范：$F(-\infty, y) = 0$，$F(x, -\infty) = 0$，$F(-\infty, -\infty) = 0$，$F(+\infty, +\infty) = 1$；
3. 右连续：关于每个变量分别右连续：$F(x+0, y) = F(x, y)$，$F(x, y+0) = F(x, y)$；
4. 矩形不等式（相容性，一维没有的性质）：对任意 $x_1 < x_2$，$y_1 < y_2$，

$F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) \ge 0$

性质 4 不可省略：存在分别满足 1–3 但不满足 4 的函数（经典的反例构造题），它的含义恰是下面的矩形概率公式非负。

矩形概率公式（二维版"区间减法"）：

$P\{x_1 < X \le x_2,\ y_1 < Y \le y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1)$

推导：对事件做容斥——$\{X \le x_2, y_1 < Y \le y_2\} = \{X \le x_2, Y \le y_2\} - \{X \le x_2, Y \le y_1\}$，左边概率为 $F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)$；再对 $X$ 方向做同样分解即得。记忆方式："加右上、减另外两个、加左下"，与容斥原理结构完全一致。

#边缘分布函数

定义（边缘分布函数）：在联合分布函数中令另一个变量趋于 $+\infty$：

$F_X(x) = P\{X \le x\} = F(x, +\infty) = \lim_{y \to +\infty} F(x, y)$

$F_Y(y) = P\{Y \le y\} = F(+\infty, y) = \lim_{x \to +\infty} F(x, y)$

分别称为 $(X, Y)$ 关于 $X$、关于 $Y$ 的边缘分布函数。"边缘"的含义：把二维联合信息向一个坐标轴投影（对该维度外的所有取值求和或积分）。工程类比：联合分布是二维表的全部数据，边缘分布是按行/按列聚合后的合计——合计能算出来，但由合计还原不出原表。

#二维离散型随机变量

定义（联合分布律）：若 $(X, Y)$ 的全部可能取值是有限对或可列对 $(x_i, y_j)$，则称 $(X, Y)$ 为二维离散型随机变量，其联合分布律为

$P\{X = x_i,\ Y = y_j\} = p_{ij}, \quad i, j = 1, 2, \dots$

性质（确定待定常数的方程来源）：

1. $p_{ij} \ge 0$；
2. $\sum\limits_i \sum\limits_j p_{ij} = 1$。

边缘分布律：按行/按列求和：

$P\{X = x_i\} = \sum_j p_{ij} \triangleq p_{i\cdot}, \qquad P\{Y = y_j\} = \sum_i p_{ij} \triangleq p_{\cdot j}$

记号 $p_{i\cdot}$ 的点"$\cdot$"表示"该下标已求和消掉"。联合分布律习惯写成二维表格，边缘分布律就是最右列与最下行（"边缘"名称的来源）。

求事件概率：把满足条件格子的概率全部相加：

$P\{(X, Y) \in D\} = \sum_{(x_i, y_j) \in D} p_{ij}$

例 1（联合分布律与边缘，模拟题）：盒中有 3 个球，编号 1、2、3。不放回取两次，$X$ 为第一次取到的号码，$Y$ 为两次号码之和。求 $(X, Y)$ 的联合分布律与边缘分布律。

解：$X \in \{1,2,3\}$。给定 $X$ 后 $Y$ 的可能值：取 1 后再取 2 或 3，$Y \in \{3, 4\}$；取 2 后 $Y \in \{3, 5\}$；取 3 后 $Y \in \{4, 5\}$。由乘法公式（第一次概率 $\frac13$，第二次在剩下两球中等可能）：

验证：全部 $p_{ij}$ 之和为 $1$；两个边缘各自成分布律。注意格子 $(2,4)$ 概率为 0——"取 2 后和为 4"意味着第二次也取 2，不放回时不可能，联合表格中必须显式写出 0 格子，这是后续求条件分布不遗漏分支的关键。

#二维连续型随机变量

定义（联合密度函数）：若存在非负二元函数 $f(x, y)$，使得对任意 $x, y$，

$F(x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v)\, \mathrm{d}v\, \mathrm{d}u$

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，$f(x, y)$ 为联合概率密度。

性质：

1. $f(x, y) \ge 0$；
2. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = 1$；
3. 在 $f(x,y)$ 的连续点处，$\dfrac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = f(x, y)$（先对 $x$ 后对 $y$ 求混合偏导，顺序无关紧要）；
4. 区域概率公式（本招最常用）：对平面区域 $D$，

$P\{(X, Y) \in D\} = \iint_D f(x, y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$

特别地，落在 $x$ 轴上或一条直线上的概率为 $0$（二维场合"面积为零的事件概率为零"），因此 $P\{a < X \le b, c < Y \le d\}$ 中不等号开闭可以随意换。

计算要诀：$P\{(X,Y) \in D\}$ = 密度函数在 $D$ 上的二重积分。解题三步走：画出 $D$ 与密度非零区域 $G$ 的交集；确定积分限（必要时换积分次序）；计算。密度非零区域与 $D$ 求交是最容易漏的一步——积分限必须由交集决定，不能只看 $D$。

边缘密度：对另一个变量在整个数轴上积分（"投影"的连续版）：

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\, \mathrm{d}y, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\, \mathrm{d}x$

注意 $f_X(x)$ 的积分限一般是 $x$ 的函数：若 $f(x,y)$ 的非零区域是 $\{(x,y) \mid a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$，则对固定的 $x$，积分区间是 $[g_1(x), g_2(x)]$，且结果要分段标注"仅当 $x \in [a,b]$，否则为 0"。

#二维均匀分布

定义：若 $(X, Y)$ 在平面有界区域 $G$（面积 $S_G$）上等可能取值，即

$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{S_G}, & (x, y) \in G \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

则称 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的二维均匀分布。

核心结论：

$P\{(X, Y) \in D\} = \frac{S_{D \cap G}}{S_G}$

概率 = 面积比，密度函数本身根本不用写出。这是几何概型（见随机事件与概率）的二维版本。注意：边缘分布一般不是均匀分布，除非 $G$ 是矩形（此时两个边缘分别是相应区间上的一维均匀分布，且相互独立——这是均匀分布"矩形区域"考题的隐藏考点）。

#二维正态分布

定义：若 $(X, Y)$ 的联合密度为

$f(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1 - \rho^2}} \exp\left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x - \mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho \frac{(x - \mu_1)(y - \mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(y - \mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right] \right\}$

其中 $\mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R}$，$\sigma_1, \sigma_2 > 0$，$-1 < \rho < 1$，则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$ 的二维正态分布，记作 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)$。

性质清单（五参数的含义与全套结论）：

1. 边缘分布是正态：$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，且边缘分布与 $\rho$ 无关。把 $f(x,y)$ 对 $y$ 积分（配方：把指数上关于 $(y-\mu_2)$ 的二次式配成完全平方）即得一维正态密度。逆命题不成立：两个边缘都是正态，联合分布未必是二维正态（$\rho$ 只在联合正态时才等于相关系数）；
2. $X$ 与 $Y$ 相互独立 $\iff \rho = 0$（仅对二维正态成立！一般分布独立与不相关不等价，见随机变量的数字特征）；
3. $\rho = 0$ 时联合密度可分解为 $f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$（指数上交叉项消失），这正是独立性的解析体现；
4. $X, Y$ 的任意线性组合 $aX + bY$ 仍服从正态分布（期望 $a\mu_1 + b\mu_2$、方差 $a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2 + 2ab\rho\sigma_1\sigma_2$，推导见卷积一节后的例题）。

#条件分布

离散型条件分布律：设 $P\{Y = y_j\} > 0$，则在 $Y = y_j$ 的条件下 $X$ 的条件分布律为

$P\{X = x_i \mid Y = y_j\} = \frac{P\{X = x_i, Y = y_j\}}{P\{Y = y_j\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}, \quad i = 1, 2, \dots$

即联合表格中第 $j$ 列除以该列合计。同理 $P\{Y = y_j \mid X = x_i\} = p_{ij} / p_{i\cdot}$（第 $i$ 行除以行合计）。条件分布律满足非负性与和为 1（每列/每行内部各自归一）。

连续型条件密度：设 $f_Y(y) > 0$，则在 $Y = y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度为

$f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$

同理 $f_{Y \mid X}(y \mid x) = f(x, y) / f_X(x)$。乘法公式与全概率公式的密度版：

$f(x, y) = f_{X \mid Y}(x \mid y)\, f_Y(y), \qquad f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X \mid Y}(x \mid y) f_Y(y)\, \mathrm{d}y$

条件密度对 $x$ 积分得条件下的概率：$P\{a < X < b \mid Y = y\} = \int_a^b f_{X \mid Y}(x \mid y)\, \mathrm{d}x$。注意连续型中 $P\{Y = y\} = 0$，条件密度不能用 $P\{X \le x, Y = y\}/P\{Y = y\}$ 定义，必须经极限过程（考察 $P\{X \le x \mid y < Y \le y + \Delta y\}$ 令 $\Delta y \to 0$）得到上式，考试直接用公式即可。

二维正态的条件分布（重要结论）：设 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)$，则在 $Y = y$ 条件下 $X$ 仍服从正态分布：

$X \mid Y = y \sim N\left(\mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y - \mu_2),\ \sigma_1^2 (1 - \rho^2)\right)$

即条件期望随 $y$ 线性变化（回归直线），条件方差比无条件方差小（给定信息降低了不确定性）。此结论可直接引用做选择题。

例 2（条件密度，模拟题）：设 $(X, Y)$ 的联合密度

$f(x, y) = \begin{cases} 3x, & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

求 $P\{Y \le \tfrac12 \mid X = \tfrac12\}$。

解：先求边缘：$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\, \mathrm{d}y = \int_0^x 3x\, \mathrm{d}y = 3x^2$（$0 \le x \le 1$，否则为 0）。再求条件密度：对 $0 \le x \le 1$，

$f_{Y \mid X}(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)} = \frac{3x}{3x^2} = \frac{1}{x}, \quad 0 \le y \le x$

即在 $X = x$ 条件下 $Y \sim U(0, x)$。故

$P\left\{Y \le \frac12 \,\Big|\, X = \frac12\right\} = \int_0^{1/2} \frac{1}{1/2}\, \mathrm{d}y = 1$

（因为条件分布是 $U(0, \tfrac12)$，$Y \le \tfrac12$ 是必然事件）。错因提醒：条件事件 $\{X = \tfrac12\}$ 概率为 0，但这不是死局——条件密度已经把"概率为零的条件"合理定义好了，直接代入公式即可。

#相互独立性

定义（相互独立）：设 $F(x, y)$ 与 $F_X(x), F_Y(y)$ 分别是 $(X,Y)$ 的联合与边缘分布函数。若对任意 $x, y$ 都有

$F(x, y) = F_X(x)\, F_Y(y)$

则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

判定的三张等价牌（按类型选用）：

1. 离散型：$X, Y$ 独立 $\iff$ 对所有 $(i, j)$：$p_{ij} = p_{i\cdot} \cdot p_{\cdot j}$（每个格子都要验证，一个不成立即不独立）；
2. 连续型：$X, Y$ 独立 $\iff$ 在所有连续点处 $f(x, y) = f_X(x)\, f_Y(y)$；
3. 充分条件（做题利器）：若联合密度（或联合分布律）可写成一元函数之积 $f(x,y) = g(x) h(y)$，且取值区域是矩形（各分量范围互不牵制，可写成 $a \le x \le b, c \le y \le d$ 的形式，边界允许依赖无穷），则 $X, Y$ 独立。反之，若非零区域的边界互相牵制（如 $0 \le y \le x$），必不独立——区域形状本身就否决了独立性。

独立性的性质：

1. 若 $X, Y$ 独立，则对任意一元（可测）函数 $g, h$，$g(X)$ 与 $h(Y)$ 也相互独立（对离散型逐点验证、连续型换元即可证）；
2. 独立 $\Rightarrow$ 不相关（$E(XY) = E(X)E(Y)$，见随机变量的数字特征），但不相关推不出独立；唯一的经典例外是二维正态（独立 $\iff$ 不相关 $\iff \rho = 0$）；
3. 两两独立不等于相互独立（多维场合，见随机事件与概率中事件独立性的同名陷阱）。

例 3（独立性判定，模拟题）：判断下列 $(X, Y)$ 是否独立：

（1）$f(x,y) = \begin{cases} 4xy, & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

（2）$f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 \le x \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

解：（1）非零区域是单位正方形（矩形），且 $f(x,y) = (4x)(y)$ 可分解为 $x$ 的函数乘 $y$ 的函数，由充分条件知独立。（验证：$f_X(x) = 2x$，$f_Y(y) = 2y$，$f_X f_Y = 4xy = f$，且 $\int_0^1 2x\, \mathrm d x = 1$ 规范。）

（2）非零区域 $\{(x,y): 0 \le x \le y \le 1\}$ 是三角形，边界互相牵制，必不独立。可具体验证：$f_X(x) = \int_x^1 8xy\, \mathrm{d}y = 4x(1 - x^2)$，$f_Y(y) = \int_0^y 8xy\, \mathrm{d}x = 4y^3$，取 $x = y = \tfrac12$：$f = 8 \cdot \tfrac14 = 2$，而 $f_X f_Y = 4 \cdot \tfrac12 (1 - \tfrac14) \cdot 4 \cdot \tfrac18 = \tfrac{3}{4} \ne 2$。

错因提醒：第（1）问中若先算 $f_X(x) = \int_0^1 4xy\, \mathrm{d}y = 2x$、$f_Y(y) = 2y$，恰好 $f_X f_Y = 4xy = f$ 成立，但别忘了检查规范性——若密度含待定常数，分解形式满足还需积分等于 1 才是合法密度。

#两个随机变量函数的分布

#和的分布（卷积公式）

问题：已知 $(X, Y)$ 的联合密度 $f(x,y)$，求 $Z = X + Y$ 的密度 $f_Z(z)$。

完整推导（分布函数法）：先求 $Z$ 的分布函数：

$F_Z(z) = P\{X + Y \le z\} = \iint_{x + y \le z} f(x, y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int_{-\infty}^{+\infty} \left[ \int_{-\infty}^{z - x} f(x, y)\, \mathrm{d}y \right] \mathrm{d}x$

（内层积分沿竖直线扫过半平面 $x + y \le z$。）对 $z$ 求导：对内层积分用变限积分求导（上限 $z - x$ 对 $z$ 的导数为 1）：

$f_Z(z) = F_Z'(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z - x)\, \mathrm{d}x$

这就是卷积公式。对称地也有 $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z - y, y)\, \mathrm{d}y$。

独立情形（考试标准形式）：若 $X, Y$ 独立，$f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$，则

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)\, f_Y(z - x)\, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z - y)\, f_Y(y)\, \mathrm{d}y$

记作 $f_Z = f_X * f_Y$（卷积运算，与信号处理中的卷积完全同构——两个独立噪声叠加，输出密度是输入密度的卷积）。

计算操作要点（卷积题的正确率全在积分限）：

1. 写出被积函数 $f_X(x) f_Y(z - x)$，它是 $x$ 与参数 $z$ 的二元函数；
2. 由 $f_X(x) \ne 0$ 的范围（如 $x > 0$）与 $f_Y(z - x) \ne 0$ 的范围（如 $z - x > 0 \iff x < z$）求交集，得到实际积分区间（如 $0 < x < z$，仅当 $z > 0$）；
3. 分段积分，结果按 $z$ 的区间分段写出，每段检查非负、总积分等于 1。

重要结论（正态可加性）：$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$、$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 且独立，则 $X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2,\ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$（用卷积公式配方可证，更快的证法是 $Z$ 服从正态 + 期望方差相加，理由见随机变量的数字特征）。一般地，独立正态的线性组合仍是正态（$aX + bY + c \sim N(a\mu_1 + b\mu_2 + c,\ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$）。同理：独立泊松相加仍是泊松（$\lambda$ 相加）、$[0,1]$ 均匀的独立和不是均匀（趋于钟形）。

例 4（卷积，模拟题）：设 $X, Y$ 独立且同服从 $(0, 1)$ 上的均匀分布，求 $Z = X + Y$ 的密度。

解：$f_X(x) = f_Y(y) = 1$（在 $[0,1]$ 上）。被积函数 $f_X(x) f_Y(z - x) = 1$，非零要求 $0 \le x \le 1$ 且 $0 \le z - x \le 1$（即 $z - 1 \le x \le z$）。

• 当 $0 \le z \le 1$：积分区间 $[0, z]$，$f_Z(z) = \int_0^z \mathrm{d}x = z$；
• 当 $1 < z \le 2$：积分区间 $[z-1, 1]$，$f_Z(z) = \int_{z-1}^1 \mathrm{d}x = 2 - z$；
• 其他：$f_Z(z) = 0$。

验证：$\int_0^1 z\, \mathrm{d}z + \int_1^2 (2-z)\, \mathrm{d}z = \tfrac12 + \tfrac12 = 1$。结果即著名的三角分布（两个均匀噪声叠加后的密度呈三角形）。

#最大值与最小值的分布

设 $X, Y$ 相互独立，分布函数分别为 $F_X(x), F_Y(y)$。记

$M = \max(X, Y), \qquad N = \min(X, Y)$

$M$ 的分布（串联记忆：最大值 ≤ 某数 ⇔ 全部 ≤ 某数）：

$F_M(z) = P\{M \le z\} = P\{X \le z,\ Y \le z\} = P\{X \le z\}\, P\{Y \le z\} = F_X(z)\, F_Y(z)$

第二步用独立性。推导的核心是事件等价 $\{\max(X,Y) \le z\} = \{X \le z\} \cap \{Y \le z\}$。

$N$ 的分布（走对立事件：最小值 > 某数 ⇔ 全部 > 某数）：

$F_N(z) = P\{N \le z\} = 1 - P\{N > z\} = 1 - P\{X > z,\ Y > z\} = 1 - [1 - F_X(z)]\, [1 - F_Y(z)]$

独立同分布简化（$F_X = F_Y = F$）：$F_M(z) = F^2(z)$，$F_N(z) = 1 - [1 - F(z)]^2$。推广到 $n$ 个独立同分布：$F_M = F^n$，$F_N = 1 - (1 - F)^n$——这是系统可靠性模型的数学内核（$n$ 个组件并联取 max，串联取 min；这里的并联/串联指结构，概率上 $M$ 对应"全好才好"）。

注意：求 $M, N$ 的密度时先求分布函数再求导；离散场合直接对分布律逐点计算，不做求导。

例 5（max/min，模拟题）：设系统由两个独立元件构成，寿命 $X \sim E(\lambda_1)$，$Y \sim E(\lambda_2)$（指数分布见随机变量及其分布）。（1）并联系统（一个活着系统就活着）求系统寿命的分布；（2）串联系统求系统寿命的分布。

解：$F_X(x) = 1 - e^{-\lambda_1 x}$，$F_Y(y) = 1 - e^{-\lambda_2 y}$（$x, y > 0$）。

（1）并联系统寿命 $M = \max(X, Y)$：

$F_M(z) = F_X(z) F_Y(z) = (1 - e^{-\lambda_1 z})(1 - e^{-\lambda_2 z}), \quad z > 0$

（2）串联系统寿命 $N = \min(X, Y)$：

$F_N(z) = 1 - e^{-\lambda_1 z} \cdot e^{-\lambda_2 z} = 1 - e^{-(\lambda_1 + \lambda_2) z}, \quad z > 0$

即 $N \sim E(\lambda_1 + \lambda_2)$——独立指数的最小值仍是指数，参数相加（可靠性工程的基本定理；直观理解：两个元件谁先坏，"综合失效率"是失效率之和）。

#离散情形：穷举法（打表）

离散型随机变量的函数 $Z = g(X, Y)$ 没有卷积公式，方法是穷举所有 $(x_i, y_j)$ 组合并归并相同函数值：

1. 对联合表格中每个格子 $(x_i, y_j)$ 计算 $z_{ij} = g(x_i, y_j)$；
2. 把函数值相同的格子的概率相加（归并），得到 $Z$ 的分布律；
3. 检查 $\sum P\{Z = z_k\} = 1$。

例 6（离散函数分布，模拟题）：接例 1 的取球问题（联合表格见例 1），求 $Z = X + Y$ 的分布律。

解：逐格计算 $x + y$：

• $Z = 4$：$(1,3)$，概率 $\tfrac16$；
• $Z = 5$：$(1,4)$、$(2,3)$，概率 $\tfrac16 + \tfrac16 = \tfrac13$；
• $Z = 6$：$(3,3)$ 不可能；$(2,4)$ 概率 0；$(3,3)$ 无——实际格子为 $(3,3)$ 不存在，$(2,4)$ 为 0，故仅 $(1,5)$ 不存在，无贡献；
• $Z = 7$：$(2,5)$、$(3,4)$，概率 $\tfrac13$；$Z = 8$：$(3,5)$，概率 $\tfrac16$。

按表逐格核对：$Z=4$:$(1,3)$；$Z=5$:$(1,4),(2,3)$；$Z=6$:$(2,4)(=0),(3,3)(不存在)$，故 $P\{Z=6\}=0$；$Z=7$:$(2,5),(3,4)$；$Z=8$:$(3,5)$。得

总和为 1，规范。错因提醒：$Z = 6$ 的概率为 0 必须显式写出或说明——漏掉归并"不可能的组合"会把概率表写错。

#常见坑

1. "边缘定联合"幻觉：任意给出两个边缘分布，联合分布不唯一（有无穷多种以它们为边缘的联合分布）。只有附加独立性（$p_{ij} = p_{i\cdot} p_{\cdot j}$）或条件分布信息，才能确定联合。
2. 独立性判定只验部分格子：离散型独立要求每一个格子满足 $p_{ij} = p_{i\cdot} p_{\cdot j}$，找到一个反例即可判不独立；但证明独立必须全验（或用分解 + 矩形区域充分条件）。
3. 密度非零区域是三角形/圆盘时直接判不独立：$f(x,y) = g(x)h(y)$ 型分解要求区域是矩形；区域边界互相牵制（$y \le x$、$x^2 + y^2 \le 1$）时不可能独立，无需计算边缘。
4. 二重积分限错：求 $P\{(X,Y) \in D\}$ 时必须取 $D \cap G$（$G$ 为密度非零区域）；求边缘密度时内层积分限一般是外层变量的函数，结果必须分段并标明"其他为 0"。
5. 二维正态的三个单向箭头：边缘正态 ⇏ 联合二维正态；不相关 ⇏ 独立（一般分布）；二维正态场合三者互通（$\rho=0 \iff$ 独立 $\iff$ 不相关）。选择题最爱在"$X, Y$ 都正态且不相关，问独立吗"上设坑——答案是不能确定，除非已知联合为二维正态。
6. 矩形不等式遗漏：验证二元函数是否为联合分布函数时，只验单调、极限、右连续不够，必须验对任意矩形 $F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1,y_2) + F(x_1,y_1) \ge 0$。
7. max/min 公式用错独立条件：$F_M = F_X F_Y$ 需要 $X, Y$ 独立；不独立时 $P\{X \le z, Y \le z\} \ne F_X(z) F_Y(z)$，只能回到联合分布 $F(z, z)$。
8. 连续型条件概率的 $0/0$：$P\{X \le x \mid Y = y\}$ 不能用定义直接除（分母为 0），必须用条件密度；考试中先算 $f_Y(y)$ 再除。

#自测

1. （概念）一个二元函数满足单调不减、极限规范、分别右连续，它一定是某个二维随机变量的联合分布函数吗？
2. （计算）设 $(X, Y)$ 的联合密度 $f(x,y) = \begin{cases} k(1-y), & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求常数 $k$、边缘密度，并判断独立性。
3. （计算）$X \sim N(0, 1)$，$Y \sim N(1, 2)$ 相互独立，求 $X + Y$ 与 $X - 2Y$ 各自的分布。
4. （应用）三台独立同型号设备，寿命分布函数均为 $F(t)$，求"至少一台寿命超过 $t$"的概率（用 $F$ 表示）。
5. （辨析）$(X, Y)$ 服从二维正态，$X$ 与 $Y$ 不相关，问 $X + Y$ 与 $X - Y$ 是否独立？

#自测答案

1. 不一定。还需满足矩形不等式（相容性）：$F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1) - F(x_1,y_2) + F(x_1,y_1) \ge 0$ 对一切 $x_1 < x_2, y_1 < y_2$ 成立。
2. 规范性：$k \int_0^1 \mathrm{d}x \int_0^1 (1-y)\, \mathrm{d}y = k \cdot \tfrac12 = 1$，故 $k = 2$。边缘：$f_X(x) = \int_0^1 2(1-y)\, \mathrm{d}y = 1$（$0 \le x \le 1$），$f_Y(y) = 2(1-y)$（$0 \le y \le 1$）。$f(x,y) = 1 \cdot 2(1-y) = f_X f_Y$，区域为矩形，独立。
3. 独立正态的线性组合仍是正态：$X + Y \sim N(1, 3)$；$X - 2Y \sim N(-2, 1 + 4 \cdot 2) = N(-2, 9)$。
4. 至少一台超过 $t$ = 1 - 全部不超过 $t$ = $1 - F^3(t)$。（也可记 $M = \max$，$P\{M > t\} = 1 - F^3(t)$。）
5. 独立。二维正态 + 不相关 $\Rightarrow \rho = 0 \Rightarrow X, Y$ 独立。再证 $(X+Y)$ 与 $(X-Y)$ 独立：两者联合服从二维正态（正态的线性变换仍是正态），且 $\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y) = D(X) - D(Y) + \operatorname{Cov}(Y,X) - \operatorname{Cov}(X,Y)$。取具体参数最稳：不妨设 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$ 时 $\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y) = \sigma^2 - \sigma^2 = 0$，不相关，联合正态故独立。一般情形下 $\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y) = \sigma_1^2 - \sigma_2^2$，仅当 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 时独立——此题正确结论依赖于两方差相等，命题时通常默认给出该条件；解题时应计算协方差再下结论，见随机变量的数字特征。