#随机事件与概率

#考点定位

• 大纲位置：概率论与数理统计 · 随机事件和概率（数一、数三公共考点；几何概型仅数一）
• 常见题型：事件关系与运算的化简、用概率性质求概率、古典概型与几何概型小题、条件概率与乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式（小题或解答题第一问）、独立性与 $n$ 重伯努利试验
• 考查频率：高。全概率/贝叶斯与独立性是选择题高频区；事件运算与概率性质是后续所有章节的地基
• 前置知识：中学排列组合（本章内嵌速查表）；几何概型需要一元函数积分学中的定积分（求面积）
• 定位：本章把"随机现象"翻译成"集合 + 测度"。工程师可以把它类比成：样本空间是全集 $\Omega$，事件是集合，概率是定义在集合族上、满足三条公理的"测度函数"。后面所有章节（随机变量、分布、数字特征）的严格定义都以本章概念为成分，定义边界必须逐字抠清（如两两独立 ≠ 相互独立、$P(A)=0$ 不推出 $A=\varnothing$）

#核心讲解

#随机试验与样本空间

定义（随机试验）：满足以下三个条件的试验称为随机试验，记作 $E$：

1. 可在相同条件下重复进行；
2. 每次试验的可能结果不止一个，且所有可能结果事先明确；
3. 进行一次试验之前无法确定哪一个结果出现。

定义（样本空间）：随机试验 $E$ 的所有可能结果组成的集合，称为 $E$ 的样本空间，记为 $\Omega$（或 $S$）；样本空间中的每个元素（即 $E$ 的每个可能结果）称为样本点，记为 $\omega$。

例子：

• 抛一枚硬币：$\Omega = \{正, 反\}$
• 抛两枚骰子观察点数之和：$\Omega = \{2, 3, \dots, 12\}$
• 测量某元件寿命：$\Omega = \{t \mid t \ge 0\}$
• 在线段 $[0,1]$ 上任取一点：$\Omega = \{x \mid 0 \le x \le 1\}$（样本空间可以是不可数集）

#随机事件

定义（随机事件）：样本空间 $\Omega$ 的子集称为随机事件，简称事件，常用大写字母 $A, B, C$ 表示。在一次试验中，当且仅当该子集中的某一个样本点出现时，称这一事件发生。

• 基本事件：由单个样本点组成的单点集
• 必然事件：$\Omega$ 本身（每次试验必发生）
• 不可能事件：空集 $\varnothing$（永不发生）

#事件间的关系与运算

设 $A, B \subseteq \Omega$，事件本质是集合，所有关系与运算按集合语义理解。完整定义如下：

文氏图当前以文字示意（L1 静态规范），交互式文氏图（点击高亮运算结果）待主协调者统一排期动画化。

对工程师的类比：事件运算就是集合上的布尔代数，与位运算、位图掩码完全同构（$\cup \leftrightarrow$ OR，$\cap \leftrightarrow$ AND，$\overline{A} \leftrightarrow$ NOT，$A - B \leftrightarrow A\ \&\ \sim B$）。

运算律（解题化简全靠它们）：

1. 交换律：$A \cup B = B \cup A$，$AB = BA$
2. 结合律：$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$，$(AB)C = A(BC)$
3. 分配律：$A(B \cup C) = AB \cup AC$，$A \cup BC = (A \cup B)(A \cup C)$
4. 对偶律（De Morgan 律）：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$，$\overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}$；推广到 $n$ 个事件：$\overline{\bigcup A_i} = \bigcap \overline{A_i}$，$\overline{\bigcap A_i} = \bigcup \overline{A_i}$

常用化简：$(A \cup B)(A \cup \overline{B}) = A$；$(A \cup B)(\overline{A} \cup B) = B$；"恰发生一个"$= A\overline{B} \cup \overline{A}B$；"至少发生一个"$= A \cup B$；"都不发生"$= \overline{A}\,\overline{B} = \overline{A \cup B}$；"不都发生"$= \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}$。注意"都不发生"与"不都发生"是两个不同事件，命题人最爱在此设陷阱。

#概率的公理化定义与性质

定义（概率的公理化定义）：设 $\Omega$ 是样本空间，$\mathcal{F}$ 是由 $\Omega$ 的部分子集构成的事件域。定义在 $\mathcal{F}$ 上的实值函数 $P(\cdot)$ 若满足三条公理：

1. 非负性：对任意 $A \in \mathcal{F}$，$P(A) \ge 0$；
2. 规范性：$P(\Omega) = 1$；
3. 可列可加性：若 $A_1, A_2, \dots$ 两两互斥，则 $P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$；

则称 $P$ 为概率，$P(A)$ 为事件 $A$ 的概率。

这三条公理是整个概率论的"接口规范"——后面条件概率、分布函数、期望全部按同一套公理展开。由公理可逐一推导出以下六条性质（考试可直接使用，但须记住它们是定理而非公理）：

性质 1（不可能事件）：$P(\varnothing) = 0$。

证：$\Omega = \Omega \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots$，由可列可加性 $1 = P(\Omega) = P(\Omega) + P(\varnothing) + P(\varnothing) + \cdots$，故 $P(\varnothing) = 0$。

注意逆命题不成立：$P(A) = 0$ 不能推出 $A = \varnothing$。几何概型中"任取一点恰是某个固定点"的概率为 $0$，但该事件并非不可能事件。

性质 2（有限可加性）：若 $A_1, \dots, A_n$ 两两互斥，则 $P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$。特别地，$A$ 与 $\overline{A}$ 互斥互补，得 $P(A) + P(\overline{A}) = 1$。

性质 3（单调性与差）：若 $A \subset B$，则 $P(A) \le P(B)$，且

$P(B - A) = P(B) - P(A)$

证：$B = A \cup (B - A)$ 且 $A(B-A) = \varnothing$，用有限可加性即得。由 $P(B-A) \ge 0$ 得单调性。由 $P(A) \le P(\Omega) = 1$ 得 $0 \le P(A) \le 1$。

性质 4（减法公式，不要求包含关系）：对任意事件 $A, B$，

$P(A - B) = P(A) - P(AB)$

注意 $A - B = A - AB$（把 $A$ 中与 $B$ 相交的部分去掉），套性质 3 即证。区别于性质 3：性质 3 需要 $A \subset B$ 的前提，性质 4 无条件成立。

性质 5（对立事件）：

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

实战价值："至少……"型事件直接算复杂时，改算其对立事件再相减，是最常用的化简手法。

性质 6（加法公式）：对任意事件 $A, B$，

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

证：$A \cup B = A \cup (B - AB)$ 两部分互斥，用有限可加性与减法公式。三个事件的推广（容斥）：

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$

推论（Bonferroni，选择题常用）：$P(AB) \ge P(A) + P(B) - 1$；更一般地 $P(AB) \ge P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ 恒成立（实为加法公式变形）。

例 1（加法/减法公式综合，模拟题）：设 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.3$，$P(A \cup B) = 0.6$，求 $P(A\overline{B})$ 与 $P(\overline{A}\,\overline{B})$。

解：先求交：$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 - 0.6 = 0.1$。

• $P(A\overline{B}) = P(A - B) = P(A) - P(AB) = 0.4 - 0.1 = 0.3$；
• $P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0.6 = 0.4$。

第二个不能写成 $1 - P(AB)$（那是"不都发生"），错因见"常见坑"。

#古典概型

定义（古典概型）：若试验满足

1. 有限性：$\Omega$ 只含有限个样本点；
2. 等可能性：每个样本点发生的概率相同，即 $P(\{\omega_i\}) = \frac{1}{n}$；

则称此试验为古典概型（等可能概型）。此时

$P(A) = \frac{A \text{ 中样本点数}}{\Omega \text{ 中样本点数}} = \frac{\text{有利于 } A \text{ 的结果数}}{\text{总结果数}}$

排列组合速查（中学工具，站内速查）：

例 2（古典概型 · 抽样检验，模拟题）：10 件产品中有 4 件次品，从中无放回任取 3 件，求恰取到 2 件次品的概率。

解：无放回取 3 件不计次序，总数 $C_{10}^3 = 120$。恰 2 件次品：从 4 件次品取 2、6 件正品取 1，有利数 $C_4^2 C_6^1 = 6 \times 6 = 36$。故

$P = \frac{C_4^2 C_6^1}{C_{10}^3} = \frac{36}{120} = 0.3$

例 3（古典概型 · 分房模型，模拟题）：将 3 个球随机地放入 4 个盒子（每球等可能进任一盒，可同盒），求恰有一个空盒的概率。

解：球是"有名字"的，总放法 $4^3 = 64$。恰有一个空盒 $\iff$ 恰有 3 个盒子各有一球：选出 3 个盒子 $C_4^3$，3 个球在其中有 $3!$ 种排列，有利数 $C_4^3 \cdot 3! = 24$。故

$P = \frac{4 \times 6}{64} = \frac{3}{8}$

错因提醒：把"恰有一个空盒"误当"指定某盒为空"（那是 $\frac{3!}{64} = \frac{3}{32}$）。分房模型的关键是球可区分、每球独立选盒，样本空间按"球"计数而不是按"盒子占用形态"计数。

#几何概型（仅数一；数三不要求）

定义（几何概型）：若 $\Omega$ 是一个可测区域（线段、平面区域、空间区域），试验结果等可能地落在 $\Omega$ 内任一位置，且落在任意子区域 $A$ 的概率只与 $A$ 的测度（长度/面积/体积）成正比，则

$P(A) = \frac{A \text{ 的测度}}{\Omega \text{ 的测度}}$

古典概型的"有限+等可能"推广为"无限+等可能"。单点测度为 0，所以任何"恰好取到某个定点"的概率为 0——这是"$P(A)=0$ 但 $A \ne \varnothing$"的标准例子。

例 4（几何概型 · 会面问题，模拟题）：甲、乙两人约定在 6:00 到 7:00 之间在某地会面，先到者等候 20 分钟后离去。设两人在这一小时内到达的时刻独立且均匀分布，求两人能会面的概率。

解：设甲到达时刻为 $x$、乙为 $y$（单位：分钟），则 $\Omega = [0,60] \times [0,60]$，面积 $3600$。能会面 $\iff |x - y| \le 20$，其补集为两个直角边长 40 的三角形（$x - y > 20$ 与 $y - x > 20$），面积和 $2 \times \frac{1}{2} \times 40^2 = 1600$。故

$P = \frac{3600 - 1600}{3600} = \frac{5}{9}$

面积图（待动画化）：正方形中夹一条宽 20 的对角带，所求即对角带面积占比。几何概型解题固定套路：写出 $\Omega$ 与目标事件的不等式区域，算测度比；算面积常用补集。

#条件概率与乘法公式

定义（条件概率）：设 $A, B$ 为两事件，$P(A) > 0$，则称

$P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$

为"在 $A$ 发生的条件下 $B$ 发生"的条件概率。

理解要点：$P(B \mid A)$ 把样本空间从 $\Omega$ 收缩为 $A$，再在 $A$ 内度量 $B$ 的占比。$P(AB)$ 与 $P(B \mid A)$ 是不同对象：前者以 $\Omega$ 为全集，后者以 $A$ 为全集。

条件概率是概率：固定 $A$（$P(A)>0$），函数 $P(\cdot \mid A)$ 满足非负性、规范性（$P(\Omega \mid A) = 1$）、可列可加性，因此概率的全部六条性质对 $P(\cdot \mid A)$ 原样成立，例如 $P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A)$、$P(B_1 \cup B_2 \mid A) = P(B_1 \mid A) + P(B_2 \mid A) - P(B_1 B_2 \mid A)$。这一点在填空题里常用，很多人不知道条件概率也能用加法公式。

乘法公式：由定义式变形即得

$P(AB) = P(A)\,P(B \mid A) \quad (P(A) > 0)$

$P(AB) = P(B)\,P(A \mid B) \quad (P(B) > 0)$

三个事件推广：

$P(ABC) = P(A)\,P(B \mid A)\,P(C \mid AB) \quad (P(AB) > 0)$

例 5（乘法公式，模拟题）：一批零件 100 个，其中 10 个不合格。无放回地依次取 3 个，求前两次合格且第三次不合格的概率。

解：记 $A_i$ 为"第 $i$ 次取合格"。所求 $P(A_1 A_2 \overline{A_3}) = P(A_1) P(A_2 \mid A_1) P(\overline{A_3} \mid A_1 A_2) = \frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98} = \frac{80100}{970200} \approx 0.0826$。逐次抽取问题就按抽取顺序链式套乘法公式，分母每次减 1（无放回）。

#全概率公式与贝叶斯公式

定义补充（完备事件组）：若事件组 $B_1, B_2, \dots, B_n$ 满足 $B_i B_j = \varnothing\ (i \ne j)$ 且 $\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega$，则称之为完备事件组（划分）。直观理解：把所有可能的"原因/路径/来源"不重不漏地枚举出来。

定理（全概率公式）：设 $B_1, \dots, B_n$ 为完备事件组且 $P(B_i) > 0$，则对任意事件 $A$：

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)\, P(A \mid B_i)$

证明：由分配律，

$A = A\Omega = A\left(\bigcup_{i=1}^{n} B_i\right) = \bigcup_{i=1}^{n} (A B_i)$

由于 $B_i$ 两两互斥，$A B_1, \dots, A B_n$ 也两两互斥。由有限可加性（性质 2）与乘法公式：

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A \mid B_i) \qquad \blacksquare$

定理（贝叶斯公式）：设 $B_1, \dots, B_n$ 为完备事件组且 $P(B_i) > 0$，$P(A) > 0$，则

$P(B_j \mid A) = \frac{P(B_j)\,P(A \mid B_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i)\,P(A \mid B_i)}, \quad j = 1, \dots, n$

证明：由条件概率定义 $P(B_j \mid A) = \dfrac{P(AB_j)}{P(A)}$，分子用乘法公式展开为 $P(B_j)P(A \mid B_j)$，分母用全概率公式展开，即得。$\blacksquare$

解读（机器学习视角）：$P(B_i)$ 是先验，$P(A \mid B_i)$ 是似然，$P(B_j \mid A)$ 是后验。全概率公式做"边缘化"，贝叶斯公式做"由果溯因"。

例 6（抽签公平性，经典结论）：$n$ 张签中有 1 张中奖签，甲先抽、乙后抽（都不放回、不开签），证明乙的中奖概率与甲相同，均为 $\frac{1}{n}$。

解：记 $A$ = "甲中奖"，$B$ = "乙中奖"。$A$ 与 $\overline{A}$ 构成完备事件组，由全概率公式：

$P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(\overline{A})P(B \mid \overline{A}) = \frac{1}{n} \cdot 0 + \frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} = \frac{1}{n}$

同理可证第 $k$ 个抽的人中奖概率都是 $\frac{1}{n}$——抽签与顺序无关，先抽后抽一样公平。注意：这里"公平"指边际概率相等；在已知前面人结果后，条件概率会变（这正是条件概率与无条件概率的区别）。

例 7（疾病检测阳性，模拟题）：某病患病率为 $1\%$。检测试剂对病人呈阳性的概率（灵敏度）为 $99\%$，对健康人误呈阳性的概率（假阳性率）为 $5\%$。某人检测结果为阳性，求其确实患病的概率。

解：记 $D$ = "患病"，$+$ = "阳性"。$P(D) = 0.01$，$P(+ \mid D) = 0.99$，$P(+ \mid \overline{D}) = 0.05$。

先由全概率公式求阳性的总概率：

$P(+) = P(D)P(+ \mid D) + P(\overline{D})P(+ \mid \overline{D}) = 0.01 \times 0.99 + 0.99 \times 0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594$

再由贝叶斯公式：

$P(D \mid +) = \frac{P(D)P(+ \mid D)}{P(+)} = \frac{0.0099}{0.0594} = \frac{1}{6} \approx 0.167$

解读：即使试剂相当准，阳性者真正患病的概率只有约 $1/6$——因为患病率（先验）太低，阳性的大部分来源是健康人群的假阳性（基数大）。这就是基础率谬误，也是低流行率筛查必须复检的数学原因。考试角度：这是全概率+贝叶斯的标准模板题，"先全概率求分母，再贝叶斯求后验"，两步缺一不可。

#事件的独立性

定义（两事件独立）：若

$P(AB) = P(A)\,P(B)$

则称 $A$ 与 $B$ 独立。等价表述（$P(A) > 0$ 时）：$P(B \mid A) = P(B)$，即 $A$ 的发生不改变 $B$ 的概率。独立性是概率的数值关系，不是集合关系（集合上只有互斥、包含等，没有"独立"）。

重要性质：若 $A$ 与 $B$ 独立，则以下三对事件都独立：

$A \text{ 与 } \overline{B}, \qquad \overline{A} \text{ 与 } B, \qquad \overline{A} \text{ 与 } \overline{B}$

证（证第一条）：$P(A\overline{B}) = P(A - AB) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\left(1 - P(B)\right) = P(A)P(\overline{B})$。$\blacksquare$

定义（n 个事件相互独立）：若 $A_1, \dots, A_n$ 中任意 $k\ (2 \le k \le n)$ 个事件都满足"交的概率等于概率之积"，即对一切 $\{i_1, \dots, i_k\} \subset \{1, \dots, n\}$：

$P(A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_k}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k})$

则称 $A_1, \dots, A_n$ 相互独立。共需验证 $2^n - n - 1$ 个等式。

定义（两两独立）：若 $A_1, \dots, A_n$ 中任意两个事件独立，则称两两独立。

两两独立与相互独立的区别：相互独立 $\Longrightarrow$ 两两独立（显然，两两是"任意 $k$ 个"的特例）；反之不成立。经典反例（必须记住）：

例 8（两两独立但不相互独立，经典反例）：设 $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$，各样本点等可能（古典概型，每点概率 $\frac{1}{4}$）。令

$A = \{1, 2\}, \quad B = \{1, 3\}, \quad C = \{1, 4\}$

验证：$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2}$；$P(AB) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} = P(A)P(B)$，同理 $P(AC) = P(BC) = \frac{1}{4}$，故两两独立。但

$P(ABC) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} \ne \frac{1}{8} = P(A)P(B)P(C)$

故不相互独立。这个反例的选择题出现率极高。

独立性常用易错结论清单（逐条过一遍，都是选择题陷阱高发区）：

1. 独立与互斥不能混淆：若 $P(A) > 0$ 且 $P(B) > 0$，则 $A$、$B$ 互斥与独立不能同时成立——互斥时 $P(AB) = 0 \ne P(A)P(B) > 0$，即正概率下"互斥必不独立，独立必不互斥"。特别地，"独立"意味着可以同时发生，"互斥"恰恰是不能同时发生，语义上就是反的。
2. 零概率事件与任何事件独立：若 $P(A) = 0$，则对任意 $B$，$P(AB) = 0 = P(A)P(B)$（因 $AB \subset A$，$P(AB) \le P(A) = 0$）。同理 $P(A) = 1$ 时 $A$ 与任何事件独立。
3. 概率为 0 不等于不可能：$P(A) = 0 \not\Rightarrow A = \varnothing$（几何概型反例）；$P(A) = 1 \not\Rightarrow A = \Omega$。
4. 相互独立的任意子集仍相互独立，且把其中任意若干个换成其对立事件后仍相互独立。
5. 相互独立事件的"运算结果"未必与另一事件独立，但有保独立的运算：若 $A, B, C$ 相互独立，则 $A \cup B$、$AB$、$A - B$ 等都与 $C$ 独立。证一条（$A \cup B$ 与 $C$）：$P((A \cup B)C) = P(AC \cup BC) = P(AC) + P(BC) - P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) = \left[P(A) + P(B) - P(AB)\right]P(C) = P(A \cup B)P(C)$。$\blacksquare$
6. 独立性不能凭直觉，也不能由包含关系判断：$A \subset B$ 且都有正概率时必不独立（此时 $P(AB) = P(A)$，一般不等于 $P(A)P(B)$）。
7. 实际判断法：试验机制上互不影响（有放回抽取、各自独立射击、独立系统中各元件失效）$\Rightarrow$ 独立；无放回抽取的各次结果不独立。

例 9（独立性计算，模拟题）：设 $A$ 与 $B$ 相互独立，$P(A) = 0.3$，$P(B) = 0.5$，求 $P(A \cup B)$ 与 $P(\overline{A}\,\overline{B})$。

解：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 0.3 + 0.5 - 0.15 = 0.65$；$P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B}) = 0.7 \times 0.5 = 0.35$（亦可 $1 - P(A \cup B) = 0.35$ 验算）。

#n 重伯努利试验

定义：若试验 $E$ 只有两个结果：$A$ 与 $\overline{A}$（记 $P(A) = p$，$0 < p < 1$），将 $E$ 独立地重复做 $n$ 次，称为 $n$ 重伯努利试验。

定理：$n$ 重伯努利试验中 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为

$P_n(k) = C_n^k\, p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n$

（在 $n$ 个位置里选 $k$ 个发生 $A$，共 $C_n^k$ 种方案，每种方案概率 $p^k(1-p)^{n-k}$，由独立性各次结果概率直接相乘。）注意 $\sum_{k=0}^n P_n(k) = (p + 1 - p)^n = 1$，这组概率正是下一章二项分布的分布律。

例 10（伯努利试验，模拟题）：某射手每次命中率为 $0.7$，独立射击 5 次，求恰好命中 2 次与至少命中 1 次的概率。

解：恰好 2 次：$C_5^2 (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 \times 0.49 \times 0.027 = 0.1323$。至少 1 次：$1 - C_5^0(0.7)^0(0.3)^5 = 1 - 0.3^5 = 1 - 0.00243 = 0.99757$。"至少"类一律先算对立事件"全不中"。

#常见坑

1. "都不发生"与"不都发生"：$A$、$B$ 都不发生 $= \overline{A}\,\overline{B} = \overline{A \cup B}$；$A$、$B$ 不都发生 $= \overline{AB} = \overline{A} \cup \overline{B}$。差一个字，概率一般不同。
2. 减法公式的两种形态：$P(A - B) = P(A) - P(AB)$ 无条件成立；$P(B - A) = P(B) - P(A)$ 要求 $A \subset B$。套错形态必错。
3. $P(A) = 0 \not\Rightarrow A = \varnothing$；$P(A) = 1 \not\Rightarrow A = \Omega$。反之 $A = \varnothing \Rightarrow P(A) = 0$ 成立。选择题常拿"概率为 0 的事件必为不可能事件"做错误选项。
4. 互斥 ≠ 独立：这是全章第一大坑。互斥是集合关系（$AB = \varnothing$），独立是数值关系（$P(AB) = P(A)P(B)$）；正概率事件两者不能兼得。
5. 两两独立 ≠ 相互独立：三个及以上事件时，"两两独立 + $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$"才等价于相互独立；仅有 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$ 也不能推出相互独立（见自测第 5 题）。
6. 古典概型先验等可能：必须确认样本点真的等可能。"抛两枚硬币恰有一枚正面"不能当基本事件（概率 $\frac{1}{2}$ 而非 $\frac{1}{3}$）；正确的基本事件是（正正）（正反）（反正）（反反）。
7. 条件概率忘了"是概率"：$P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A)$ 成立，很多人误以为要用贝叶斯绕一圈。
8. 全概率公式的完备组：枚举"原因"必须不重不漏。漏一种来源（如"健康人"里漏掉）或来源之间有交集，公式失效。审题时先问自己：$A$ 的来源（路径）有哪几条？
9. 无放回抽取不独立：逐次无放回抽取要用乘法公式/超几何；有放回或独立重复才可用独立性或二项分布。
10. "至少"型先取对立：$P(\text{至少一个}) = 1 - P(\text{一个都没有})$ 几乎总能把 $n$ 项求和降为 1 项。

#自测

做完再看文末答案与简析。

1. 设 $P(A) = \frac{1}{2}$，$P(B) = \frac{1}{3}$，$P(A \cup B) = \frac{3}{4}$，求 $P(A\overline{B})$、$P(\overline{A}B)$ 与 $P(\overline{A}\,\overline{B})$。
2. 3 封信随机投入 4 个邮筒（每封信独立等可能投入任一邮筒），求前两个邮筒中恰有一封信的概率。
3. 甲袋中有 4 白 2 黑，乙袋中有 3 白 3 黑。先等可能任选一袋，再从该袋任取一球。（1）求取到白球的概率；（2）若取到白球，求它来自甲袋的概率。
4. 设 $P(A) > 0$，$P(B) > 0$。证明：若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $A$ 与 $B$ 不独立。
5. 判断对错：若 $P(A B) = P(A) P(B)$、$P(A C) = P(A) P(C)$、$P(B C) = P(B) P(C)$ 且 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$，则 $A, B, C$ 相互独立。

#自测答案与简析

1. $P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = \frac{1}{12}$。$P(A\overline{B}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$；$P(\overline{A}B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$；$P(\overline{A}\,\overline{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$。考点：加法/减法公式、De Morgan 律。
2. 总投法 $4^3 = 64$。恰有一封在前两个邮筒：选信 $3$ 种、选邮筒 $2$ 种、其余两封信各投后两个邮筒 $2^2$，共 $3 \times 2 \times 4 = 24$，$P = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}$。考点：分房型古典概型。
3. （1）全概率：$P(\text{白}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{6} = \frac{7}{12}$。（2）贝叶斯：$P(\text{甲} \mid \text{白}) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}{\frac{7}{12}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{12}} = \frac{4}{7}$。考点：全概率公式与贝叶斯公式。
4. 互斥时 $P(AB) = 0$，而 $P(A)P(B) > 0$，故 $P(AB) \ne P(A)P(B)$，不独立。考点：互斥与独立的关系。
5. 错。相互独立要求任意子集满足乘积等式，三个事件需 $P(AB) = P(A)P(B)$ 等 3 个两两条件 加 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$，共 4 个等式。本题条件恰好就是这 4 个等式，所以对——但注意若是"两两独立 + 三元等式缺一"或"仅有三元等式"则不成立。仔细数条件个数是本题唯一考点。

本测验性自测覆盖事件运算、古典概型、全概率/贝叶斯、独立性。大题量训练见随机事件与随机变量 章节测；错题按错因分类回写错题本。