#随机变量的数字特征

#考点定位

• 大纲位置：概率论与数理统计 · 随机变量的数字特征（数一考点；数二不考概率论）
• 常见题型：期望方差的定义式计算（尤其分段密度、先求分布再求数字特征）、随机变量函数的期望 $E[g(X)]$、期望方差性质（线性性、独立时乘积拆开）的灵活运用、协方差与相关系数的计算与性质辨析、$\rho = 0$ 与独立关系的判断题、切比雪夫不等式的粗略估计
• 考查频率：高。数字特征本身是小题常客，更是后续章节的通用货币：大数定律与中心极限定理的切比雪夫不等式、数理统计的基本概念中抽样分布的期望方差、参数估计中矩估计与有效性比较，全部建立在本章之上
• 前置知识：随机变量及其分布（八大常用分布）、多维随机变量及其分布（联合/边缘/独立性/条件分布）
• 定位：分布函数是随机变量的"完整序列化"，数字特征是"摘要统计量"——期望是重心、方差是转动惯量、协方差是联合散布。考试的实际价值有两个：一是把上一章的分布计算收敛为紧凑的数表（八大分布期望方差总表，见本章末尾）；二是提供一套绕开求分布直接算数字的性质系统（线性性、双线性），这套系统是概率解答题后半段的"标准库函数"

#核心讲解

#数学期望

定义（离散型）：设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X = x_k\} = p_k$。若级数 $\sum\limits_k x_k p_k$ 绝对收敛，则称

$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$

为 $X$ 的数学期望（均值）。绝对收敛的要求不是装饰：条件收敛的级数重排可改变和，而期望作为"客观平均水平"不应依赖取值排列顺序。

定义（连续型）：设 $X$ 的密度为 $f(x)$。若 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\, \mathrm{d}x$ 绝对收敛，则称

$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, f(x)\, \mathrm{d}x$

为 $X$ 的数学期望。统一理解：期望 = 取值 × 概率的加权平均，离散求和、连续积分，形式完全平行。

物理类比：把概率质量铺在数轴上，$E(X)$ 就是这堆质量的质心；本章后面将看到 $D(X)$ 是同一质量分布绕质心的转动惯量。

#随机变量函数的期望（重点公式）

定理：设 $Y = g(X)$（$g$ 为连续或分段连续函数），则无需先求 $Y$ 的分布即可直接计算：

• 离散型：$E[g(X)] = \sum\limits_k g(x_k)\, p_k$
• 连续型：$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\, f(x)\, \mathrm{d}x$（$f$ 为 $X$ 的密度）

二维情形同理：$E[g(X, Y)] = \iint g(x, y) f(x, y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$（离散型把积分换成对 $p_{ij}$ 求和）。

这是概率论中节省工作量最多的一条定理：求 $E(X^2)$、$E(XY)$、$E(|X|)$ 等一律代入原分布直接积分，绕开"先求函数分布"的重活（对比：上一章求 $Z=X+Y$ 的密度要卷积，而求 $E(X+Y)$ 只需 $E(X)+E(Y)$）。

例 1（函数期望，模拟题）：设 $X \sim U(0, 2)$，求 $E(X^2)$ 与 $E(e^X)$。

解：$f(x) = \tfrac12$（$0 \le x \le 2$）。直接代入：

$E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac12\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

$E(e^X) = \int_0^2 e^x \cdot \frac12\, \mathrm{d}x = \frac{e^2 - 1}{2}$

对比错误路径：先求 $Y = X^2$ 的密度（$f_Y(y) = \frac{1}{4\sqrt y}$，$0 < y < 4$）再积分，两步且易错。定理直接一步到位。

#期望的性质

设 $a, b, c$ 为常数，期望存在，则：

1. 常数不变：$E(c) = c$；
2. 线性性：$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$——不要求独立性，线性性无条件成立；
3. 乘积拆分（需独立）：$X, Y$ 相互独立时 $E(XY) = E(X)\, E(Y)$；逆命题不成立（不相关推不出独立，见协方差一节）；
4. 保号：$X \ge 0 \Rightarrow E(X) \ge 0$；$X_1 \le X_2 \Rightarrow E(X_1) \le E(X_2)$。

线性性是"期望代数"的地基：任何求 $E(aX + bY)$ 的问题都拆成两个一维期望，即使 $X, Y$ 高度相关。

例 2（线性性 + 独立乘积，模拟题）：设 $X \sim B(4, \tfrac12)$，$Y \sim N(1, 2)$，$X$ 与 $Y$ 独立，求 $E(2X - Y + XY)$。

解：拆项：$E(2X - Y + XY) = 2E(X) - E(Y) + E(XY)$。前两项直接用线性性：$2 \times 2 - 1 = 3$。第三项用独立性：$E(XY) = E(X)E(Y) = 2 \times 1 = 2$。合计 $3 + 2 = 5$。

若去掉独立条件，$E(XY)$ 无法由边缘信息确定——只能回到联合分布用重积分或 $E(XY) = E(X)E(Y) + \operatorname{Cov}(X, Y)$（下文）。

#条件期望

定义：$E(X \mid Y = y) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, f_{X \mid Y}(x \mid y)\, \mathrm{d}x$（离散型对条件分布律 $\sum_i x_i \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$ 求和），条件密度见多维随机变量及其分布。

全期望公式（塔性质）：

$E(X) = E\left[ E(X \mid Y) \right] = \begin{cases} \sum_j E(X \mid Y = y_j)\, P\{Y = y_j\} & \text{离散} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} E(X \mid Y = y)\, f_Y(y)\, \mathrm{d}y & \text{连续} \end{cases}$

这是全概率公式的期望版，处理"先抽类型、再在该类型下观察"的两阶段问题的利器。

#方差

动机：期望衡量平均水平，但不刻画"波动"。同样平均延迟 50ms 的两个系统，一个稳定在 49–51ms、另一个在 1–200ms 抖动，工程表现天差地别。方差就是对波动性的量化。

定义（方差与标准差）：设 $E(X)$ 存在。若 $E\left[ (X - E(X))^2 \right]$ 存在，则称

$D(X) = E\left[ (X - E(X))^2 \right]$

为 $X$ 的方差，$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$ 为标准差。标准差与 $X$ 同量纲，便于解释。离散型：$D(X) = \sum_k (x_k - E(X))^2 p_k$；连续型：$D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2 f(x)\, \mathrm{d}x$。

计算公式（首选）：由期望的线性性直接展开：

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

推导：$D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2 - 2E(X) \cdot X + [E(X)]^2) = E(X^2) - 2E(X) \cdot E(X) + [E(X)]^2$（注意 $E(X)$ 是常数，线性性逐项提出）。考试中一律用此式：先算 $E(X)$、$E(X^2)$ 两个量，再相减。

方差的性质：

1. 常数方差为零：$D(c) = 0$；
2. 平移不变、伸缩平方：$D(aX + b) = a^2 D(X)$——平移不改变波动，伸缩改变尺度；特别 $D(-X) = D(X)$；
3. 独立可加（注意是和不是积）：$X, Y$ 相互独立时 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$，加减号都是加方差。不独立时 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\operatorname{Cov}(X, Y)$；
4. $D(X) = 0 \iff P\{X = E(X)\} = 1$（退化为常数）。

例 3（方差计算，模拟题）：设 $X \sim U(a, b)$，求 $E(X)$、$D(X)$。

解：$E(X) = \int_a^b x \frac{1}{b-a}\, \mathrm{d}x = \frac{a+b}{2}$（区间中点，对称性显然）。

$E(X^2) = \int_a^b x^2 \frac{1}{b-a}\, \mathrm{d}x = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$。

$D(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12}$

结论 $E(X) = \frac{a+b}{2}$、$D(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ 进总表。区间越长方差越大，与直觉一致。

例 4（方差的线性运用，模拟题）：$X \sim N(2, 4)$，$Y = 3 - 2X$，求 $E(Y)$、$D(Y)$、$D(2X - 3X^2)$ 是否可由当前信息确定？

解：$E(Y) = 3 - 2E(X) = -1$；$D(Y) = (-2)^2 D(X) = 16$。对 $D(2X - 3X^2)$：展开含 $E(X^4)$ 等高阶矩（$2X - 3X^2$ 的方差 = $E[(2X-3X^2)^2] - E[2X - 3X^2]^2$），正态的四阶矩 $E(X^4) = 3\sigma^4 + 6\mu^2\sigma^2 + \mu^4$ 未在本章正文展开，考试中一般只考一元一次函数或独立变量的方差运算——此问实际考点是识别"方差的性质只覆盖线性函数"，非线性函数的方差必须回到定义式硬算。此处给出计算：$E(X^3) = \mu^3 + 3\mu\sigma^2 = 8 + 12 \cdot 2 = 32$（$\mu=2$：$\mu^3 + 3\mu\sigma^2 = 8 + 24 = 32$），$E(X^4) = \mu^4 + 6\mu^2\sigma^2 + 3\sigma^4 = 16 + 96 + 48 = 160$，$E(2X - 3X^2) = 4 - 96 = -92$，$E[(2X-3X^2)^2] = 4E(X^2) - 12E(X^3) + 9E(X^4) = 4 \cdot 8 - 12 \cdot 32 + 9 \cdot 160 = 32 - 384 + 1440 = 1088$，故 $D(2X - 3X^2) = 1088 - 8464 = -7376 < 0$，矛盾！这说明上述 $E(X^2)$ 代入有误：$E(X^2) = D(X) + \mu^2 = 8$，$E(2X - 3X^2)$ 应为 $2 \times 2 - 3 \times 8 = -20$，重算 $E[(2X-3X^2)^2] = 4 \cdot 8 - 12 \cdot 32 + 9 \cdot 160 = 1088$，$D = 1088 - 400 = 688$。这个"先算出负方差再回查"的过程本身就是重要的自查手段：方差非负，算出负数必有错。

#协方差与相关系数

动机：$D(X + Y)$ 展开时出现"交叉项"：

$D(X + Y) = E[(X + Y)^2] - [E(X+Y)]^2 = D(X) + D(Y) + 2\left[ E(XY) - E(X)E(Y) \right]$

方括号中的量就是协方差——它度量 $X, Y$ 的联合线性波动。

定义（协方差）：

$\operatorname{Cov}(X, Y) = E\left[ (X - E(X))(Y - E(Y)) \right] = E(XY) - E(X)\, E(Y)$

第二个等号由线性性展开即得（计算首选）。$\operatorname{Cov}(X, X) = D(X)$，方差是协方差的特例。

定义（相关系数）：当 $D(X) > 0$，$D(Y) > 0$ 时，

$\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\, \sqrt{D(Y)}}$

性质（协方差）：

1. 双线性：$\operatorname{Cov}(aX + b,\ cY + d) = ac\, \operatorname{Cov}(X, Y)$；$\operatorname{Cov}(X_1 + X_2,\ Y) = \operatorname{Cov}(X_1, Y) + \operatorname{Cov}(X_2, Y)$——协方差对每个变量都是线性的（这就是"双线性"），是展开一切协方差表达式的唯一规则；
2. 对称：$\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)$；
3. 和的方差一般式：$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\operatorname{Cov}(X, Y)$；
4. $X, Y$ 独立 $\Rightarrow \operatorname{Cov}(X, Y) = 0$（由 $E(XY) = E(X)E(Y)$），逆不成立。

性质（相关系数）：

1. $|\rho_{XY}| \le 1$（证明用柯西–施瓦茨不等式 $[E(UV)]^2 \le E(U^2)E(V^2)$，取 $U = X - E(X)$，$V = Y - E(Y)$）；
2. $|\rho_{XY}| = 1 \iff$ 存在常数 $a, b$ 使 $P\{Y = aX + b\} = 1$（$a$ 的符号与 $\rho$ 相同）——相关系数只刻画线性关联强度；
3. $\rho_{XY} = 0$ 时称 $X, Y$ 不相关。

不相关与独立的关系（高频判断题）：

• 独立 $\Rightarrow$ 不相关（永远成立）；
• 不相关 $\Rightarrow$ 独立：一般不成立。经典反例：$X \sim U(-1, 1)$，$Y = X^2$。$Y$ 完全由 $X$ 决定（最强依赖），但 $\operatorname{Cov}(X, Y) = E(X^3) - E(X)E(X^2) = 0 - 0 = 0$（奇函数在对称区间积分为 0），$\rho = 0$ 不相关。"不相关"只排除线性关系，$Y = X^2$ 是纯非线性依赖；
• 唯一例外（二维正态）：$(X, Y)$ 服从二维正态时，不相关 $\iff$ 独立 $\iff \rho = 0$（见多维随机变量及其分布二维正态性质清单）。

例 5（协方差计算，模拟题）：设 $(X, Y)$ 的联合密度 $f(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 \le x \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求 $\operatorname{Cov}(X, Y)$。

解：先算三个低阶矩。

$E(X) = \int_0^1 \int_x^1 x \cdot 2\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x = \int_0^1 2x(1 - x)\, \mathrm{d}x = \frac13$。

$E(Y) = \int_0^1 \int_0^y y \cdot 2\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int_0^1 2y^2\, \mathrm{d}y = \frac23$。

$E(XY) = \int_0^1 \int_x^1 x y \cdot 2\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x = \int_0^1 x(1 - x^2)\, \mathrm{d}x = \frac12 - \frac14 = \frac14$。

$\operatorname{Cov}(X, Y) = \frac14 - \frac13 \cdot \frac23 = \frac14 - \frac29 = \frac{9 - 8}{36} = \frac{1}{36} > 0$

正协方差与直觉一致：$Y \ge X$ 的支撑约束下两者同向波动。

#矩与切比雪夫不等式

定义（矩）：设 $k$ 为正整数。

• $k$ 阶原点矩：$E(X^k)$（一阶原点矩即期望）；
• $k$ 阶中心矩：$E\left[ (X - E(X))^k \right]$（二阶中心矩即方差）；
• 混合矩（二维）：$E(X^k Y^l)$ 为 $k+l$ 阶混合原点矩，$E[(X - E(X))^k (Y - E(Y))^l]$ 为混合中心矩（$\operatorname{Cov}$ 是 $1+1$ 阶混合中心矩）。

常见考点：$E(X^2)$（方差计算的中转量）与 $E[(X - E(X))^3]$（偏度骨架，了解即可）。矩估计（见参数估计）的思想就是"用样本矩替换总体矩"。

定理（切比雪夫不等式）：设 $E(X) = \mu$、$D(X) = \sigma^2$ 存在，则对任意 $\varepsilon > 0$：

$P\{ |X - \mu| \ge \varepsilon \} \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}, \qquad \text{等价地} \quad P\{ |X - \mu| < \varepsilon \} \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

证明（连续型，离散型把积分换求和）：只需证 $\varepsilon^2 P\{|X - \mu| \ge \varepsilon\} \le \sigma^2$。在事件 $\{|X - \mu| \ge \varepsilon\}$ 上恒有 $\frac{(x-\mu)^2}{\varepsilon^2} \ge 1$，于是

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x)\, \mathrm{d}x \ge \int_{|x - \mu| \ge \varepsilon} (x - \mu)^2 f(x)\, \mathrm{d}x \ge \int_{|x - \mu| \ge \varepsilon} \varepsilon^2 f(x)\, \mathrm{d}x = \varepsilon^2 P\{|X - \mu| \ge \varepsilon\}$

第一个不等号是"扔掉一部分非负积分"，第二个不等号是被积函数在积分区域上的逐点下估计。证毕。

用途与解读：

1. 在分布完全未知时给出偏离概率的上界——只用期望方差两个数字，这是它无可替代的价值；
2. 上界往往很松（真实概率远小于界），考试只要求"会套、会估"，不要求紧；
3. 它是大数定律与中心极限定理中切比雪夫大数定律的直接引擎（把不等式用在"样本均值"上，令 $n \to \infty$）。

例 6（切比雪夫估计，模拟题）：已知某服务器响应时间 $X$ 的期望 $100$ms、方差 $25\ \text{ms}^2$（分布未知）。估计 $P\{90 < X < 110\}$ 的下界。

解：$P\{90 < X < 110\} = P\{|X - 100| < 10\} \ge 1 - \frac{25}{10^2} = 1 - 0.25 = 0.75$。

注意方向：求"落在区间内"用 $1 - \sigma^2/\varepsilon^2$ 的下界；求"跑出区间"用 $\sigma^2/\varepsilon^2$ 的上界。若分布已知为正态，精确值 $P\{|X - \mu| < 2\sigma\} \approx 0.9545 \gg 0.75$，可见界的松。

#常用分布期望方差总表

收敛随机变量及其分布八大分布的数字特征（$q = 1 - p$）：

二维补充：二维正态 $(X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)$ 中 $E(X) = \mu_1$，$D(X) = \sigma_1^2$（$Y$ 同理），$\operatorname{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_1 \sigma_2$——第五参数 $\rho$ 恰是相关系数。

#常见坑

1. 方差的"加减"：独立时 $D(X - Y) = D(X) + D(Y)$，不是 $D(X) - D(Y)$；不独立时别忘交叉项 $2\operatorname{Cov}$。
2. $D(aX + b) = a^2 D(X)$：常数 $b$ 直接消失、系数平方，两个动作缺一不可；$D(2X) \ne 2D(X)$。
3. 线性性与乘积拆分的条件混用：$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ 无条件；$E(XY) = E(X)E(Y)$、$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ 都需要独立（后者可放宽为不相关）。
4. 不相关 ≠ 独立：判断题三大件——不相关推不出独立（反例 $Y = X^2$ 对称分布）、二维正态例外、独立必不相关。审题先看联合分布是不是二维正态。
5. 相关系数不是"相关程度百分比"：$\rho$ 只度量线性关系；$\rho = 0$ 只说明无线性关联，$Y = X^2$ 型强非线性依赖照样 $\rho = 0$。
6. $E(X^2) \ne [E(X)]^2$：方差公式两个量切勿颠倒；$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ 算出负数必错（自查手段）。
7. 切比雪夫方向：$P\{|X - \mu| \ge \varepsilon\} \le \sigma^2/\varepsilon^2$ 是上界，$P\{|X - \mu| < \varepsilon\} \ge 1 - \sigma^2/\varepsilon^2$ 是下界；问"至少多大"用后者。
8. 协方差双线性漏项：$\operatorname{Cov}(X_1 + X_2, Y_1 + Y_2) = \operatorname{Cov}(X_1,Y_1) + \operatorname{Cov}(X_1,Y_2) + \operatorname{Cov}(X_2,Y_1) + \operatorname{Cov}(X_2,Y_2)$，四项全展开再化简（独立项归零）。

#自测

1. （计算）$X$ 的密度 $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & x > 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求 $E(X)$、$D(X)$。
2. （性质）$X, Y$ 独立，$D(X) = 2$，$D(Y) = 4$，求 $D(2X - 3Y + 1)$ 与 $\operatorname{Cov}(X - Y,\ 2X + Y)$。
3. （辨析）判断对错：（1）$\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ 则 $X, Y$ 独立；（2）$X, Y$ 独立则 $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$；（3）$D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ 当且仅当 $X, Y$ 独立。
4. （估计）$E(X) = 1$，$D(X) = 0.04$，用切比雪夫不等式估计 $P\{0.4 < X < 1.6\}$。
5. （综合）$(X, Y) \sim N(1, 2; 4, 9; -0.2)$，求 $\operatorname{Cov}(X, Y)$、$\rho_{XY}$、$D(2X - Y)$。

#自测答案

1. $E(X) = \int_1^{+\infty} \frac{2}{x^2}\, \mathrm{d}x = 2$；$E(X^2) = \int_1^{+\infty} \frac{2}{x}\, \mathrm{d}x = +\infty$ 发散，故 $D(X)$ 不存在（期望存在不代表方差存在，二阶矩发散即无方差）。
2. $D(2X - 3Y + 1) = 4D(X) + 9D(Y) = 8 + 36 = 44$（独立，交叉项为零，常数项消失）。$\operatorname{Cov}(X - Y, 2X + Y) = 2D(X) + \operatorname{Cov}(X,Y) - 2\operatorname{Cov}(Y,X) - D(Y) = 2 \cdot 2 - 4 = 0$。
3. （1）错（反例 $X \sim U(-1,1)$，$Y = X^2$）；（2）对；（3）错——当且仅当 $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$（不相关）即可，不需要独立（不相关弱于独立）。
4. $P\{0.4 < X < 1.6\} = P\{|X - 1| < 0.6\} \ge 1 - \frac{0.04}{0.36} = \frac{8}{9}$。
5. $\operatorname{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_1 \sigma_2 = -0.2 \times 2 \times 3 = -1.2$；$\rho_{XY} = -0.2$；$D(2X - Y) = 4D(X) + D(Y) - 4\operatorname{Cov}(X, Y) = 16 + 9 + 4.8 = 29.8$。