考研之路

函数极限与连续 章节测

  • 范围：01-高等数学/01-函数、极限与连续
  • 题量：单选 12 + 填空 4 + 计算/证明 4，共 20 题，建议 60 分钟内完成
  • 要求：全部题目为模拟题（按真题风格命制，非历年真题）。答案与解析在文档末尾，做完再对
  • 考后动作：错题按错因分类（概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失）回写 错题本

一、单选题

1. lim⁡x→01+x−1−xx=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x} = （　）

A. 00　　B. 11　　C. 22　　D. 不存在

2. 当 x→0x\to 0 时，x−sin⁡xx - \sin x 是 xx 的（　）

A. 等价无穷小　　B. 同阶但不等价的无穷小　　C. 高阶无穷小　　D. 低阶无穷小

3. lim⁡x→0ex−esin⁡xx−sin⁡x=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x - e^{\sin x}}{x - \sin x} = （　）

A. 00　　B. 11　　C. ee　　D. 不存在

4. lim⁡x→0ex2−1−x2x4=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x^2} - 1 - x^2}{x^4} = （　）

A. 00　　B. 12\dfrac{1}{2}　　C. 11　　D. 22

5. lim⁡x→02+e1/x1+e4/x=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2 + e^{1/x}}{1 + e^{4/x}} = （　）

A. 00　　B. 22　　C. 12\dfrac{1}{2}　　D. 不存在（但不是 ∞\infty）

6. "f(x)f(x) 在 x0x_0 处连续"是"f(x)f(x) 在 x0x_0 处可导"的（　）

A. 充分必要条件　　B. 充分非必要条件　　C. 必要非充分条件　　D. 既非充分也非必要条件

7. 函数 f(x)=(x−1)e∣x−1∣f(x) = (x-1)e^{|x-1|} 在 x=1x = 1 处（　）

A. 可导且 f′(1)=0f'(1) = 0　　B. 可导且 f′(1)=1f'(1) = 1　　C. 可导且 f′(1)=2f'(1) = 2　　D. 不可导

8. 曲线 y=x2x+1y = \dfrac{x^2}{x+1} 的渐近线共有（　）

A. 11 条　　B. 22 条　　C. 33 条　　D. 44 条

9. 设 f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上二阶可导且 f′′(x)>0f''(x) > 0 对 x∈(0,1)x\in(0,1) 恒成立，则（　）

A. f′(1)<f(1)−f(0)<f′(0)f'(1) < f(1) - f(0) < f'(0)　　B. f′(0)<f(1)−f(0)<f′(1)f'(0) < f(1) - f(0) < f'(1) C. f′(0)<f′(1)<f(1)−f(0)f'(0) < f'(1) < f(1) - f(0)　　D. f(1)−f(0)<f′(0)<f′(1)f(1) - f(0) < f'(0) < f'(1)

10. lim⁡x→0x2sin⁡(1/x)sin⁡x=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2\sin(1/x)}{\sin x} = （　）

A. 00　　B. 11　　C. 不存在　　D. ∞\infty

11. lim⁡x→0((1+x)1/xe)1/x=\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{(1+x)^{1/x}}{e}\right)^{1/x} = （　）

A. e−1e^{-1}　　B. e−12e^{-\frac{1}{2}}　　C. 11　　D. e12e^{\frac{1}{2}}

12. 当 x→0x\to 0 时，下列无穷小中与 x2x^2 等价的是（　）

A. 1−cos⁡x1 - \cos x　　B. xln⁡(1+x)x\ln(1+x)　　C. tan⁡x−x\tan x - x　　D. 1+x2−1\sqrt{1+x^2} - 1

二、填空题

13. lim⁡x→∞(x2+1x2−1)x2=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2} = ________

14. 若 lim⁡x→0cos⁡x−ax2=b\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x - a}{x^2} = b 存在，则 a=a = ________，b=b = ________

15. 函数 f(x)=ex/(x−1)f(x) = e^{x/(x-1)} 的间断点 x=1x = 1 是________间断点（写出具体类型）

16. 当 x→0x\to 0 时，tan⁡x−sin⁡x\tan x - \sin x 与 axna x^n（常数 a≠0a\ne 0，nn 为正整数）同阶，则 a=a = ________，n=n = ________

三、计算与证明题

17.（要求用两种方法）求 lim⁡x→0(1x−1ex−1)\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{e^x - 1}\right)

18. 求 lim⁡x→0+(tan⁡x)1/ln⁡x\lim\limits_{x\to 0^+}(\tan x)^{1/\ln x}，并指出它属于哪种未定式

19. 已知 lim⁡x→0sin⁡3x+xf(x)x3=0\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x + x f(x)}{x^3} = 0，求 lim⁡x→03+f(x)x2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3 + f(x)}{x^2}

20. 求函数 f(x)=x2−x∣x∣(x2−1)f(x) = \dfrac{x^2 - x}{|x|(x^2 - 1)} 的全部间断点，并判断各间断点的类型

答案与解析

单选题

1. B（易）

  • 考点标签：根式有理化
  • 解析：分子有理化，(1+x−1−x)(1+x+1−x)x(1+x+1−x)=2xx(1+x+1−x)→22=1\dfrac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} = \dfrac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})} \to \dfrac{2}{2} = 1
  • 错因提醒：直接对分子"等价替换"无从下手；1+x−1∼x2\sqrt{1+x}-1 \sim \frac{x}{2} 这类条目只适用于"减 1"结构，本题是两个根式之差，必须先有理化

2. C（易）

  • 考点标签：无穷小阶的比较
  • 解析：x−sin⁡x∼x36x - \sin x \sim \dfrac{x^3}{6}，相对 xx 是三阶，即高阶无穷小
  • 错因提醒：部分考生会用 x−sin⁡x≈x−x=0x - \sin x \approx x - x = 0，这正说明加减结构中禁止逐项等价替换，须用泰勒展开

3. B（中）

  • 考点标签：提出公因子 + 等价替换
  • 解析：ex−esin⁡x=esin⁡x(ex−sin⁡x−1)e^x - e^{\sin x} = e^{\sin x}\left(e^{x - \sin x} - 1\right)。第一因子 esin⁡x→1e^{\sin x} \to 1 是非零因子直接提出；第二因子 ex−sin⁡x−1∼x−sin⁡xe^{x-\sin x} - 1 \sim x - \sin x，故原式 =1= 1
  • 错因提醒：对 ex−esin⁡xe^x - e^{\sin x} 直接用拉格朗日中值 =eξ(x−sin⁡x)= e^{\xi}(x - \sin x) 也可，但硬上洛必达会导致求导过程极其繁琐——先提非零因子是此类"同底指数之差"的标准动作

4. B（中）

  • 考点标签：泰勒展开（上下同阶原则）
  • 解析：ex2=1+x2+x42+o(x4)e^{x^2} = 1 + x^2 + \dfrac{x^4}{2} + o(x^4)，分子 =x42+o(x4)= \dfrac{x^4}{2} + o(x^4)，除以 x4x^4 得 12\dfrac{1}{2}
  • 错因提醒：只展到 x2x^2 项则分子恒为 o(x2)o(x^2)，无信息。加减结构必须展到抵消后第一个非零项

5. D（中）

  • 考点标签：e1/xe^{1/x} 型单侧极限
  • 解析：x→0+x\to 0^+ 时分子分母同除 e4/xe^{4/x}：2e−4/x+e−3/xe−4/x+1→0\dfrac{2e^{-4/x} + e^{-3/x}}{e^{-4/x} + 1} \to 0；x→0−x\to 0^- 时 e1/x→0e^{1/x}\to 0、e4/x→0e^{4/x}\to 0，比值 →2\to 2。左右极限存在但不相等，极限不存在（且不是 ∞\infty）
  • 错因提醒：见 e1/xe^{1/x} 必须分侧。误选 A 或 B 都是只算了一侧

6. C（易）

  • 考点标签：连续与可导的关系
  • 解析：可导必连续；连续不一定可导（反例 ∣x∣|x| 在 x=0x=0）。故连续是可导的必要非充分条件
  • 错因提醒：方向别记反——"ff 在 x0x_0 可导 ⇒f\Rightarrow f 在 x0x_0 连续"，箭头只能从可导指向连续

7. B（中）

  • 考点标签：绝对值函数的左右导数
  • 解析：分段去绝对值后求导，再看 xo1x o 1 两侧的导数值。x>1x>1 时 f=(x−1)ex−1f = (x-1)e^{x-1}，f′(x)=ex−1+(x−1)ex−1=xex−1f'(x) = e^{x-1} + (x-1)e^{x-1} = xe^{x-1}，故 f+′(1)=1f'_+(1) = 1；x<1x<1 时 f=(x−1)e1−xf = (x-1)e^{1-x}，f′(x)=e1−x−(x−1)e1−x=(2−x)e1−xf'(x) = e^{1-x} - (x-1)e^{1-x} = (2-x)e^{1-x}，故 f−′(1)=1f'_-(1) = 1。左右导数存在且相等，ff 在 x=1x=1 处可导，f′(1)=1f'(1) = 1
  • 错因提醒：含绝对值的函数在"尖点"处不可导是常见经验（如 ∣x∣|x| 在 00），但本题指数因子恰好把两侧导数"抹平"为相等——经验结论不能代替左右导数的实际计算。另注意结论链：左右导数都存在且相等   ⟺  \iff 可导

8. B（中）

  • 考点标签：渐近线条数统计
  • 解析：垂直渐近线 x=−1x = -1；k=lim⁡x→∞x2x(x+1)=1k = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{x(x+1)} = 1，b=lim⁡x→∞[x2x+1−x]=lim⁡−xx+1=−1b = \lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{x^2}{x+1} - x\right] = \lim\dfrac{-x}{x+1} = -1，斜渐近线 y=x−1y = x - 1；有斜渐近线的一侧无水平渐近线。共 2 条
  • 错因提醒：统计条数要"三种全查、双侧全查"；本题 x→+∞x\to+\infty 与 x→−∞x\to-\infty 的斜渐近线相同，切勿因此重复计数

9. B（中）

  • 考点标签：拉格朗日中值定理 + 单调性
  • 解析：由拉格朗日，f(1)−f(0)=f′(c)f(1) - f(0) = f'(c)，c∈(0,1)c\in(0,1)。f′′>0⇒f′f'' > 0 \Rightarrow f' 在 (0,1)(0,1) 严格增，故 f′(0)<f′(c)<f′(1)f'(0) < f'(c) < f'(1)，即 B
  • 错因提醒：f′(0)f'(0)、f′(1)f'(1) 题设未明说存在——二阶可导于开区间，端点导数应理解为单侧/延拓意义；标准考法即按严格增比较，选 B。若纠结端点导数存在性属于审题偏差

10. A（中）

  • 考点标签：洛必达失效场景、夹逼
  • 解析：x2sin⁡(1/x)sin⁡x=xsin⁡x⋅xsin⁡(1/x)\dfrac{x^2\sin(1/x)}{\sin x} = \dfrac{x}{\sin x}\cdot x\sin(1/x)，第一因子 →1\to 1，第二因子满足 ∣xsin⁡(1/x)∣≤∣x∣→0|x\sin(1/x)| \le |x| \to 0，故极限为 00。若用洛必达，分子求导后 sin⁡(1/x)−1xcos⁡(1/x)\sin(1/x) - \frac{1}{x}\cos(1/x) 振荡无极限，洛必达失效但原极限存在
  • 错因提醒："导后极限不存在"只能说明洛必达不适用，不能推出原极限不存在——这是 C 选项的陷阱

11. B（难）

  • 考点标签：1∞1^\infty 公式 + 高阶展开

  • 解析：底 (1+x)1/x/e→1(1+x)^{1/x}/e \to 1，指数 1x→∞\frac{1}{x}\to\infty，用 elim⁡v(u−1)e^{\lim v(u-1)}：

    (1+x)1/xe−1=eln⁡(1+x)x−ee=eln⁡(1+x)x−1−1e\dfrac{(1+x)^{1/x}}{e} - 1 = \dfrac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} - e}{e} = \dfrac{e^{\frac{\ln(1+x)}{x} - 1} - 1}{e}

    而 ln⁡(1+x)x−1=−x2+x23+o(x2)\dfrac{\ln(1+x)}{x} - 1 = -\dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{3} + o(x^2)，故 u−1∼−x2e⋅e⋅u - 1 \sim -\dfrac{x}{2e}\cdot e \cdot……逐步写：e−x2+o(x)−1∼−x2e^{-\frac{x}{2}+o(x)} - 1 \sim -\dfrac{x}{2}，于是 u−1=e−x2+o(x)−11⋅11u - 1 = \dfrac{e^{-\frac{x}{2} + o(x)} - 1}{1} \cdot \dfrac{1}{1}，即 u−1∼−x2u - 1 \sim -\dfrac{x}{2}。指数乘积 v(u−1)∼1x⋅(−x2)=−12v(u-1) \sim \dfrac{1}{x}\cdot\left(-\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}，原式 =e−1/2= e^{-1/2}

  • 错因提醒：把 (1+x)1/x(1+x)^{1/x} 当成 ee 直接代入是零精度；必须展到 xx 的一次项

12. B（易）

  • 考点标签：等价无穷小判定
  • 解析：A 1−cos⁡x∼x221-\cos x \sim \frac{x^2}{2}（同阶不等价）；B xln⁡(1+x)∼x2x\ln(1+x) \sim x^2（等价，正确）；C tan⁡x−x∼x33\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}（三阶）；D 1+x2−1∼x22\sqrt{1+x^2}-1 \sim \frac{x^2}{2}（同阶不等价）
  • 错因提醒："同阶"与"等价"要区分：A、D 与 x2x^2 同阶但比值是 12\frac{1}{2}，不是等价

填空题

13. e2e^2（中）

  • 考点标签：1∞1^\infty 公式
  • 解析：(1+2x2−1)x2\left(1 + \dfrac{2}{x^2-1}\right)^{x^2}，指数 x2⋅2x2−1→2x^2\cdot\dfrac{2}{x^2-1} \to 2，故极限 e2e^2
  • 错因提醒：u−1=2x2−1u - 1 = \dfrac{2}{x^2-1} 必须与指数相乘后再取极限，不是各自取极限

14. a=1a = 1，b=−12b = -\dfrac{1}{2}（中）

  • 考点标签：极限存在性反求参数
  • 解析：极限存在而分母 x2→0x^2 \to 0，必须分子 cos⁡x−a→0\cos x - a \to 0，得 a=1a = 1；再由 cos⁡x−1∼−x22\cos x - 1 \sim -\dfrac{x^2}{2} 得 b=−12b = -\dfrac{1}{2}
  • 错因提醒：没有"分子趋于 0"这一步，aa 无从确定——"分母趋 0 且极限存在 ⇒\Rightarrow 分子趋 0"是这类题的第一句话

15. 无穷间断点（第二类）（中）

  • 考点标签：间断点分类、单侧极限
  • 解析：x→1+x\to 1^+ 时 xx−1→+∞\frac{x}{x-1}\to+\infty，f→+∞f\to+\infty；x→1−x\to 1^- 时 xx−1→−∞\frac{x}{x-1}\to-\infty，f→0f\to 0。右（左）侧中出现无穷即第二类无穷间断点
  • 错因提醒：一侧极限为 00 不影响定性——第二类只要求至少一侧为无穷或振荡；"可去/跳跃"要求左右极限都存在

16. a=12a = \dfrac{1}{2}，n=3n = 3（中）

  • 考点标签：泰勒展开求阶
  • 解析：tan⁡x−sin⁡x=(x+x33)−(x−x36)+o(x3)=x32+o(x3)\tan x - \sin x = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3) = \frac{x^3}{2} + o(x^3)，故 n=3n = 3、a=12a = \frac{1}{2}
  • 错因提醒：逐项替换成 x−x=0x - x = 0 是本题的典型错误；加减结构必须整体展开

计算与证明题

17. 12\dfrac{1}{2}（中）

  • 考点标签：∞−∞\infty - \infty 型、通分、泰勒与洛必达双解

  • 解析：通分化为 00\dfrac{0}{0}：

    lim⁡x→0ex−1−xx(ex−1)\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}

    法一（等价替换 + 泰勒）：分母 x(ex−1)∼x2x(e^x - 1) \sim x^2，分子 ex−1−x∼x22e^x - 1 - x \sim \dfrac{x^2}{2}，极限 12\dfrac{1}{2}

    法二（洛必达）：lim⁡ex−1ex−1+xex\lim\dfrac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x}，仍为 00\dfrac{0}{0}，再洛一次得 lim⁡exex(2+x)=12\lim\dfrac{e^x}{e^x(2 + x)} = \dfrac{1}{2}

  • 错因提醒：∞−∞\infty - \infty 直接分别求极限得"∞−∞\infty - \infty"没有意义，第一步必是通分（分式之差）或有理化（根式之差）

18. ee，属 ∞0\infty^0 型（中）

  • 考点标签：幂指型未定式、取对数

  • 解析：x→0+x\to 0^+ 时底 tan⁡x→0+\tan x \to 0^+、指数 1ln⁡x→0\dfrac{1}{\ln x} \to 0，是 000^0 型（底趋于 0、指数趋于 0）。取对数：

    lim⁡x→0+ln⁡tan⁡xln⁡x=lim⁡x→0+ln⁡x+ln⁡tan⁡xxln⁡x=1+lim⁡x→0+ln⁡tan⁡xxln⁡x\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln\tan x}{\ln x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x + \ln\frac{\tan x}{x}}{\ln x} = 1 + \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln\frac{\tan x}{x}}{\ln x}

    因 tan⁡xx→1\frac{\tan x}{x} \to 1 且 ln⁡tan⁡xx∼x23→0\ln\frac{\tan x}{x} \sim \frac{x^2}{3} \to 0，而 ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty，第二项为 00。故对数极限为 11，原式 =e1=e= e^1 = e

  • 错因提醒：本题类型为 000^0（不是 ∞0\infty^0，先辨型再动手）；"0⋅ln⁡0\cdot\ln" 与 "ln⁡/ln⁡\ln/\ln" 的转化依赖 tan⁡x=x⋅tan⁡xx\tan x = x\cdot\frac{\tan x}{x} 的拆分，这是幂指型取对数后的标准预处理

19. 92\dfrac{9}{2}（难）

  • 考点标签：泰勒逆用、由极限条件反求信息

  • 解析：条件即 sin⁡3x+xf(x)=o(x3)\sin 3x + xf(x) = o(x^3)。展开 sin⁡3x=3x−(3x)36+o(x4)=3x−92x3+o(x4)\sin 3x = 3x - \dfrac{(3x)^3}{6} + o(x^4) = 3x - \dfrac{9}{2}x^3 + o(x^4)，代入：

    3x−92x3+o(x4)+xf(x)=o(x3)3x - \frac{9}{2}x^3 + o(x^4) + xf(x) = o(x^3)

    两边除以 xx：3+f(x)=92x2+o(x2)3 + f(x) = \dfrac{9}{2}x^2 + o(x^2)，故 lim⁡x→03+f(x)x2=92\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3+f(x)}{x^2} = \dfrac{9}{2}

  • 错因提醒：本题无法对 ff 直接求极限（ff 信息全在条件里），唯一路径是把已知函数展开到条件给出的精度；漏掉 sin⁡3x\sin 3x 三阶项会得到错误答案 00

20.（中偏难）

  • 考点标签：间断点全谱判别（一道题覆盖三类）

  • 解析：可疑点：x=−1,0,1x = -1, 0, 1（分母为零处）。

    x=−1x = -1：分子 x2−x=2≠0x^2 - x = 2 \ne 0，分母 ∣x∣(x2−1)→0|x|(x^2-1)\to 0 且 x2−1>0x^2 - 1 > 0，故 f→+∞f\to+\infty，为无穷间断点（第二类）

    x=0x = 0：分子 =x(x−1)∼−x= x(x-1) \sim -x，分母 =∣x∣(x2−1)∼−∣x∣= |x|(x^2-1) \sim -|x|。x→0+x\to 0^+：−x−x→1\dfrac{-x}{-x} \to 1；x→0−x\to 0^-：−x−(−x)→−1\dfrac{-x}{-(-x)} \to -1。左右极限存在不相等，为跳跃间断点（第一类）

    x=1x = 1：在 x=1x=1 附近 ∣x∣=x|x| = x，f=x(x−1)x(x−1)(x+1)=1x+1→12f = \dfrac{x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x+1} \to \dfrac{1}{2}，为可去间断点（第一类）（补充定义 f(1)=12f(1) = \frac{1}{2} 即连续）

  • 错因提醒：含 ∣x∣|x| 的分母在 x=0x = 0 处必须分侧；x=1x = 1 处要先约分再下结论，否则误判为"不存在"

测后统计（自填）

指标结果
得分 / 20
用时
错题题号
主要错因分类概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失

错题逐条回写 错题本；若第 5、10、11、19 题有错，建议重读章节讲义的"洛必达失效场景"与"泰勒逆用"两节。