考研之路

行列式与矩阵 章节测

试卷说明

  • 覆盖章节：行列式、矩阵
  • 题量与分值：选择 10 题（每题 4 分）+ 填空 8 题（每题 4 分）+ 解答 7 题（每题 10 分），满分 142 分
  • 建议用时：120～150 分钟（独立完成，不翻讲义；翻讲义则计时加 50%）
  • 题目来源：本卷全部题目为模拟题（依据历年统考真题的考点分布与题型风格自编，非真题）
  • 作答纪律：行列式与矩阵运算逐步书写，禁止跳步心算；每道计算题完成后代入验算至少一个位置
  • 考后动作：批改后将错题按"概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失"分类，回写 错题本

一、选择题

1. 设 AA 为 nn 阶方阵，kk 为常数，则 ∣kA∣=|kA| = （　）

A. k∣A∣k|A|　　B. kn∣A∣kn|A|　　C. kn∣A∣k^n|A|　　D. kn−1∣A∣k^{n-1}|A|

2. nn（n≥2n \geq 2）阶行列式的完全展开式中共有 n!n! 项，其中带正号的项数为（　）

A. n!n!　　B. n!2\dfrac{n!}{2}　　C. n!4\dfrac{n!}{4}　　D. n(n−1)2\dfrac{n(n-1)}{2}

3. 设 AA 为三阶方阵，∣A∣=3|A| = 3，则 ∣(−2A)−1∣=|(-2A)^{-1}| = （　）

A. −23-\dfrac{2}{3}　　B. 124\dfrac{1}{24}　　C. −124-\dfrac{1}{24}　　D. −83-\dfrac{8}{3}

4. 设 A,B,CA, B, C 均为 nn 阶方阵，下列命题中错误的是（　）

A. 若 AB=OAB = O 且 A≠OA \neq O，则 B=OB = O B. 若 AB=ACAB = AC 且 AA 可逆，则 B=CB = C C. (AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T D. AA 可逆   ⟺  ∣A∣≠0\iff |A| \neq 0

5. 设 A,BA, B 均为 nn 阶可逆矩阵，则 (AB)∗=(AB)^* = （　）

A. A∗B∗A^*B^*　　B. B∗A∗B^*A^*　　C. ∣A∣∣B∣ A−1B−1|A||B|\,A^{-1}B^{-1}　　D. B−1A−1B^{-1}A^{-1}

6. 设 AA 为四阶方阵，r(A)=2r(A) = 2，则 r(A∗)=r(A^*) = （　）

A. 44　　B. 22　　C. 11　　D. 00

7. 将二阶矩阵 AA 的第 2 行的 (−1)(-1) 倍加到第 1 行（r1−r2r_1 - r_2），相当于在 AA 的左边乘矩阵（　）

A. (1−101)\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}　　B. (10−11)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}　　C. (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}　　D. (1011)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

8. 含 nn 个未知数、nn 个方程的齐次线性方程组，系数行列式为 DD。下列命题正确的是（　）

A. D≠0D \neq 0 时方程组有非零解 B. D≠0D \neq 0 时方程组只有零解 C. 方程组有非零解时 D≠0D \neq 0 D. D=0D = 0 时方程组只有零解

9. 设 AA 为 nn 阶反对称矩阵（AT=−AA^T = -A），下列命题中错误的是（　）

A. A+AT=OA + A^T = O B. AA 的主对角线元素全为 00 C. 对任意 nn 都有 ∣A∣=0|A| = 0 D. 当 nn 为奇数时 ∣A∣=0|A| = 0

10. 设 AA 为三阶非零矩阵，且 A2=OA^2 = O，则 r(A)=r(A) = （　）

A. 00　　B. 11　　C. 22　　D. 33

二、填空题

11. 排列 2 1 7 9 8 6 3 5 42\,1\,7\,9\,8\,6\,3\,5\,4 的逆序数为 ‾\underline{\quad\quad}。

12. ∣1111123414916182764∣=‾\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} = \underline{\quad\quad}。

13. ∣2111121111211112∣=‾\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \underline{\quad\quad}。

14. 设 A=(1111)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}，则 An=‾A^n = \underline{\quad\quad}。

15. 设 AA 为 nn 阶方阵且满足 A2−3A+5E=OA^2 - 3A + 5E = O，则 (A−2E)−1=‾(A - 2E)^{-1} = \underline{\quad\quad}。

16. 设 AA 为三阶方阵，∣A∣=2|A| = 2，则 (A∗)∗=‾(A^*)^* = \underline{\quad\quad}（用 AA 表示）。

17. 矩阵 A=(1−13210303)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} 的秩 r(A)=‾r(A) = \underline{\quad\quad}。

18. 设 A=(1225)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}，则满足 AX=EAX = E 的矩阵 X=‾X = \underline{\quad\quad}。

三、解答题

19. 设 xyz≠0xyz \neq 0，计算三阶行列式

D=∣1+x1111+y1111+z∣D = \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix}

20. 设 DnD_n 为主对角线元素全为 22、两条次对角线元素全为 11、其余元素全为 00 的 nn 阶三对角行列式。（1）建立 DnD_n 关于 Dn−1,Dn−2D_{n-1}, D_{n-2} 的递推公式并给出初值；（2）求 DnD_n 的通项公式并证明。

21. 设 A=(211121112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}，用初等行变换求 A−1A^{-1}，并验算 AA−1=EAA^{-1} = E。

22. 设四阶矩阵

A=(1201201111100123)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}

AijA_{ij} 表示 aija_{ij} 的代数余子式。（1）求 A41+A42+A43+A44A_{41} + A_{42} + A_{43} + A_{44}；（2）求 a41A21+a42A22+a43A23+a44A24a_{41}A_{21} + a_{42}A_{22} + a_{43}A_{23} + a_{44}A_{24}（即第 4 行元素与第 2 行对应代数余子式乘积之和）。

23. 设 AA 为 nn 阶可逆矩阵，证明：(A∗)−1=(A−1)∗=A∣A∣(A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \dfrac{A}{|A|}。

24. 设 α=(1,2,3)T\alpha = (1, 2, 3)^T，β=(1,−1,2)T\beta = (1, -1, 2)^T，记 A=αβTA = \alpha\beta^T。（1）求 AnA^n；（2）求 ∣E+A∣|E + A|。

25. 设 AA 为 nn 阶方阵，满足 A2=AA^2 = A（幂等矩阵）。证明：r(A)+r(A−E)=nr(A) + r(A - E) = n。

答案与解析

选择题答案

题号12345678910
答案CBCABDABCB

选择题解析

1. 答案 C。考点：行列式性质。难度：易。kAkA 是每行都乘 kk，共提 nn 次公因子，故 ∣kA∣=kn∣A∣|kA| = k^n|A|。错因提醒：把"数乘矩阵"与"数乘行列式（某一行）"混淆而选 A；记住整体数乘要 nn 次方，特例 ∣−A∣=(−1)n∣A∣|{-A}| = (-1)^n|A|。

2. 答案 B。考点：行列式完全展开式。难度：易。带正号的项对应偶排列，n≥2n \geq 2 时奇偶排列各占 n!2\frac{n!}{2}。错因提醒：误以为正负号项数"不对称"或直接答 n!n!（漏想负号项）。

3. 答案 C。考点：逆矩阵与行列式关系。难度：易。(−2A)−1=−12A−1(-2A)^{-1} = -\frac{1}{2}A^{-1}，∣−12A−1∣=(−12)3∣A−1∣=−18⋅13=−124|{-\frac{1}{2}A^{-1}}| = \left(-\frac{1}{2}\right)^3|A^{-1}| = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3} = -\frac{1}{24}。错因提醒：两处符号/幂次陷阱——−12-\frac{1}{2} 要立方；∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} 是倒数。

4. 答案 A。考点：矩阵运算律。难度：易。矩阵乘法无零因子律：AB=OAB = O 时两因子可都非零（如 (1000)(0001)=O\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = O），A 错误。B 成立（可逆才能消去）；C、D 均为基本定理。错因提醒：把数的运算律"惯性"带入矩阵；B 与 A 对照着记——"可逆才有消去律"。

5. 答案 B。考点：伴随矩阵公式系统。难度：中。(AB)∗=∣AB∣(AB)−1=∣A∣∣B∣ B−1A−1=(∣B∣B−1)(∣A∣A−1)=B∗A∗(AB)^* = |AB|(AB)^{-1} = |A||B|\,B^{-1}A^{-1} = (|B|B^{-1})(|A|A^{-1}) = B^*A^*。错因提醒：伴随的"反序"族——(AB)∗(AB)^*、(AB)−1(AB)^{-1}、(AB)T(AB)^T 都要反序；选 C 者反序后仍写成 A−1B−1A^{-1}B^{-1}。

6. 答案 D。考点：伴随矩阵的秩三段论。难度：中。n=4n = 4，r(A)=2≤n−2r(A) = 2 \leq n - 2，所有 3 阶子式全为零，A∗=OA^* = O，故 r(A∗)=0r(A^*) = 0。错因提醒：套用"中间档"结论 r(A∗)=1r(A^*) = 1——那是 r(A)=n−1r(A) = n - 1 时才成立；先判断 r(A)r(A) 落在三段论哪一段再作答。

7. 答案 A。考点：初等变换与初等矩阵。难度：易。r1−r2r_1 - r_2 即 EE 经 E(1,2(−1))E(1, 2(-1)) 变换而来，左乘之。可用定义验证：(1−101)(abcd)=(a−cb−dcd)\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - c & b - d \\ c & d \end{pmatrix}。错因提醒：行变换的"第 2 行倍数加到第 1 行"，非零倍数 −1-1 写在初等矩阵 (1,2)(1,2) 位置；选 B 者把行列方向弄反。

8. 答案 B。考点：克莱姆法则的齐次推论。难度：易。D≠0⇒D \neq 0 \Rightarrow 唯一解 ⇒\Rightarrow 只有零解（零显然是解）。错因提醒：齐次方程组"有解"永远成立，讨论的只是"零解还是非零解"；A、C 把方向弄反，D 无视 D=0D = 0 时通常有无穷多解。

9. 答案 C。考点：转置、对称与反对称。难度：中。∣A∣=∣AT∣=∣−A∣=(−1)n∣A∣|A| = |A^T| = |{-A}| = (-1)^n|A|，仅当 nn 奇时推出 ∣A∣=0|A| = 0；偶数阶反对称阵可非退化，如 (01−10)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} 行列式为 11，故 C 错误。错因提醒：把"奇数阶反对称行列式为零"扩大成"任意阶"；备一个二阶反例防身。

10. 答案 B。考点：秩的 Sylvester 不等式。难度：中。r(A2)≥2r(A)−nr(A^2) \geq 2r(A) - n，即 0≥2r(A)−30 \geq 2r(A) - 3，故 r(A)≤1r(A) \leq 1；又 A≠OA \neq O 故 r(A)≥1r(A) \geq 1，得 r(A)=1r(A) = 1。错因提醒：想不到把 A2=OA^2 = O 翻译成秩不等式；另注意结论对三阶成立，但 AA 本身非零排除了 r(A)=0r(A) = 0。

填空题解析

11. 答案 1818。考点：逆序数。难度：易。逐个数"右边比它小的数"：2→12\to1，1→01\to0，7→47\to4，9→59\to5，8→48\to4，6→36\to3，3→03\to0，5→15\to1，4→04\to0，合计 1818（偶排列）。错因提醒：漏数或多数一对；建议每个数的结果列成一横排再求和，不要边数边加。

12. 答案 1212。考点：范德蒙德行列式。难度：中。节点 1,2,3,41, 2, 3, 4 的范德蒙德：∏i<j(xj−xi)=(2−1)(3−1)(4−1)(3−2)(4−2)(4−3)=1⋅2⋅3⋅1⋅2⋅1=12\prod_{i<j}(x_j - x_i) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot1 = 12。错因提醒：未识别出各行是 0∼30 \sim 3 次幂结构而硬算 24 项；注意因子方向一律"后列减前列"。

13. 答案 55。考点：行和技巧与化三角形。难度：中。各行和均为 55：各列加到第 1 列提出 55，再各行减第 1 行得 5∣1111010000100001∣=55\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 5。错因提醒：提出公因子后忘写系数 5，或减行后误以为出现相同两行。

14. 答案 2n−1(1111)2^{n-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}。考点：秩 1 分解求幂。难度：易。A=ααTA = \alpha\alpha^T，α=(1,1)T\alpha = (1,1)^T，αTα=2\alpha^T\alpha = 2，故 An=2n−1AA^n = 2^{n-1}A。错因提醒：系数是 2n−12^{n-1} 不是 2n2^n（验证：A2=2AA^2 = 2A）；先验 n=2n = 2 再落笔。

15. 答案 −13(A−E)-\dfrac{1}{3}(A - E)。考点：凑因子求逆。难度：中。凑目标因子：(A−2E)(A−E)=A2−3A+2E=(A2−3A+5E)−3E=−3E(A - 2E)(A - E) = A^2 - 3A + 2E = (A^2 - 3A + 5E) - 3E = -3E，故 (A−2E)[−13(A−E)]=E(A - 2E)\left[-\frac{1}{3}(A - E)\right] = E；A−2EA - 2E 与 A−EA - E 是同一矩阵的多项式、可交换，另一侧同样成立。错因提醒：① 不敢断定"可交换"，记住同一矩阵的多项式之间可交换；② 凑因子后常数算错（用 5−2=35 - 2 = 3 还是 −3-3 要代回验）。

16. 答案 2A2A。考点：伴随公式系统。难度：中。(A∗)∗=∣A∣n−2A=23−2A=2A(A^*)^* = |A|^{n-2}A = 2^{3-2}A = 2A。错因提醒：指数 n−2=1n - 2 = 1 别写成 n−1n - 1；此公式要求 n≥2n \geq 2。

17. 答案 22。考点：初等变换求秩。难度：易。第 3 行恰为第 1、2 行之和：r3−r2−r1→Or_3 - r_2 - r_1 \to O，而 r1,r2r_1, r_2 不成比例（∣1−121∣=3≠0\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \neq 0），故 r(A)=2r(A) = 2。错因提醒：只化出零行就下结论前，必须再确认剩下的两行线性无关（抽查一个 2 阶子式）。

18. 答案 (5−2−21)\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}。考点：二阶求逆口诀。难度：易。∣A∣=5−4=1|A| = 5 - 4 = 1，主对角互换、副对角变号：A−1=(5−2−21)A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}。错因提醒：只变一个副对角元素的符号；验算 A⋅A−1A\cdot A^{-1} 对角线是否为 11。

解答题解析

19. 考点：加边法。难度：中。

解析：此为"对角元各异、非对角全同"结构，加边一行一列（按第一行展开即还原，值不变）：

D=∣111101+x11011+y10111+z∣→ri−r1 (i=2,3,4)∣1111−1x00−10y0−100z∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1+x & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1+y & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix} \xrightarrow{r_i - r_1\ (i = 2,3,4)} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & x & 0 & 0 \\ -1 & 0 & y & 0 \\ -1 & 0 & 0 & z \end{vmatrix}

把第 j+1j+1 列（j=1,2,3j = 1,2,3）的 1aj\frac{1}{a_j} 倍（a1=x,a2=y,a3=za_1 = x, a_2 = y, a_3 = z）加到第 1 列，第 1 列化为 (1+1x+1y+1z, 0, 0, 0)T\left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z},\ 0,\ 0,\ 0\right)^T：

D=(1+1x+1y+1z)xyz=xyz+yz+xz+xyD = \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right)xyz = xyz + yz + xz + xy

速验：x=y=z=1x = y = z = 1 时公式给 1+3=41 + 3 = 4，直接算 ∣211121112∣=4\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 ✓。

错因提醒：① 忘记条件 xyz≠0xyz \neq 0（否则不能除）；② 加边后的第 1 列符号（−1-1）抄丢。判别套路：见"对角各异、其余全同"想加边化爪形。

20. 考点：三对角递推。难度：中。

解析：（1）按第 1 行展开：Dn=2Dn−1−En−1D_n = 2D_{n-1} - E_{n-1}，其中 En−1E_{n-1} 为划去第 1 行第 2 列所得行列式，其第 1 列为 (1,0,…,0)T(1, 0, \dots, 0)^T，按第 1 列展开 En−1=1⋅Dn−2E_{n-1} = 1 \cdot D_{n-2}，故

Dn=2Dn−1−Dn−2,D1=2,D2=∣2112∣=3D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2},\qquad D_1 = 2,\quad D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3

（2）由 D1=2,D2=3D_1 = 2, D_2 = 3 猜 Dn=n+1D_n = n + 1。归纳证明：n=1,2n = 1, 2 已验；设 Dn−1=nD_{n-1} = n，Dn−2=n−1D_{n-2} = n - 1，则

Dn=2Dn−1−Dn−2=2n−(n−1)=n+1D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2} = 2n - (n - 1) = n + 1

归纳完成，Dn=n+1D_n = n + 1。（通法备注：特征方程 λ2−2λ+1=0\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 有重根 λ=1\lambda = 1，通解 Dn=α+βnD_n = \alpha + \beta n，代入初值同样解出 α=β=1\alpha = \beta = 1。）

错因提醒：递推系数错（−bc-bc 中 b=c=1b = c = 1 时为 −1-1）；归纳第二步必须同时用两个归纳假设。

21. 考点：初等变换求逆。难度：中。

解析：对 (A∣E)(A \mid E) 做行变换：

(211100121010112001)→r1↔r2(121010211100112001)→r2−2r1, r3−r1(1210100−3−11−200−110−11)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{r_2 - 2r_1,\ r_3 - r_1} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right)

→r2↔r3(1210100−110−110−3−11−20)→r3−3r2(1210100−110−1100−411−3)\xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_3} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -3 & -1 & 1 & -2 & 0 \end{array}\right) \xrightarrow{r_3 - 3r_2} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -4 & 1 & 1 & -3 \end{array}\right)

→r3×(−14)(1210100−110−11001−14−1434)→r2−r3, r1−r3(1201454−340−1014−3414001−14−1434)\xrightarrow{r_3 \times (-\frac{1}{4})} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}\right) \xrightarrow{r_2 - r_3,\ r_1 - r_3} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{4} & -\frac{3}{4} \\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}\right)

→r2×(−1)(1201454−34010−1434−14001−14−1434)→r1−2r2(10034−14−14010−1434−14001−14−1434)\xrightarrow{r_2 \times (-1)} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{4} & -\frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}\right) \xrightarrow{r_1 - 2r_2} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}\right)

A−1=14(3−1−1−13−1−1−13)A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

验算：A=E+JA = E + J（JJ 为全 1 矩阵），(E+J)(E−J4)=E+34J−J24=E+34J−3J4=E(E + J)\left(E - \frac{J}{4}\right) = E + \frac{3}{4}J - \frac{J^2}{4} = E + \frac{3}{4}J - \frac{3J}{4} = E ✓（用了 J2=3JJ^2 = 3J）；抽查对角元 (1,1)(1,1)：(2,1,1)⋅(34,−14,−14)T=32−14−14=1(2,1,1)\cdot(\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})^T = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 1 ✓。

错因提醒：① (A∣E)(A \mid E) 中换行时右半部分必须跟着换（本题第一步 r1↔r2r_1 \leftrightarrow r_2 后右半第一行已是 (0,1,0)(0,1,0)，此处最易抄错）；② 回代阶段（r2−r3r_2 - r_3 等）漏做某一行的减法。

22. 考点：代数余子式求和与错位展开。难度：中。

解析：（1）代数余子式与第 4 行元素无关，把第 4 行换成 (1,1,1,1)(1, 1, 1, 1) 后按第 4 行展开即所求和：

D′=∣1201201111101111∣→r4−r3∣1201201111100001∣=1⋅(−1)4+4∣120201111∣D' = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_4 - r_3} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1)^{4+4}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

三阶用对角线法则：=1⋅(0⋅1−1⋅1)−2⋅(2⋅1−1⋅1)+0⋅(… )=−1−2=−3= 1\cdot(0\cdot1 - 1\cdot1) - 2\cdot(2\cdot1 - 1\cdot1) + 0\cdot(\dots) = -1 - 2 = -3。

故 A41+A42+A43+A44=−3A_{41} + A_{42} + A_{43} + A_{44} = -3。

（2）第 4 行元素配第 2 行的代数余子式——行指标错位，由错位展开定理，和必为 00。（直接理由：把第 2 行换成第 4 行元素 (0,1,2,3)(0, 1, 2, 3)，新行列式第 2、4 两行相同，值为 0；按第 2 行展开恰为该和。）

错因提醒：① 第（1）问误以为要先算出四个余子式再相加（可行但慢且易错）；② 第（2）问没识别"错位配对"结构而硬算——凡"第 ii 行元素配第 kk 行（k≠ik \neq i）余子式"一律为 0。

23. 考点：伴随矩阵公式系统。难度：中。

证明：AA 可逆 ⇒∣A∣≠0\Rightarrow |A| \neq 0。

第一步：由母公式 AA∗=∣A∣EAA^* = |A|E 两边左乘 1∣A∣\frac{1}{|A|} 得 A∗=∣A∣A−1A^* = |A|A^{-1}；再由 A∗A∗\*A^*A^*{}^{\*}？——直接对 A∗A^* 用"可逆则逆唯一"：由 A⋅A∗∣A∣=EA \cdot \dfrac{A^*}{|A|} = E 知

A∗=∣A∣ A−1  ⟹  (A∗)−1=1∣A∣ (A−1)=A∣A∣A^* = |A|\,A^{-1} \implies (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(A^{-1}) = \frac{A}{|A|}

（数与矩阵互逆可交换：(cM)−1=c−1M−1(cM)^{-1} = c^{-1}M^{-1}。）

第二步：对 A−1A^{-1} 用伴随公式 M∗=∣M∣M−1M^* = |M|M^{-1}（MM 可逆时）：

(A−1)∗=∣A−1∣ (A−1)−1=1∣A∣⋅A=A∣A∣(A^{-1})^* = |A^{-1}|\,(A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A|}\cdot A = \frac{A}{|A|}

两式相等，证毕。错因提醒：① (cM)−1=1cM−1(cM)^{-1} = \frac{1}{c}M^{-1}（系数取倒数），别写成 cM−1cM^{-1} 或 M−1c\frac{M^{-1}}{c} 之外的变形；② 本题结论 (A∗)−1=A∣A∣(A^*)^{-1} = \dfrac{A}{|A|} 本身是高频填空结论，值得直接记住。

24. 考点：秩 1 分解求幂、行列式按列拆分。难度：难。

解析：（1）A=αβTA = \alpha\beta^T 为秩 1 矩阵，且

βTα=1⋅1+(−1)⋅2+2⋅3=1−2+6=5\beta^T\alpha = 1\cdot1 + (-1)\cdot2 + 2\cdot3 = 1 - 2 + 6 = 5

故 An=α(βTα)n−1βT=5n−1αβT=5n−1AA^n = \alpha(\beta^T\alpha)^{n-1}\beta^T = 5^{n-1}\alpha\beta^T = 5^{n-1}A。

（2）E+A=E+αβTE + A = E + \alpha\beta^T 的第 jj 列 =ej+βjα= e_j + \beta_j\alpha（βj\beta_j 为 β\beta 的第 jj 个分量）。行列式按列多线性展开：若有两列及以上取 βjα\beta_j\alpha 部分，则这两列成比例，对应项为 0；于是

∣E+αβT∣=∣E∣+∑j=13βj⋅∣E 的第 j 列换成 α∣|E + \alpha\beta^T| = |E| + \sum_{j=1}^{3}\beta_j \cdot |E \text{ 的第 } j \text{ 列换成 } \alpha|

而"EE 的第 jj 列换成 α\alpha"的行列式按第 jj 列展开 =αj= \alpha_j（余子式为单位阵去一列再去的行，即对角全 1 的三角阵）。故

∣E+αβT∣=1+∑j=13βjαj=1+βTα=1+5=6|E + \alpha\beta^T| = 1 + \sum_{j=1}^{3}\beta_j\alpha_j = 1 + \beta^T\alpha = 1 + 5 = 6

速验（n=3n = 3 直接算）：A=(1−122−243−36)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 3 & -3 & 6 \end{pmatrix}，E+A=(2−122−143−37)E + A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & -3 & 7 \end{pmatrix}，det⁡=2(−7+12)+1(14−12)+2(−6+3)=10+2−6=6\det = 2(-7 + 12) + 1(14 - 12) + 2(-6 + 3) = 10 + 2 - 6 = 6 ✓。

错因提醒：① AnA^n 系数是 5n−15^{n-1}（βTα\beta^T\alpha 是数、可提出，提出后剩 αβTαβT⋯\alpha\beta^T\alpha\beta^T\cdots 共 n−1n-1 次合并）；② 第（2）问常见误区是试图"分配"行列式 ∣E+αβT∣=∣E∣+∣αβT∣|E + \alpha\beta^T| = |E| + |\alpha\beta^T|——行列式只对单行/单列可拆，本题合法做法是按列逐列拆、并用"两列成比例即零"消灭交叉项；结论 ∣E+αβT∣=1+βTα|E + \alpha\beta^T| = 1 + \beta^T\alpha 值得记住。

25. 考点：秩的不等式组（Sylvester 与和的秩）。难度：难。

证明：分两步夹逼。

上界：A2=A⇒A(A−E)=OA^2 = A \Rightarrow A(A - E) = O。由 Sylvester 不等式（r(AB)≥r(A)+r(B)−nr(AB) \geq r(A) + r(B) - n）：

0=r(A(A−E))≥r(A)+r(A−E)−n  ⟹  r(A)+r(A−E)≤n0 = r\big(A(A - E)\big) \geq r(A) + r(A - E) - n \implies r(A) + r(A - E) \leq n

下界：A+(E−A)=EA + (E - A) = E，由 r(X+Y)≤r(X)+r(Y)r(X + Y) \leq r(X) + r(Y)（即 r(X)≤r(X+Y)+r(Y)r(X) \leq r(X+Y) + r(Y) 的变形，取 X=AX = A，Y=E−AY = E - A）：

n=r(E)=r(A+(E−A))≤r(A)+r(E−A)n = r(E) = r\big(A + (E - A)\big) \leq r(A) + r(E - A)

又 r(E−A)=r(−(A−E))=r(A−E)r(E - A) = r\big({-}(A - E)\big) = r(A - E)（数乘非零不改变秩），故 r(A)+r(A−E)≥nr(A) + r(A - E) \geq n。

两不等式合并：r(A)+r(A−E)=nr(A) + r(A - E) = n。证毕。

错因提醒：① 两个方向用两个不同的不等式（乘积方向用 Sylvester、和方向用 r(X+Y)≤r(X)+r(Y)r(X+Y) \leq r(X) + r(Y)），用反即证不出；② 忘记 r(E−A)=r(A−E)r(E - A) = r(A - E) 的转换（乘 −1-1 不改变秩）导致式子对不上；③ 本题是"秩的夹逼"标准模板——凡证"秩之和等于 nn"，一律先找 ≤n\leq n 再找 ≥n\geq n 两条路。

计分与后续

按"概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失"四类统计错因，回写 错题本。得分率低于 70% 的考点（对照每题考点标签），回到 行列式、矩阵 对应小节重读"性质总表"与"常见坑"后再做变式训练。