#多元函数微分学

#考点定位

• 大纲位置：高等数学多元函数微积分学的微分部分（数一、数二公共考点；方向导数与梯度仅数一）
• 常见题型：连续/偏导存在/可微/偏导连续概念关系链选择、用定义判别可微性、复合函数与隐函数求偏导（计算题主力）、无条件极值与条件极值（拉格朗日乘数法，解答题）、方向导数与梯度（仅数一，填空/小题）
• 考查频率：中高。求偏导的计算题几乎每年必有一道；概念关系链是选择题高频陷阱区
• 前置知识：一元函数微分学（可微、可导、连续的关系链是本章的"升级版"）、函数、极限与连续
• 定位：本章概念上最大的坑是"一元的直觉全部失效"——一元里可导 ⟺ 可微 ⟹ 连续，二元里这些箭头全部断裂。先把关系链焊死，剩下的就是"剥洋葱"式的计算训练

#核心讲解

#二元函数的重极限（严格定义）

定义：设 $f$ 在区域 $D$ 上有定义，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的内点或聚点。若存在常数 $A$，使得对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当

$0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$

时，恒有 $|f(x,y) - A| < \varepsilon$，则称 $(x,y) \to (x_0,y_0)$ 时 $f$ 的重极限（二重极限）为 $A$，记作 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A$。

与一元极限的本质区别：一元里 $x \to x_0$ 只有左右两条路径；二元里 $(x,y) \to (x_0,y_0)$ 有无穷多条路径（直线、抛物线、折线……）。二重极限存在，要求沿所有路径极限都存在且相等。

由此得到两条实战规则：

1. 证明极限不存在（高频）：找两条不同路径，极限不相等即可。经典例子：

$f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2},\quad f(0,0)=0$

沿 $y = 0$：极限为 $0$；沿 $y = x$：极限为 $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$。两路径不等，故重极限不存在（从而在原点不连续，尽管两个偏导都存在且为 0——这个反例后面还要反复用）。

2. 证明极限存在 / 求极限：夹逼（把 $|f - A|$ 用 $\sqrt{x^2+y^2}$ 控制住）、或极坐标换元 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ 后证明估计式对 $\theta$ 一致成立。注意：极坐标换元后若极限依赖 $\theta$，则极限不存在。

重极限与累次极限（二次极限）的关系：

$\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0} f(x,y) \quad\text{与}\quad \lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0} f(x,y)$

是另外两个对象，它们都存在且相等不能推出重极限存在；反之重极限存在也不能保证累次极限存在。三者互不推出，考题常拿这点设置错误选项。

多元函数连续：$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$。多元初等函数在其定义区域内连续。

有界闭区域上多元连续函数的性质（与一元闭区间完全平行）：有界、必取得最大值与最小值、介值定理成立。

#偏导数

定义：固定 $y = y_0$，把 $f(x, y_0)$ 当成一元函数求导：

$f_x(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,\, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

$f_y$ 同理。偏导数存在只是"沿两条坐标轴方向的导数存在"，对其他方向的行为一无所知——这就是一元直觉失效的根源。

高阶偏导与混合偏导：当二阶混合偏导 $f_{xy}$、$f_{yx}$ 在区域上连续时，$f_{xy} = f_{yx}$（此后所有计算默认此条件成立，函数足够光滑）。注意混合偏导相等是需要条件的，不是无条件成立。

#全微分与可微性

定义：设 $z = f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域有定义。若全增量可写成

$\Delta z = f(x_0+\Delta x,\, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho),\qquad \rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$

其中 $A, B$ 只与 $(x_0,y_0)$ 有关而与 $\Delta x, \Delta y$ 无关，则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$可微，线性主部 $A\Delta x + B\Delta y$ 称为全微分，记 $dz = A\,dx + B\,dy$。

可微的必要条件（可微时必成立）：

1. $f$ 在该点连续；
2. 偏导数 $f_x(x_0,y_0) = A$、$f_y(x_0,y_0) = B$ 都存在。

可微的充分条件：偏导数 $f_x, f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域存在且在该点连续，则 $f$ 在该点可微。（充分不必要：$(x^2+y^2)\sin\dfrac{1}{x^2+y^2}$ 在原点可微但偏导不连续。）

可微性的充要判别法（考点核心，判别题一律用它）：

$f \text{ 在 } (x_0,y_0) \text{ 可微} \iff \lim_{\rho \to 0}\frac{\Delta z - f_x(x_0,y_0)\Delta x - f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\rho} = 0$

若把 $\Delta x, \Delta y$ 换回 $x, y$（讨论原点时），即验证

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$

#关系链：连续、偏导存在、可微、偏导连续

全章最重要的一张图，选择题直接考：

图上每一个箭头都不可逆，且没有箭头相连的性质互不推出。必备反例表：

记忆口诀：偏导连续最强（最左边），可微是"分水岭"，可微之左全是单向箭头，可微之右全被它推出。选择题遇到"连续是可微的什么条件"答"必要非充分"。

#链式法则与全微分形式不变性

链式法则：设 $z = f(u, v)$ 可微，$u = u(x,y)$、$v = v(x,y)$ 偏导存在，则复合函数 $z = f(u(x,y), v(x,y))$ 的偏导存在，且

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}$

实操画变量树：$z$ 在上，$u, v$ 在中间层，$x, y$ 在下，$z$ 对某变量的偏导 = 沿每条路径"逐段相乘、路径相加"。这条法则自动处理 $f$ 显含 $x$ 的情形（如 $z = f(x, y(x))$，树上是 $z \to x$ 直连边）。

记号约定（考试书写标准）：设 $z = f(u, v)$，记 $f_1 = \dfrac{\partial f}{\partial u}$（对第一个中间变量求偏导）、$f_2 = \dfrac{\partial f}{\partial v}$；二阶记 $f_{11}, f_{12}, f_{22}$。抽象函数求二阶偏导必须用这套记号，且默认 $f_{12} = f_{21}$（混合偏导连续）。

全微分形式不变性：无论 $u, v$ 是自变量还是中间变量，都有

$dz = \frac{\partial f}{\partial u}\,du + \frac{\partial f}{\partial v}\,dv$

用途：对复杂关系式直接两边取微分，一次同时解出 $z_x, z_y$，比求两次偏导更不易错（下面隐函数一节演示）。

#隐函数求导

情形一：一个方程 $F(x,y) = 0$ 确定 $y = y(x)$。若 $F_y \ne 0$，则

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$

情形二：一个方程 $F(x,y,z) = 0$ 确定 $z = z(x,y)$。若 $F_z \ne 0$，则

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

求二阶偏导不要死背公式：先求出一阶，再对其两边继续求偏导（此时 $z_x, z_y$ 仍是 $x, y$ 的函数，别漏乘）。

情形三：方程组 $\begin{cases} F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0 \end{cases}$ 确定 $u = u(x,y)$，$v = v(x,y)$（仅数一）。当雅可比行列式

$J = \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v \\ G_u & G_v \end{vmatrix} \ne 0$

时可确定隐函数，求偏导的实操做法：每个方程两边对 $x$ 求偏导（$u, v$ 视为 $x,y$ 的函数），得到关于 $u_x, v_x$ 的线性方程组，解之。例如

$\begin{cases} F_u u_x + F_v v_x = -F_x \\ G_u u_x + G_v v_x = -G_x \end{cases} \implies u_x = -\frac{1}{J}\begin{vmatrix} F_x & F_v \\ G_x & G_v \end{vmatrix}$

考场上推荐直接"求导 + 解方程组"，不背克莱姆结论。

#无条件极值

必要条件：$f$ 在内点 $(x_0,y_0)$ 取极值且偏导存在，则 $f_x = f_y = 0$（驻点）。偏导不存在的点也可能是极值点（如 $f = \sqrt{x^2+y^2}$ 在原点取极小），找候选点时两类都要列。

充分条件（AC-B² 判别）：设 $(x_0,y_0)$ 为驻点，记

$A = f_{xx}(x_0,y_0),\quad B = f_{xy}(x_0,y_0),\quad C = f_{yy}(x_0,y_0),\quad H = AC - B^2$

• $H > 0$ 且 $A < 0$：极大值；$H > 0$ 且 $A > 0$：极小值（$A$ 与 $C$ 同号时看 $A$ 的符号）
• $H < 0$：不是极值（鞍点）
• $H = 0$：判别法失效，需用定义或其他手段

有界闭区域上的最值（应用题标准流程）：

1. 区域内部：解 $f_x = f_y = 0$，求出所有驻点
2. 边界上：把边界方程代入 $f$（或用下面的拉格朗日乘数法），求边界最值候选
3. 比较所有候选点的函数值，最大者为最大值、最小者为最小值

#条件极值：拉格朗日乘数法

目标 $f(x,y,z)$，约束 $\varphi(x,y,z) = 0$。构造拉格朗日函数

$L(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda\,\varphi(x, y, z)$

解方程组

$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda\varphi_x = 0 \\ L_y = f_y + \lambda\varphi_y = 0 \\ L_z = f_z + \lambda\varphi_z = 0 \\ L_\lambda = \varphi = 0 \end{cases}$

得到的 $(x, y, z)$ 是条件极值的候选点。两个约束时加第二个乘子：$L = f + \lambda\varphi + \mu\psi$。

两点提醒：

1. 拉格朗日方程组的解只是候选点，实际问题中通常由几何/物理背景（"最值必存在且驻点唯一"）判定是极大还是极小；抽象题需另行比较
2. 解方程组的常用技巧：把三个 $L_x, L_y, L_z = 0$ 方程分别乘 $x, y, z$ 后相加、或两两作比消去 $\lambda$，往往能快速得到 $x, y, z$ 之间的关系

#方向导数与梯度（仅数一）

方向导数定义：$l$ 为非零向量，$\vec{l^{\,0}} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 为其单位向量，

$\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0} = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(P_0 + t\,\vec{l^{\,0}}) - f(P_0)}{t}$

（注意 $t \to 0^+$，方向导数是"单侧"导数。）

计算公式：若 $f$ 在 $P_0$ 可微，则沿任意方向的方向导数都存在，且

$\frac{\partial f}{\partial l}\bigg|_{P_0} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta + f_z\cos\gamma$

可微是公式成立的充分条件；仅偏导存在时公式可能失效。

梯度：

$\operatorname{grad} f = \nabla f = \left(f_x,\ f_y,\ f_z\right)$

方向导数可写成内积 $\dfrac{\partial f}{\partial l} = \nabla f \cdot \vec{l^{\,0}} = |\nabla f|\cos\langle\nabla f, \vec{l^{\,0}}\rangle$，于是：

• 沿梯度方向，方向导数最大，最大值为 $|\nabla f|$（增长最快方向）
• 沿梯度反方向，方向导数最小，为 $-|\nabla f|$（下降最快方向，机器学习里梯度下降的理论根据）
• 沿与梯度垂直的方向，方向导数为 0（等值线切方向）

考题两种问法：给具体方向求方向导数（代入公式），或问"沿什么方向变化率最大/最大值是多少"（答梯度方向 / $|\nabla f|$）。

#例题

#例题 1（模拟题）：用定义判别可微性

设 $f(x,y) = \begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y)\ne(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$，讨论 $f$ 在原点处：连续性、偏导数存在性、可微性。

解析：逐项用定义验证（这类题严禁用一元直觉）。

1. 连续性：$\left|\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \le \dfrac{\frac12(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \dfrac{\rho}{2} \to 0 = f(0,0)$，故连续。
2. 偏导数：$f_x(0,0) = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim\dfrac{0}{x} = 0$；同理 $f_y(0,0) = 0$，偏导都存在。
3. 可微性：

$\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z - f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y}{\rho} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} - 0 - 0}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$

沿 $y = x$ 该比值为 $\dfrac{x^2}{2x^2} = \dfrac12 \ne 0$，极限不存在（更谈不上为 0），故不可微。

点评：此函数就是关系链反例表第三行——连续 + 偏导存在，但不可微。判别可微性只有一条路：验证 $\dfrac{\Delta z - A\Delta x - B\Delta y}{\rho} \to 0$。

#例题 2（模拟题）：抽象复合函数的二阶偏导

设 $z = f(xy,\ x^2+y^2)$，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y}$。

解析：记 $u = xy$（第 1 变量），$v = x^2+y^2$（第 2 变量）。

一阶：

$\frac{\partial z}{\partial x} = y\,f_1 + 2x\,f_2$

再对 $y$ 求偏导（此时 $f_1, f_2$ 仍是 $(u, v)$ 的函数，要用链式法则，且 $u_y = x,\ v_y = 2y$）：

$\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} = f_1 + y\left(x f_{11} + 2y f_{12}\right) + 2x\left(x f_{21} + 2y f_{22}\right)$

利用 $f_{12} = f_{21}$ 合并：

$\boxed{\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} = f_1 + xy\,f_{11} + 2(x^2+y^2)\,f_{12} + 4xy\,f_{22}}$

点评：最容易错的两处——对 $y$ 求导时漏掉第一项 $y f_1$ 的 $f_1$（乘积法则）；把 $f_1, f_2$ 当常数（它们仍是复合的）。

#例题 3（模拟题）：隐函数求偏导与化简

设 $z = z(x,y)$ 由方程 $e^z = xyz$ 确定，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 与 $dz$。

解析：方法一（公式法）：$F = e^z - xyz$，$F_x = -yz$，$F_z = e^z - xy$，故

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = \frac{yz}{e^z - xy}$

利用原方程 $e^z = xyz$ 化简分母：$e^z - xy = xy(z-1)$，所以

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{xyz - xy} = \frac{z}{x(z-1)}$

方法二（两边取微分，形式不变性）：$d(e^z) = d(xyz)$，即 $e^z dz = yz\,dx + xz\,dy + xy\,dz$，整理

$(e^z - xy)\,dz = yz\,dx + xz\,dy \implies dz = \frac{yz}{e^z - xy}\,dx + \frac{xz}{e^z - xy}\,dy$

两个偏导系数一次读出，与方法一一致。

点评："利用原方程化简结果"是隐函数题的固定动作；两边取微分法一次得到全部一阶偏导，推荐作为主力方法。

#例题 4（模拟题）：无条件极值全流程

求 $f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 的极值。

解析：解驻点方程

$f_x = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1) = 0 \implies x = 1 \text{ 或 } x = -3$

$f_y = -3y^2 + 6y = -3y(y-2) = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = 2$

共 4 个驻点。$A = f_{xx} = 6x+6$，$B = f_{xy} = 0$，$C = f_{yy} = -6y+6$。

点评：$B = f_{xy}$ 单独不为零时判别量是 $AC - B^2$，不是 $AC$。四个驻点必须逐个判完，漏点是常见失分点。

#例题 5（模拟题）：条件极值（拉格朗日乘数法）

在球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上求 $f = xyz$ 的最大值。

解析：约束 $\varphi = x^2+y^2+z^2-1 = 0$，构造

$L = xyz + \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)$

方程组：

$\begin{cases} yz + 2\lambda x = 0 \quad (1)\\ xz + 2\lambda y = 0 \quad (2)\\ xy + 2\lambda z = 0 \quad (3)\\ x^2+y^2+z^2 = 1 \quad (4) \end{cases}$

$(1)\times x - (2)\times y$：$2\lambda(x^2 - y^2) = 0$；同理可得 $x^2 = y^2 = z^2$。代入 (4)：$3x^2 = 1$，$x^2 = y^2 = z^2 = \dfrac13$。

由对称性，$f = xyz = \pm\dfrac{1}{3\sqrt3}$，最大值 $f_{\max} = \dfrac{1}{3\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{9}$（在三点 $\left(\tfrac{1}{\sqrt3}, \tfrac{1}{\sqrt3}, \tfrac{1}{\sqrt3}\right)$ 及其两个坐标全正、恰两个为负的变体处取得，即乘积符号为正的 4 个点）。

点评：三元乘积型约束最值，"方程两边乘变量再相减"是消 $\lambda$ 的标准技巧。球面连续、$f$ 连续，闭区域最值必存在，故候选点比较即可定最值。

#例题 6（模拟题，仅数一）：梯度与方向导数

设 $u = x^2 + 2y^2 + 3z^2$，点 $P(1,1,1)$。求：（1）$u$ 在 $P$ 处沿方向 $\vec{l} = (1, 1, 1)$ 的方向导数；（2）$u$ 在 $P$ 处方向导数的最大值及取得最大值的方向。

解析：先求梯度：

$\nabla u = (2x,\ 4y,\ 6z)\big|_{(1,1,1)} = (2, 4, 6)$

（1）$\vec{l}$ 的单位向量 $\vec{l^{\,0}} = \dfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1) = \left(\tfrac{1}{\sqrt3}, \tfrac{1}{\sqrt3}, \tfrac{1}{\sqrt3}\right)$，故

$\frac{\partial u}{\partial l}\bigg|_P = \nabla u\cdot\vec{l^{\,0}} = \frac{2+4+6}{\sqrt3} = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3$

（2）方向导数最大值 $= |\nabla u| = \sqrt{4+16+36} = 2\sqrt{14}$，取得最大值的方向即梯度方向 $\dfrac{1}{2\sqrt{14}}(2,4,6) = \dfrac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)$。

点评：方向必须先单位化再代入公式——这是本考点第一大计算失分点。第（2）问答案要写"沿梯度方向"，只写数值不写方向拿不到全分。

#常见坑

1. 拿一元结论硬套：一元"可导 ⟹ 连续"在二元失效（$\frac{xy}{x^2+y^2}$ 偏导存在但不连续）；一元"可导 ⟺ 可微"也失效。二元里只有"可微"才是王者，能推出连续与偏导存在
2. $f_{12} = f_{21}$ 不是无条件的：混合偏导相等需要连续性；抽象函数题干写"具有二阶连续偏导数"正是为了这一点，看到这句才能合并同类项
3. 判可微不走定义：任何"看起来偏导挺光滑"的直觉都不可靠，判别可微性必须验证 $\dfrac{\Delta z - A\Delta x - B\Delta y}{\rho} \to 0$
4. 多元没有"洛必达"：重极限计算只有夹逼、有界量乘无穷小、极坐标一致收敛这些手段；路径不同结果不同即判定不存在
5. 隐函数求二阶偏导漏乘：$z_x = -F_x/F_z$ 两边再对 $x$ 求导时，右边 $z_x$（分母里的 $z$）仍是 $x$ 的函数，必须继续用链式法则
6. 拉格朗日乘数法只给候选点：忘记与边界、不可导点比较就下"最值"结论；应用题则要说明"由实际意义最值存在且驻点唯一"
7. 方向导数公式的前提是可微（仅数一）：题目只给"偏导存在"时不能直接套 $f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta$
8. 区域最值题漏边界：内部驻点 + 边界候选 +（闭区域连续保证存在）三者比较，一个都不能少

#自测

1. 讨论 $f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}$ 在原点处的连续性与偏导数存在性。
2. 求极限 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}$，并说明理由。
3. 设 $z = f(2x - y,\ y\sin x)$，$f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y}$。
4. 设 $z = z(x,y)$ 由方程 $\ln z = x + y + z$ 确定，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 与 $dz$。
5. 求 $f(x,y) = x^3 - 4x^2 + 2xy - y^2$ 的极值。
6. （仅数一）设 $u = \ln(x^2 + y^2 + z^2)$，点 $P(1, 1, 1)$，求 $u$ 在 $P$ 处的梯度及沿 $x$ 轴负方向的方向导数。

#自测答案与简析

1. 连续但偏导不存在。$\sqrt{x^2+y^2} \to 0$ 显然连续；$f_x(0,0) = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{|x| - 0}{x}$，右极限 $1$、左极限 $-1$，不存在（考点：连续 ⇏ 偏导存在）。
2. 极限为 0。$\left|\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \le \dfrac{\frac12(x^2+y^2)\,|y|}{x^2+y^2} = \dfrac{|y|}{2} \to 0$，夹逼即得（考点：有界量 × 无穷小 / 夹逼；分母 $x^2+y^2$ 不可用 $x^2$ 或 $y^2$ 单独放缩）。
3. 记 $u = 2x-y$，$v = y\sin x$。$z_x = 2f_1 + y\cos x\, f_2$；再对 $y$ 求导（$u_y = -1$，$v_y = \sin x$）： $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} = 2(-f_{11} + \sin x\, f_{12}) + \cos x\, f_2 + y\cos x\,(-f_{21} + \sin x\, f_{22}) = -2f_{11} + (2\sin x - y\cos x)f_{12} + y\sin x\cos x\, f_{22} + \cos x\, f_2$ （考点：链式法则 + 乘积法则 + $f_{12}=f_{21}$ 合并；最易漏 $\cos x\, f_2$ 项）。
4. 两边取微分：$\dfrac{dz}{z} = dx + dy + dz$，即 $\left(\dfrac{1}{z} - 1\right)dz = dx + dy$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z}{1-z},\qquad dz = \frac{z}{1-z}\,dx + \frac{z}{1-z}\,dy$ （考点：全微分形式不变性；注意 $z_x = z_y$ 由对称性）。
5. $f_x = 3x^2 - 8x + 2y = 0$，$f_y = 2x - 2y = 0 \Rightarrow y = x$，代入得 $3x^2 - 6x = 0$，驻点 $(0,0)$、$(2,2)$。$A = 6x - 8$，$B = 2$，$C = -2$。在 $(0,0)$：$AC - B^2 = 16 - 4 = 12 > 0$，$A = -8 < 0$，极大值 $f(0,0) = 0$；在 $(2,2)$：$AC - B^2 = -8 - 4 = -12 < 0$，非极值（考点：AC-B² 判别全流程）。
6. $\nabla u = \left(\dfrac{2x}{x^2+y^2+z^2}, \dfrac{2y}{x^2+y^2+z^2}, \dfrac{2z}{x^2+y^2+z^2}\right)\Big|_{(1,1,1)} = \left(\dfrac23, \dfrac23, \dfrac23\right)$。沿 $x$ 轴负方向 $\vec{l^{\,0}} = (-1, 0, 0)$：$\dfrac{\partial u}{\partial l} = -\dfrac23$（考点：梯度计算 + 单位方向向量；负号表示沿该方向函数下降）。