#随机变量及其分布

#考点定位

• 大纲位置：概率论与数理统计 · 随机变量及其常见分布（数一、数三公共考点；几何分布、超几何分布仅数一）
• 常见题型：分布函数的性质判定与求概率、由分布律/密度确定常数、八大常用分布的识别与计算（正态标准化必考）、泊松定理近似、随机变量函数的分布（分布函数法为主、公式法需验条件）
• 考查频率：高。常用分布是选择题主力区，正态分布几乎每年涉及；"函数的分布"是解答题与后续多维分布（卷积）的方法地基
• 前置知识：随机事件与概率（事件的概率、独立性、$n$ 重伯努利试验）；连续型部分需要一元函数积分学（定积分、变限积分求导）与一元函数微分学（分段求导）
• 定位：本章把"事件"升级为"函数"——随机变量是样本点到实数的映射，分布函数是描述一切随机变量的统一接口。八大常用分布是概率论的"数据类型库"，参数（$n, p, \lambda, \mu, \sigma^2$）各自的含义与期望方差必须形成条件反射

#核心讲解

#随机变量与分布函数

定义（随机变量）：设 $\Omega$ 是样本空间。若对每个样本点 $\omega \in \Omega$，都有唯一的实数 $X(\omega)$ 与之对应，则称 $X = X(\omega)$ 为随机变量（严格而言要求对任意 $x$，$\{\omega \mid X(\omega) \le x\}$ 是事件，即"可测"，工科考试不展开此细节，但要知道这个要求存在）。

直观理解：随机变量是给每个试验结果打的"数值标签"。一旦数值化，事件就可以用不等式刻画，如 $\{X \le 5\}$、$\{2 < X \le 4\}$。

定义（分布函数）：设 $X$ 是随机变量，对任意实数 $x$，称

$F(x) = P\{X \le x\}, \quad x \in (-\infty, +\infty)$

为 $X$ 的分布函数。

分布函数是定义在全体实数上的普通实函数，它把随机变量的全部概率信息压缩成一个函数。

分布函数的三条性质：

1. 单调不减：对 $x_1 < x_2$，$F(x_1) \le F(x_2)$；
2. 极限规范：$F(-\infty) = \lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$F(+\infty) = \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
3. 右连续：$F(x + 0) = F(x)$，即 $F(x) = F(x+)$。

充要条件：一个实函数 $F(x)$ 是某个随机变量的分布函数，当且仅当它满足上述三条性质。这是"判断某函数能否作为分布函数"类选择题的唯一标准（结合右连续性逐段检验）。

用分布函数表概率（对 $a < b$）：

$P\{a < X \le b\} = F(b) - F(a)$

$P\{X = a\} = F(a) - F(a - 0) \quad (\text{左极限之差，即该点的跳变高度})$

$P\{X > a\} = 1 - F(a), \qquad P\{X \ge a\} = 1 - F(a - 0), \qquad P\{X < a\} = F(a - 0)$

这组公式的口诀：左开右闭直接减，单独一点看跳变。$P\{X < a\}$ 与 $P\{X \le a\}$ 是否相等，取决于 $a$ 处是否有跳跃，离散型不相等、连续型相等。

#离散型随机变量及其分布律

定义（分布律）****：若随机变量 $X$ 只取有限个或可列个值 $x_1, x_2, \dots$，则称 $X$ 为离散型随机变量**，其概率分布（分布律）为

$P\{X = x_k\} = p_k, \quad k = 1, 2, \dots$

性质（也是确定未知常数的方程来源）：

1. $p_k \ge 0$（非负性）；
2. $\sum_k p_k = 1$（规范性）。

离散型分布函数是阶梯函数：$F(x) = \sum\limits_{x_k \le x} p_k$，在 $x_k$ 处跳跃，跳变高度恰为 $p_k$；两条性质与上一节 $P\{X = a\} = F(a) - F(a-0)$ 联立即可"分布律 ⇄ 分布函数"互推。

#0-1 分布（两点分布）

分布律：$P\{X = 1\} = p$，$P\{X = 0\} = 1 - p$（$0 < p < 1$）。

期望与方差：$E(X) = p$，$D(X) = p(1-p)$（期望、方差的严格定义见后续"数字特征"章，此处先记结论）。

典型场景：任何"单次伯努利试验"的结果：一次抽查是否合格、一次请求是否超时、一个比特是否误码。

#二项分布 $B(n, p)$

背景：$n$ 重伯努利试验中 $A$ 发生的次数（见随机事件与概率的 $n$ 重伯努利一节）。

分布律：

$P\{X = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n$

期望与方差：$E(X) = np$，$D(X) = np(1-p)$。

典型场景：独立重复试验的成功次数——$n$ 次独立请求中的失败数、批量抽查中的次品数（有放回或总体很大近似有放回时）。$n = 1$ 时退化为 0-1 分布。

例 1（二项分布，模拟题）：某接口单次调用出错率为 $0.2$，独立调用 10 次，求恰好 2 次出错的概率。

解：$X \sim B(10, 0.2)$，

$P\{X = 2\} = C_{10}^2 (0.2)^2 (0.8)^8 = 45 \times 0.04 \times 0.1678 \approx 0.302$

最可能值（选择题偶考）：使 $P\{X=k\}$ 最大的 $k$ 为 $k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor$；当 $(n+1)p$ 为整数时，$k_0 = (n+1)p$ 与 $(n+1)p - 1$ 都是最可能值。

#泊松分布 $P(\lambda)$

分布律：

$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots \quad (\lambda > 0)$

期望与方差：$E(X) = D(X) = \lambda$（期望与方差相等是泊松分布的身份证之一）。

典型场景：单位时间/空间内"稀有事件"的计数——单位时间呼叫数、一页书的错字数、单位面积芯片缺陷数、单位时间到达的请求数。

定理（泊松定理）：设 $\lambda > 0$ 为常数，$n$ 为正整数，$n p_n = \lambda$（即 $p_n = \lambda/n \to 0$），则对任意固定 $k \ge 0$：

$\lim_{n \to \infty} C_n^k p_n^k (1 - p_n)^{n-k} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

实用口径：$n$ 大、$p$ 小（经验上 $n \ge 100$，$p \le 0.1$，近似程度随 $np$ 适中而更佳），二项分布可用泊松分布 $P(np)$ 近似：

$C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{(np)^k e^{-np}}{k!}$

例 2（泊松定理近似，模拟题）：某服务每次请求失败率 $2\%$，独立处理 100 次请求，用泊松定理求至少失败 1 次的概率的近似值。

解：$n = 100$，$p = 0.02$，$\lambda = np = 2$。

$P\{X \ge 1\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - (0.98)^{100} \approx 1 - e^{-2} \approx 1 - 0.1353 = 0.8647$

（精确值 $(0.98)^{100} \approx 0.1326$，对应概率 $0.8674$，近似误差不到 $0.3\%$。）套路："至少一次"取对立 $\to$ 只剩 $P\{X=0\}$，近似式最简。

#几何分布 $G(p)$（仅数一）

背景：独立重复伯努利试验直到 $A$ 首次出现所需的试验次数。

分布律：

$P\{X = k\} = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, \dots$

期望与方差：$E(X) = \dfrac{1}{p}$，$D(X) = \dfrac{1-p}{p^2}$。

典型场景：首次成功前的等待次数——第一次丢包前的发送次数、重试直到成功的次数。$E(X) = 1/p$ 与直觉一致：成功率 $p$ 的试验平均 $1/p$ 次成功一次。

性质（无记忆性）：对任意正整数 $s, t$，

$P\{X > s + t \mid X > s\} = P\{X > t\}$

已经失败 $s$ 次的条件下，再等 $t$ 次的概率与从头等 $t$ 次完全相同——几何分布是离散分布中唯一具有无记忆性的分布。快速计算式：$P\{X > k\} = (1-p)^k$（前 $k$ 次全失败）。

#超几何分布 $H(n, M, N)$（仅数一）

背景：$N$ 件产品含 $M$ 件次品，无放回任取 $n$ 件，其中次品数。

分布律：

$P\{X = k\} = \frac{C_M^k\, C_{N-M}^{\,n-k}}{C_N^n}, \quad k = \max(0, n - N + M), \dots, \min(n, M)$

期望与方差：$E(X) = n \dfrac{M}{N}$，$D(X) = n \dfrac{M}{N}\left(1 - \dfrac{M}{N}\right) \dfrac{N-n}{N-1}$。

典型场景：无放回抽样的次品数（与二项分布的分界：有放回 → 二项；无放回 → 超几何；$N \gg n$ 时超几何近似二项 $B(n, M/N)$）。

例 3（超几何，模拟题）：20 件产品中有 5 件次品，无放回任取 4 件，求恰有 1 件次品的概率。

解：$P\{X = 1\} = \dfrac{C_5^1 C_{15}^3}{C_{20}^4} = \dfrac{5 \times 455}{4845} = \dfrac{2275}{4845} \approx 0.47$。

#离散型常用分布总表

记忆钩子：二项"有放回/独立"，超几何"无放回"，泊松"$n$ 大 $p$ 小近似二项"，几何"等到首次"，0-1"一次试验"。

#连续型随机变量及其概率密度

定义（概率密度）：若存在非负可积函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$：

$F(x) = P\{X \le x\} = \int_{-\infty}^{x} f(t)\, dt$

则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数（密度）。

密度的性质（确定常数与判定函数能否作密度的依据）：

1. $f(x) \ge 0$（非负，但可以大于 1，这是与分布律 $p_k \le 1$ 的本质区别）；
2. $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx = 1$（规范性）。

用密度表概率：对 $a < b$，

$P\{a < X \le b\} = \int_a^b f(x)\, dx$

且对连续型，$P\{a < X < b\} = P\{a \le X \le b\} = P\{a < X \le b\} = P\{a \le X < b\}$，因为单点概率为 0：$P\{X = a\} = \int_a^a f = 0$。由此：

• 连续型分布函数 $F(x)$ 必连续（不仅右连续），$P\{X = a\} = F(a) - F(a-0) = 0$；
• 在任意有限个点上改动 $f(x)$ 的值，不改变任何概率与分布函数（积分不受单点影响）——这是选择题高频陷阱；
• 概率为 0 的事件未必是不可能事件（呼应随机事件与概率性质 1 的注记）。

在 $f(x)$ 的连续点处有 $F'(x) = f(x)$，"密度是分布函数的导数、分布函数是密度的变上限积分"，两者互相翻译是本章最频繁的操作。

#均匀分布 $U[a, b]$

密度与分布函数：

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \qquad F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \dfrac{x - a}{b - a}, & a \le x < b \\ 1, & x \ge b \end{cases}$

期望与方差：$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$，$D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$。

典型场景：等可能取值区间内一点——随机舍入误差、缓存过期抖动、随机化算法的初始值。核心性质：$X$ 落在 $[a,b]$ 任一子区间的概率只与长度成正比：

$P\{c < X < d\} = \frac{d - c}{b - a} \quad (a \le c < d \le b)$

这就是几何概型的一维版本（数一）。

例 4（均匀分布，模拟题）：公交车站每 10 分钟发一班车，乘客随机到达（$X \sim U[0, 10]$），求候车超过 6 分钟的概率。

解：$P\{X > 6\} = \dfrac{10 - 6}{10} = 0.4$（或积分 $\int_6^{10} \frac{1}{10} dx$）。

#指数分布 $E(\lambda)$

密度与分布函数：

$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \qquad F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}$

期望与方差：$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$，$D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$。注意参数 $\lambda$ 是率的量纲（单位时间发生强度），均值是它的倒数——"$\lambda = 0.001$（每小时）"意味着平均寿命 $1000$ 小时。

典型场景：等待时间/寿命类模型——元件寿命、两次请求的间隔、客服等待时长（在泊松到达流假设下，间隔时间恰为指数分布）。

性质（无记忆性）：对任意 $s, t > 0$：

$P\{X > s + t \mid X > s\} = P\{X > t\}$

已正常工作 $s$ 小时的元件，再工作 $t$ 小时的概率与新元件相同。指数分布是连续型中唯一具有无记忆性的分布（离散对应几何分布）。

证明：$P\{X > x\} = 1 - F(x) = e^{-\lambda x}$，故

$P\{X > s+t \mid X > s\} = \frac{P\{X > s+t\}}{P\{X > s\}} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P\{X > t\} \qquad \blacksquare$

例 5（指数分布与无记忆性，模拟题）：某元件寿命 $X \sim E(0.001)$（小时）。（1）求寿命超过 1000 小时的概率；（2）已知已正常使用 1000 小时，求再使用 1000 小时的概率。

解：（1）$P\{X > 1000\} = e^{-0.001 \times 1000} = e^{-1} \approx 0.368$。（2）无记忆性：$P\{X > 2000 \mid X > 1000\} = P\{X > 1000\} = e^{-1} \approx 0.368$。若不用无记忆性而误算 $P\{X>2000\} = e^{-2}$，正是命题人预埋的错误选项。

#正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$

密度：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad -\infty < x < +\infty \quad (\sigma > 0)$

曲线关于 $x = \mu$ 对称、在 $x = \mu$ 处取最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$、在 $\mu \pm \sigma$ 处有拐点。记号 $N(\mu, \sigma^2)$ 中第二个参数是方差 $\sigma^2$，不是标准差——$N(2, 9)$ 意味着 $\sigma = 3$，这是第一大坑。

期望与方差：$E(X) = \mu$，$D(X) = \sigma^2$。

典型场景：受大量独立微小因素叠加影响的量——测量误差、加工尺寸、成熟系统的响应时间（中心极限定理的理论支撑，见后续"大数定律与中心极限定理"章）。

标准化：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

其中 $N(0,1)$ 称标准正态分布，其密度 $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$，分布函数记 $\Phi(x)$。一切正态计算都先标准化再查表：

$P\{X \le a\} = P\left\{\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{a - \mu}{\sigma}\right\} = \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$

查表两条要领：

1. 对称恒等式：$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$（表中通常只给 $x \ge 0$）。由标准正态密度关于原点对称直接得出。
2. 常用数值须背：$\Phi(1) = 0.8413$，$\Phi(1.645) = 0.95$，$\Phi(1.96) = 0.975$，$\Phi(2) = 0.9772$，$\Phi(3) = 0.9987$。

3$\sigma$ 原则：正态变量取值落在 $\mu \pm k\sigma$ 内的概率：

即异常值（超 $3\sigma$）概率仅 $0.27\%$——统计过程控制（SPC）控制图的理论依据。

例 6（正态标准化，模拟题）：设 $X \sim N(1, 4)$，求（1）$P\{X \le 3\}$；（2）$P\{-1 < X < 3\}$；（3）常数 $c$，使 $P\{X > c\} = 0.1587$。

解：$\mu = 1$，$\sigma = 2$。

（1）$P\{X \le 3\} = \Phi\left(\frac{3-1}{2}\right) = \Phi(1) = 0.8413$；

（2）$P\{-1 < X < 3\} = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 = 0.6826$（对称区间 $\mu \pm 2\sigma$ 的 3$\sigma$ 表中行）；

（3）$P\{X > c\} = 1 - \Phi\left(\frac{c-1}{2}\right) = 0.1587 \Rightarrow \Phi\left(\frac{c-1}{2}\right) = 0.8413 = \Phi(1) \Rightarrow \frac{c-1}{2} = 1 \Rightarrow c = 3$。

第（3）问的坑：把 $\Phi^{-1}$ 套在 $c$ 上而不是 $\frac{c-1}{2}$ 上。

#连续型常用分布总表

#随机变量函数的分布

设 $X$ 的分布已知（$F_X$ 或 $f_X$），$y = g(x)$ 是已知函数，求 $Y = g(X)$ 的分布。这是本章方法性最强的一节，也是下一章多维卷积的方法基础。

#方法一：分布函数法（万能方法，必须掌握）

完整步骤：

1. 定值域：由 $X$ 的取值范围（支撑集）与 $g$ 的表达式，确定 $Y = g(X)$ 的取值范围，据此划分数轴分段区间；
2. 写事件：对每个分段区间的 $y$，将 $\{Y \le y\} = \{g(X) \le y\}$ 解不等式翻译成关于 $X$ 的事件（形如 $\{X \le h(y)\}$ 或若干区间的并）；
3. 表分布：用 $F_X$（或密度积分）写出 $F_Y(y) = P\{g(X) \le y\}$ 的分段表达式，注意端点归属按"$\le$"检验；
4. 求密度（若需要）：在 $F_Y$ 的可导点求导得 $f_Y(y) = F_Y'(y)$，不可导点（有限个）密度可任意指定。

例 7（分布函数法，模拟题）：设 $X \sim N(0, 1)$，求 $Y = X^2$ 的概率密度。

解：

1. 值域：$Y = X^2 \ge 0$；
2. 对 $y > 0$，$\{Y \le y\} = \{X^2 \le y\} = \{-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}\}$；
3. 分布函数：

$F_Y(y) = P\{-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}\} = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1, \quad y > 0$

（$y \le 0$ 时 $F_Y(y) = 0$。）

4. 求导（$y > 0$）：

$f_Y(y) = F_Y'(y) = 2\varphi(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, y^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad y > 0$

即 $Y \sim \chi^2(1)$（$\chi^2$ 分布自由度 1 的特例，"数理统计的基本概念"一章会正式展开）。注意 $g(x) = x^2$ 在 $X$ 的支撑集上不单调，公式法在此失效，只能老老实实走分布函数法。

#方法二：公式法（有条件，先验条件再用）

定理：设 $X$ 为连续型，密度 $f_X(x)$，$y = g(x)$ 在 $X$ 的支撑集（区间 $(a,b)$）上严格单调、可导且 $g'(x) \ne 0$，其反函数 $x = h(y)$，$\alpha = \min\{g(a), g(b)\}$，$\beta = \max\{g(a), g(b)\}$，则 $Y = g(X)$ 的密度为

$f_Y(y) = \begin{cases} f_X\left(h(y)\right) \left|h'(y)\right|, & \alpha < y < \beta \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

使用条件必须逐条验：严格单调、可导、导数不为零。任一条不满足（如 $Y = X^2$ 在含 0 的区间上），必须退回分布函数法。忘记 $\left|h'(y)\right|$ 的绝对值、忘记限定 $y$ 的范围（$\alpha < y < \beta$）是两大高频错误。

例 8（公式法，模拟题）：设 $X \sim U(0, 1)$，求 $Y = -\ln X$ 的分布。

解：$g(x) = -\ln x$ 在 $(0,1)$ 上严格递减、可导、$g'(x) = -1/x \ne 0$，满足公式法条件。反函数 $x = h(y) = e^{-y}$，$h'(y) = -e^{-y}$，$y \in (0, +\infty)$。故

$f_Y(y) = f_X(e^{-y}) \left|-e^{-y}\right| = 1 \cdot e^{-y}, \quad y > 0$

即 $Y \sim E(1)$。这个结论在"模拟/随机数生成"里就是逆变换采样法的原理：均匀随机数经 $-\ln$ 变换得到指数随机数。

#正态分布的线性函数（重要结论，当作定理背）

定理：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则对任意常数 $a \ne 0$、$b$：

$Y = aX + b \sim N\left(a\mu + b,\ a^2\sigma^2\right)$

证明思路（分布函数法一遍即可验证）：以 $a > 0$ 为例，

$F_Y(y) = P\{aX + b \le y\} = P\left\{X \le \frac{y - b}{a}\right\} = \Phi\left(\frac{\frac{y-b}{a} - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{y - (a\mu + b)}{a\sigma}\right)$

这正是 $N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$ 的分布函数；$a < 0$ 时不等式反向，结果相同。$\blacksquare$

两个直接推论：

1. 标准化即其特例（$a = \frac{1}{\sigma}, b = -\frac{\mu}{\sigma}$）；
2. 正态变量的线性函数仍是正态，只需机械地"代均值、代方差"：$E(aX+b) = aE(X)+b$，$D(aX+b) = a^2 D(X)$（数字特征章严格展开）。例如 $X \sim N(1, 4)$，则 $Y = 2X - 3 \sim N(-1, 16)$。多个独立正态变量的线性组合仍正态（多维一章证明）。

例 9（线性函数，模拟题）：设 $X \sim N(0, 1)$，求 $Y = 2X + 1$ 的密度及 $P\{Y \le 3\}$。

解：$Y \sim N(1, 4)$，$P\{Y \le 3\} = \Phi\left(\frac{3-1}{2}\right) = \Phi(1) = 0.8413$。亦可用密度 $f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(y-1)^2}{8}\right)$ 积分验证。

#常见坑

1. 分布函数定义是 $P\{X \le x\}$ 不是 $P\{X < x\}$，配套的右连续、$P\{a < X \le b\} = F(b) - F(a)$ 全都依赖"左开右闭"。判断某函数是否为分布函数时，逐段检查：单调不减、$F(+\infty) = 1$、$F(-\infty) = 0$、右连续——尤其警惕"左连续但右不连续"或某段递减的假分布函数。
2. 密度不是概率：$f(x)$ 可以大于 1（如 $U[0, 0.5]$ 的密度为 2）；$f(x)$ 在单点改动不影响分布；$P\{X = a\} = 0$ 但事件未必不可能。而分布律 $p_k$ 必须非负且 $\sum p_k = 1$，单个 $p_k \le 1$。
3. 离散型与连续型的互译：离散型分布函数是阶梯、跳变高度即该点概率，$P\{X < a\} \ne P\{X \le a\}$；连续型 $F$ 处处连续、单点概率为 0，区间概率不必纠结开闭。
4. $N(\mu, \sigma^2)$ 的第二个参数是方差。$N(2, 9)$ 标准化时除以 $3$ 而不是 $9$。
5. 二项 vs 超几何 vs 泊松：有放回/独立 → 二项；无放回 → 超几何（仅数一）；$n$ 大 $p$ 小 → 泊松近似二项。审题先看"放回"二字。
6. 指数分布参数方向：$\lambda$ 大 ⟹ 衰减快 ⟹ 平均寿命 $1/\lambda$ 短。给了均值要先取倒数再入公式。
7. 几何/指数的无记忆性是化简条件概率的捷径（$P\{X > s+t \mid X > s\} = P\{X > t\}$），硬套条件概率定义会绕远且易错。
8. 公式法三条件（单调、可导、导数非零）缺一不可；不满足时用公式法是典型错误。同时别漏 $\left|h'(y)\right|$ 的绝对值与 $y$ 的取值范围。
9. 正态线性函数直接套 $aX + b \sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$，不要重算积分；但非线性函数（如 $X^2$、$|X|$）没有这个结论，必须分布函数法。
10. 确定常数题的方程来源永远只有两条：规范性（和为 1 / 积分为 1）与非负性（含分段端点衔接处的连续性条件，连续型常补 $F$ 连续性方程）。先数未知数个数再数方程个数。

#自测

做完再看文末答案与简析。

1. 设离散型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x) = \begin{cases} 0, & x < -1 \\ \frac{1}{4}, & -1 \le x < 1 \\ \frac{5}{8}, & 1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}$，求 $P\{X = 1\}$、$P\{X = 2\}$ 与 $P\{0 < X \le 1\}$。
2. 设 $X \sim P(\lambda)$ 且 $P\{X = 1\} = P\{X = 2\}$，求 $\lambda$ 与 $P\{X = 4\}$。
3. 某元件寿命 $X \sim E(\lambda)$ 且 $P\{X > 1000\} = e^{-2}$。（1）求 $\lambda$；（2）求 $P\{X > 3000 \mid X > 2000\}$。
4. 设 $X \sim N(5, 4)$，利用 $\Phi(1) = 0.8413$、$\Phi(2) = 0.9772$，求 $P\{X < 3\}$ 与 $P\{|X - 5| < 4\}$。
5. 设 $X \sim U(-1, 2)$，求 $Y = X^2$ 的概率密度。

#自测答案与简析

1. $P\{X = 1\} = F(1) - F(1-0) = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$；$P\{X = 2\} = F(2) - F(2-0) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$；$P\{0 < X \le 1\} = F(1) - F(0) = \frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$。考点：阶梯分布函数与跳变读数。
2. $\lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2} \Rightarrow \lambda = 2$；$P\{X = 4\} = \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{2}{3} e^{-2}$。考点：泊松分布律与规范性。
3. （1）$P\{X>1000\} = e^{-1000\lambda} = e^{-2} \Rightarrow \lambda = 0.002$；（2）无记忆性：$P\{X>3000 \mid X>2000\} = P\{X>1000\} = e^{-2}$。考点：指数分布与无记忆性。
4. $P\{X < 3\} = \Phi\left(\frac{3-5}{2}\right) = \Phi(-1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$；$P\{|X-5| < 4\} = P\{-4 < X-5 < 4\} = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。考点：正态标准化与对称恒等式。
5. $X$ 支撑集 $[-1, 2]$，$Y = X^2 \in [0, 4]$。对 $0 \le y \le 1$：$\{X^2 \le y\} = \{-\sqrt y \le X \le \sqrt y\}$，$F_Y(y) = \frac{2\sqrt y}{3}$；对 $1 < y < 4$：$\{X^2 \le y\} = \{-1 \le X \le \sqrt y\}$（因 $\sqrt y > 1$ 超出下端），$F_Y(y) = \frac{\sqrt y + 1}{3}$。求导：

$f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{3\sqrt{y}}, & 0 < y < 1 \\ \dfrac{1}{6\sqrt{y}}, & 1 \le y < 4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

考点：分布函数法分段解不等式——$y$ 跨过 1 后区间左端被 $-1$ 截断，必须分段，这正是公式法不能直接用的原因。

大题量训练见随机事件与随机变量 章节测；错题按错因分类回写错题本。