考研之路

一元函数微分学

考点定位

  • 大纲位置：高等数学第二章，考研数学证明题的主战场
  • 常见题型：导数定义类选择/填空、隐函数与参数方程求导、中值定理证明题（解答题压轴常客）、单调性与极值凹凸性、渐近线计算、不等式证明
  • 考查频率：高。中值定理证明题几乎每年一道解答题；导数定义类概念题是选择题高频陷阱区
  • 定位：证明题套路化——辅助函数构造模式有限，全部总结在一张表里，反复演练即可

核心讲解

导数定义类考法

定义及其变体

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

考题从不给标准形式，全部是变体识别：

变体化归方向
lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}标准型，令 x=x0+hx = x_0 + h
lim⁡h→0f(x0+2h)−f(x0−h)3h\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+2h) - f(x_0-h)}{3h}拆成 [f(x0+2h)−f(x0)]+[f(x0)−f(x0−h)][f(x_0+2h)-f(x_0)] + [f(x_0)-f(x_0-h)]，凑出 f′(x0)f'(x_0)
lim⁡x→0f(1−cos⁡x)x2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1-\cos x)}{x^2}（f(0)=0f(0)=0）换元 t=1−cos⁡x∼x22t = 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}，结果含 f′(0)f'(0)
h→0+h\to 0^+ / h→0−h\to 0^-分别是右导数 f+′(x0)f'_+(x_0) 与左导数 f−′(x0)f'_-(x_0)，二者相等才可导

充要条件链（选择题直接考）：

f 在 x0 可导  ⟺  f+′(x0)=f−′(x0)  ⟺  f 连续且lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h 存在f \text{ 在 } x_0 \text{ 可导} \iff f'_+(x_0) = f'_-(x_0) \iff f \text{ 连续且}\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \text{ 存在}

f 可导⇒f 连续(逆不真，反例 ∣x∣ 在 0)f \text{ 可导} \Rightarrow f \text{ 连续} \quad(\text{逆不真，反例 } |x| \text{ 在 } 0)

一行证明：f(x0+h)−f(x0)=h⋅f(x0+h)−f(x0)h→0⋅f′(x0)=0f(x_0+h)-f(x_0) = h\cdot\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to 0\cdot f'(x_0) = 0，即增量趋于 0。

一点可导 vs 邻域可导（高级陷阱）

可导是逐点性质：ff 在 x0x_0 可导，完全不能推出 ff 在 x0x_0 的任何邻域内可导，甚至不能推出邻域内连续。

经典反例：f(x)=x2D(x)f(x) = x^2 D(x)（DD 为狄利克雷函数，有理点取 1、无理点取 0）。在 x=0x=0 处 ∣x2D(x)x∣≤∣x∣→0\left|\frac{x^2D(x)}{x}\right| \le |x| \to 0，故 f′(0)=0f'(0) = 0；但在任何 x≠0x \ne 0 处 ff 都不连续、更不可导。

考点落点：题目只给"ff 在 x0x_0 可导"时，求相关极限必须凑定义，禁止洛必达（洛必达需要邻域可导）。命题人专门用这一点设置错误选项。

微分的定义（与可导的关系必须分清）

定义：设 y=f(x)y=f(x) 在 x0x_0 的某邻域有定义。若函数增量可以写成

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx)\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0) = A\Delta x + o(\Delta x)

其中 AA 与 Δx\Delta x 无关，则称 ff 在 x0x_0 可微，线性主部 AΔxA\Delta x 称为微分，记作 dy=A dxdy = A\,dx。

一元函数中可微   ⟺  \iff 可导，且 A=f′(x0)A = f'(x_0)，故

dy=f′(x0) dxdy = f'(x_0)\,dx

这条定义也是近似计算的依据：f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x，误差恰好是 o(Δx)o(\Delta x)。

微分形式不变性：无论 uu 是自变量还是中间变量（即 uu 又是别的变量的函数），dy=f′(u) dudy = f'(u)\,du 都成立——积分学章凑微分法（第一类换元）的合法性来源正是这一条。

命题人怎么考：可微、可导、连续、极限存在的关系链是选择题常客，每一环都要能说出正反例：

可微  ⟺  可导⇒连续⇒lim⁡x→x0f(x) 存在\text{可微} \iff \text{可导} \Rightarrow \text{连续} \Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)\ \text{存在}

每一处的"逆"都不真：连续不可导（∣x∣|x| 在 0）、极限存在不连续（可去间断点）。

求导方法

复合与隐函数

  • 链式法则：{f[g(x)]}′=f′[g(x)]⋅g′(x)\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]\cdot g'(x)。多层复合从外到内剥洋葱
  • 隐函数求导两种等价做法：
    1. 方程两边对 xx 求导（yy 视为 y(x)y(x)），解出 y′y'
    2. 全微分法：对 F(x,y)=0F(x,y) = 0 取 dF=0dF = 0，解出 dydx=−FxFy\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}（一阶时效率最高）
  • 对数求导法（两类必用）：幂指函数 u(x)v(x)u(x)^{v(x)}、多因子连乘连除带根号。两边取对数再求导

参数方程求导（二阶导是重灾区）

设 x=x(t)x = x(t)，y=y(t)y = y(t)：

dydx=y′(t)x′(t),d2ydx2=ddt(dydx)x′(t)\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}, \qquad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{x'(t)}

注意：二阶导是对 tt 求导后再除以 x′(t)x'(t)，不是直接对 tt 求导。原理：d2ydx2=ddx(dydx)\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)，而 ddx=1x′(t)ddt\frac{d}{dx} = \frac{1}{x'(t)}\frac{d}{dt}。漏除 x′(t)x'(t) 是本考点第一大计算错误。

中值定理证明题套路

定理装备库

定理条件结论
费马引理ff 在 x0x_0 某邻域有定义、在 x0x_0 可导且取极值f′(x0)=0f'(x_0) = 0
罗尔定理ff 在 [a,b][a,b] 连续、(a,b)(a,b) 可导、f(a)=f(b)f(a) = f(b)存在 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，f′(ξ)=0f'(\xi) = 0
拉格朗日中值定理ff 在 [a,b][a,b] 连续、(a,b)(a,b) 可导f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)
柯西中值定理f,gf,g 在 [a,b][a,b] 连续、(a,b)(a,b) 可导，g′≠0g'\ne 0f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
有界性与最值定理ff 在 [a,b][a,b] 连续ff 有界，且必取得最大值与最小值
介值定理ff 在 [a,b][a,b] 连续介于 f(a),f(b)f(a),f(b) 之间的值都被取到
零点定理ff 在 [a,b][a,b] 连续且 f(a)f(b)<0f(a)f(b) < 0存在 ξ\xi，f(ξ)=0f(\xi) = 0

条件验证必须写全：闭区间连续 + 开区间可导 + 端点条件，缺一项阅卷扣分。

辅助函数构造模式表（核心套路）

证题流程：把结论中的 ξ\xi 换成 xx，凑成 F′(x)=0F'(x) = 0 的形式，再找 F(x)F(x) 对罗尔定理。

结论中出现构造 F(x)F(x)原理
f′(ξ)+λf(ξ)=0f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0eλxf(x)e^{\lambda x}f(x)(eλxf)′=eλx(f′+λf)(e^{\lambda x}f)' = e^{\lambda x}(f' + \lambda f)
ξf′(ξ)+f(ξ)=0\xi f'(\xi) + f(\xi) = 0xf(x)xf(x)(xf)′=f+xf′(xf)' = f + xf'
f′(ξ)g(ξ)+f(ξ)g′(ξ)=0f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0f(x)g(x)f(x)g(x)乘积求导的逆用
f′(ξ)g(ξ)−f(ξ)g′(ξ)=0f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}商求导的逆用（g≠0g \ne 0）
f(ξ)f′(ξ)=0f(\xi)f'(\xi) = 0f2(x)f^2(x)(f2)′=2ff′(f^2)' = 2ff'
ξf′(ξ)−f(ξ)=0\xi f'(\xi) - f(\xi) = 0（f(0)=0f(0)=0 时）f(x)x\dfrac{f(x)}{x}商求导逆用
含 f′′f'' 的两中值问题分区间各用一次拉格朗日/柯西见例题 5 的双中值模式

端点凑法：构造出的 FF 需要两端点值相等（罗尔）或已知端点值（拉格朗日）。题目给的条件（如 f(1)=0f(1) = 0、f(0)=f(1)f(0) = f(1)）就是用来凑端点的——先看条件能凑出哪个 FF 的等值端点，再定构造方向。

（辅助函数构造的分步演示：待动画化）

单调性、极值、凹凸性、拐点

判别流程（一阶导定单调极值，二阶导定凹凸拐点）：

对象判据备注
单调增/减区间f′>0f' > 0 / f′<0f' < 0（在区间上）驻点与不可导点是分界候选
极值判别法一f′f' 在 x0x_0 两侧变号左正右负为极大；不需要 x0x_0 可导
极值判别法二f′(x0)=0f'(x_0) = 0 且 f′′(x0)<0f''(x_0) < 0（极大）只适用于驻点；f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 时失效，回到判别法一
凹凸区间f′′>0f'' > 0（凹/下凸）/ f′′<0f'' < 0（凸/上凸）注意教材用语，卷面写"凹（下凸）"最稳
拐点f′′f'' 在 x0x_0 两侧变号拐点是曲线上的点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))，答 x0x_0 一个数不完整

概念辨析（选择题陷阱区）：

  • 驻点（f′=0f'=0 的点）≠\ne 极值点：f(x)=x3f(x) = x^3 在 0 是驻点非极值；∣x∣|x| 在 0 是极值点非驻点
  • 极值是局部概念；最值还看端点与不可导点
  • f′(x0)>0f'(x_0) > 0 只能保证存在邻域单调增（由保号性），不能推出整个给定区间单调

渐近线（三种全算）

设 y=f(x)y = f(x)：

类型计算注意
水平渐近线lim⁡x→+∞f(x)=a\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = a 或 lim⁡x→−∞f(x)=a\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = a，则 y=ay = a两侧要分别算，可能有两条不同的
垂直渐近线lim⁡x→x0f(x)=∞\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = \infty，则 x=x0x = x_0候选点：无定义点、区间端点（如 ln⁡x\ln x 的 0+0^+），也要分单侧
斜渐近线k=lim⁡x→∞f(x)xk = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}，b=lim⁡x→∞[f(x)−kx]b = \lim\limits_{x\to\infty}[f(x) - kx]，则 y=kx+by = kx + bx→+∞x\to+\infty 与 x→−∞x\to-\infty 分别算，可能两条；某侧有水平渐近线则该侧无斜渐近线

统计渐近线条数的题型：三种全查、双侧全查，漏 x→−∞x\to-\infty 是最常见丢分点。

例题

例题 1（模拟题）导数定义变体

设 f(0)=0f(0) = 0、f′(0)=2f'(0) = 2，求 lim⁡x→0f(1−cos⁡x)x2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(1-\cos x)}{x^2}。

解析：只知一点可导，禁止洛必达，凑定义：

f(1−cos⁡x)x2=f(1−cos⁡x)1−cos⁡x⋅1−cos⁡xx2\frac{f(1-\cos x)}{x^2} = \frac{f(1-\cos x)}{1-\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}

第一因子中 t=1−cos⁡x→0t = 1-\cos x \to 0 且 t≠0t \ne 0，故趋于 f′(0)=2f'(0) = 2；第二因子趋于 12\dfrac{1}{2}。原式 =2×12=1= 2\times\dfrac{1}{2} = 1。

例题 2（模拟题）分段函数可导性

f(x)={x2,x≤1ax+b,x>1f(x) = \begin{cases}x^2, & x \le 1 \\ ax + b, & x > 1\end{cases} 在 x=1x = 1 处可导，求 a,ba, b。

解析：可导必连续：lim⁡x→1−f=1\lim_{x\to 1^-}f = 1，lim⁡x→1+f=a+b\lim_{x\to 1^+}f = a + b，故 a+b=1a + b = 1。

分界点求导必须用定义：f−′(1)=lim⁡h→0−(1+h)2−1h=2f'_-(1) = \lim_{h\to 0^-}\frac{(1+h)^2 - 1}{h} = 2，f+′(1)=lim⁡h→0+a(1+h)+b−1h=lim⁡h→0+ahh=af'_+(1) = \lim_{h\to 0^+}\frac{a(1+h) + b - 1}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{ah}{h} = a。可导要求 a=2a = 2，从而 b=−1b = -1。

坑：直接对两段表达式求导再令相等会漏掉连续性条件，某些题（如 x≤1x\le 1 段常数不同）会出错，用定义最稳。

例题 3（模拟题）对数求导与参数方程二阶导

（1）y=xsin⁡xy = x^{\sin x}（x>0x > 0），求 y′y'。

（2）x=ln⁡(1+t2)x = \ln(1+t^2)，y=t−arctan⁡ty = t - \arctan t，求 d2ydx2\dfrac{d^2y}{dx^2}。

解析：

（1）幂指函数，取对数：ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y = \sin x\ln x，两边对 xx 求导（左边是 y′y\frac{y'}{y}）：

y′y=cos⁡xln⁡x+sin⁡xx  ⟹  y′=xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)\frac{y'}{y} = \cos x\ln x + \frac{\sin x}{x} \implies y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)

（2）x′(t)=2t1+t2x'(t) = \dfrac{2t}{1+t^2}，y′(t)=1−11+t2=t21+t2y'(t) = 1 - \dfrac{1}{1+t^2} = \dfrac{t^2}{1+t^2}，故

dydx=t2/(1+t2)2t/(1+t2)=t2\frac{dy}{dx} = \frac{t^2/(1+t^2)}{2t/(1+t^2)} = \frac{t}{2}

d2ydx2=(t/2)′x′(t)=1/22t/(1+t2)=1+t24t\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(t/2)'}{x'(t)} = \frac{1/2}{2t/(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{4t}

第二步必须再除以 x′(t)x'(t)，这是参数方程二阶导的标准失分点。

例题 4（模拟题）隐函数求导

设 xy+ey=exy + e^y = e 确定 y=y(x)y = y(x)，求 y′(0)y'(0)（注意 x=0x = 0 时 y=1y = 1）。

解析：两边对 xx 求导：y+xy′+eyy′=0y + xy' + e^y y' = 0，解得 y′=−yx+eyy' = -\dfrac{y}{x + e^y}。代入 (0,1)(0, 1)：y′(0)=−1ey'(0) = -\dfrac{1}{e}。

例题 5（真题，2005 年数学一）双中值：介值 + 拉格朗日

设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续、在 (0,1)(0,1) 内可导，f(0)=0f(0) = 0，f(1)=1f(1) = 1。证明：

（1）存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1)，使得 f(ξ)=1−ξf(\xi) = 1 - \xi；

（2）存在两个不同的点 η,ζ∈(0,1)\eta, \zeta\in(0,1)，使得 f′(η)f′(ζ)=1f'(\eta)f'(\zeta) = 1。

解析：

（1）令 g(x)=f(x)+x−1g(x) = f(x) + x - 1，gg 在 [0,1][0,1] 连续，g(0)=−1<0g(0) = -1 < 0，g(1)=1>0g(1) = 1 > 0。由零点定理，存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1) 使 g(ξ)=0g(\xi) = 0，即 f(ξ)=1−ξf(\xi) = 1 - \xi。

（2）在 [0,ξ][0, \xi] 与 [ξ,1][\xi, 1] 上分别用拉格朗日中值定理（连续可导条件均满足）：

f′(η)=f(ξ)−f(0)ξ−0=1−ξξ,f′(ζ)=f(1)−f(ξ)1−ξ=1−(1−ξ)1−ξ=ξ1−ξf'(\eta) = \frac{f(\xi) - f(0)}{\xi - 0} = \frac{1-\xi}{\xi}, \qquad f'(\zeta) = \frac{f(1) - f(\xi)}{1 - \xi} = \frac{1-(1-\xi)}{1-\xi} = \frac{\xi}{1-\xi}

两式相乘：f′(η)f′(ζ)=1f'(\eta)f'(\zeta) = 1，且 η∈(0,ξ)\eta \in (0,\xi)、ζ∈(ξ,1)\zeta\in(\xi, 1) 必不相同。

套路总结：第（1）问用介值/零点定理先"切"出一个分点，第（2）问在两个子区间各用一次中值定理——这是"两个不同中值"类问题的标准双段式结构。

例题 6（模拟题）极值、拐点与渐近线综合

求 f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x} 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点与渐近线。

解析：

f′(x)=e−x(1−x)f'(x) = e^{-x}(1 - x)：x<1x < 1 时 f′>0f' > 0（增），x>1x > 1 时 f′<0f' < 0（减），x=1x = 1 为极大值点，f(1)=e−1f(1) = e^{-1}。

f′′(x)=e−x(x−2)f''(x) = e^{-x}(x - 2)：x<2x < 2 时 f′′<0f'' < 0（上凸），x>2x > 2 时 f′′>0f'' > 0（下凹），拐点 (2,2e−2)\left(2, 2e^{-2}\right)。

渐近线：x→+∞x\to+\infty 时 f→0+f \to 0^+，有水平渐近线 y=0y = 0；x→−∞x\to-\infty 时 f→−∞f \to -\infty，且 k=lim⁡x→−∞fx=lim⁡e−x=+∞k = \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f}{x} = \lim e^{-x} = +\infty 不存在，故该侧无斜渐近线，也无水平渐近线。无垂直渐近线。

坑：水平渐近线只在一侧成立也必须写清楚方向。

常见坑

  1. 一点可导就敢用洛必达：见"一点可导 vs 邻域可导"，这是选择题最爱设的错误解法
  2. 参数方程二阶导漏除 x′(t)x'(t)
  3. 幂指函数用 (uv)′=vuv−1(u^v)' = vu^{v-1}：该公式只对常数指数成立，幂指必须对数求导
  4. "极值点必是驻点"：错。不可导点也能取极值（∣x∣|x| 在 0）
  5. 分段点求导不走定义：对两段各自求导再拼接，在分界点不合法
  6. 渐近线只查一个方向：x→−∞x\to-\infty 的水平/斜渐近线经常单独存在
  7. 拐点答成 x0x_0：拐点是 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))，必须带函数值
  8. 中值定理证明跳过条件验证：开区间可导、闭区间连续、端点条件，三条都要写
  9. f′(x0)=0f'(x_0) = 0 且 f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 就下结论：判别法二失效，必须回判别法一查变号

自测

  1. 求 f(x)=∣x∣sin⁡xf(x) = |x|\sin x 在 x=0x = 0 处的导数（若存在）
  2. 设 xy+ey=exy + e^y = e 确定 y=y(x)y = y(x)，写出 y′(x)y'(x) 的一般表达式
  3. 求 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x 的极值点与极值
  4. 求曲线 y=x2+1x−1y = \dfrac{x^2+1}{x-1} 的全部渐近线
  5. 设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上连续、(0,1)(0,1) 内可导，且 f(0)=f(1)=0f(0) = f(1) = 0，证明存在 ξ∈(0,1)\xi\in(0,1) 使 f′(ξ)=f(ξ)f'(\xi) = f(\xi)

自测答案与简析

  1. 存在，f′(0)=0f'(0) = 0。∣x∣sin⁡xx=∣x∣xsin⁡x→0\dfrac{|x|\sin x}{x} = \dfrac{|x|}{x}\sin x \to 0（因 ∣sin⁡x∣≤∣x∣|\sin x| \le |x|），定义直接算出
  2. y′=−yx+eyy' = -\dfrac{y}{x + e^y}（隐函数两边求导后解出，含 yy 的表达式是正常形态）
  3. f′=3x2−3=0f' = 3x^2 - 3 = 0 得 x=±1x = \pm 1。x=−1x = -1 左右 f′f' 由正变负，极大值 f(−1)=2f(-1) = 2；x=1x = 1 左右由负变正，极小值 f(1)=−2f(1) = -2
  4. 垂直渐近线 x=1x = 1；k=lim⁡x2+1x(x−1)=1k = \lim\dfrac{x^2+1}{x(x-1)} = 1，b=lim⁡[x2+1x−1−x]=lim⁡x+1x−1=1b = \lim\left[\dfrac{x^2+1}{x-1} - x\right] = \lim\dfrac{x+1}{x-1} = 1，斜渐近线 y=x+1y = x + 1；无水平渐近线
  5. 构造 F(x)=e−xf(x)F(x) = e^{-x}f(x)：F(0)=F(1)=0F(0) = F(1) = 0，FF 在 [0,1][0,1] 连续、(0,1)(0,1) 可导，由罗尔定理存在 ξ\xi 使 F′(ξ)=e−ξ[f′(ξ)−f(ξ)]=0F'(\xi) = e^{-\xi}[f'(\xi) - f(\xi)] = 0，即 f′(ξ)=f(ξ)f'(\xi) = f(\xi)。这是模式表中 eλxfe^{\lambda x}f 构造的 λ=−1\lambda = -1 情形

本章关联

  • 前一章：函数、极限与连续（导数定义即差商极限）
  • 章节测验已随章编排（紧随对应章节之后，学完即测），测验目录存放科目综合测与错题本；做完回写 错题本