考研之路

向量组

考点定位

  • 大纲位置：线性代数第三章——向量组（数一、数二公共考点；"向量空间"一节仅数一要求，数二不考）
  • 常见题型：数值向量组线性相关/无关的判定（选择/填空高频）、抽象向量组的表示与相关性论证（选择/证明）、极大无关组与秩的计算（填空/大题第一步）、秩的不等式应用（选择/填空，常与矩阵结合）、向量组等价判定、（数一）过渡矩阵与施密特正交化
  • 考查频率：高。向量组的语言（秩、线性表示、相关性）是后面线性方程组、特征值、二次型三章的底层词汇；本章单独出小题每年约 1 道，渗透到方程组大题则是每年必考
  • 前置知识：行列式（行列式为 0/非 0 的判定）、矩阵（初等行变换、矩阵的秩、分块矩阵 A=(α1,α2,…,αn)A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) 视角）
  • 定位：本章把"方程组有没有解、有多少解"翻译成"向量组"的语言。工程直觉上，nn 维向量就是长度为 nn 的列（对应你熟悉的浮点数组/嵌入向量），但考研考的是这批向量之间的线性依赖结构。核心方法论只有一句话：一切相关性/表示问题都可以转化为矩阵的秩的问题（数值题用初等行变换，抽象题用秩的不等式与定理组）

核心讲解

n 维向量与向量组：基本概念

定义（nn 维向量）：nn 个数排成的有序数组

α=(a1a2⋮an)或αT=(a1,a2,…,an)\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \alpha^T = (a_1, a_2, \dots, a_n)

称列向量 α\alpha（或行向量 αT\alpha^T），aia_i 为其第 ii 个分量。约定：本章向量默认列向量，行向量用转置记号。零向量 o=(0,…,0)To = (0, \dots, 0)^T；α\alpha 的负向量 −α=(−a1,…,−an)T-\alpha = (-a_1, \dots, -a_n)^T。

运算：同维向量加减、数乘按分量进行，与矩阵运算法则一致（向量就是特殊的矩阵：n×1n \times 1 或 1×n1 \times n 矩阵）。线性运算律：交换、结合、分配等全部成立。

定义（向量组）：有限个同维列向量构成的集合，记 α1,α2,…,αs\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s。本章所有"组"都是有限组。

关键视角（贯穿全章）：一个向量组就是一个矩阵——把各向量按列拼起来

A=(α1,α2,…,αs)A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s)

反过来，任何矩阵都可以按列拆成向量组（列向量组），按行拆成行向量组。第三章的本质：向量组语言与矩阵语言互为镜像，翻译转换就是解题动作。

线性组合与线性表示

定义（线性组合/线性表示）：设 β\beta 与 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 都是 nn 维向量。若存在一组数 k1,…,ksk_1, \dots, k_s 使

β=k1α1+k2α2+⋯+ksαs\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s

则称 β\beta 是 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 的线性组合，或 β\beta 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性表示，k1,…,ksk_1, \dots, k_s 为表示系数（不要求唯一）。

两个平凡特例（填空送分点）：零向量可由任何向量组表示（全取系数 0）；任何 αi\alpha_i 可由整组表示（自身系数取 1 其余取 0）。

定理（可表示的秩判据，本章第一核心定理）：下列命题等价：

  1. β\beta 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性表示
  2. 向量方程 x1α1+⋯+xsαs=βx_1\alpha_1 + \cdots + x_s\alpha_s = \beta 有解
  3. r(α1,…,αs)=r(α1,…,αs,β)r(\alpha_1, \dots, \alpha_s) = r(\alpha_1, \dots, \alpha_s, \beta)（拼上 β\beta 秩不增）

且表示法唯一   ⟺  \iff 等号成立且 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性无关；表示系数即非齐次方程组 Ax=βAx = \beta（其中 A=(α1,…,αs)A = (\alpha_1, \dots, \alpha_s)）的解。

证明要点（理解翻译机制，比背结论重要）：x1α1+⋯+xsαs=βx_1\alpha_1 + \cdots + x_s\alpha_s = \beta 逐分量展开就是一个 nn 个方程、ss 个未知数的非齐次线性方程组，其系数矩阵恰为 A=(α1,…,αs)A = (\alpha_1, \dots, \alpha_s)，增广矩阵恰为 (A∣β)=(α1,…,αs,β)(A \mid \beta) = (\alpha_1, \dots, \alpha_s, \beta)。由方程组的秩判据（第四章将完整陈述），有解   ⟺  r(A)=r(A∣β)\iff r(A) = r(A \mid \beta)，即为结论 3。

表示的性质：

  • 传递性：若 γ\gamma 可由 β1,…,βt\beta_1, \dots, \beta_t 表示，而每个 βj\beta_j 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 表示，则 γ\gamma 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 表示（代入展开即可，"复合函数没有新信息"）
  • 以少表多，多必相关：若 β1,…,βt\beta_1, \dots, \beta_t 都可由 ss 个向量 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性表示，且 t>st > s，则 β1,…,βt\beta_1, \dots, \beta_t 线性相关（见下节推论，高频选择）

线性相关与线性无关

定义（线性相关/无关）：设 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 为 nn 维向量。若存在不全为零的数 k1,…,ksk_1, \dots, k_s 使

k1α1+k2α2+⋯+ksαs=ok_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s = o

则称 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性相关；否则（即仅当 k1=⋯=ks=0k_1 = \cdots = k_s = 0 时上式成立）称其线性无关。

等价表述：令 A=(α1,…,αs)A = (\alpha_1, \dots, \alpha_s)，则 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性相关   ⟺  \iff 齐次方程组 Ax=oAx = o 有非零解   ⟺  r(A)<s\iff r(A) < s；线性无关   ⟺  Ax=o\iff Ax = o 只有零解   ⟺  r(A)=s\iff r(A) = s。这就是"一切相关性问题都是秩的问题"的出处。

直觉版理解：相关 = 组内存在"冗余"向量（它可被其余向量表示出来"抵消"）；无关 = 组内每个向量都携带不可替代的新方向，没有任何一个能由其余凑出来。

定理组（判定与性质，选择填空的全部弹药库）：

定理 1（两向量情形）：两个向量线性相关   ⟺  \iff 对应分量成比例（几何：共线）。

定理 2（相关的表示刻画）：α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s（s≥2s \geq 2）线性相关   ⟺  \iff 其中至少有一个向量可由其余 s−1s-1 个向量线性表示。（注意：是"至少有一个"，不指定哪一个；无关   ⟺  \iff 任何一个都不能由其余表示。）

定理 3（部分与整体）：

  • 若部分相关，则整体相关（α1,…,αt\alpha_1, \dots, \alpha_t 相关 ⇒α1,…,αs\Rightarrow \alpha_1, \dots, \alpha_s 相关，t<st < s；把补零系数加进去即可）
  • 逆否：整体无关，则任何部分无关

注意反方向不成立：整体相关推不出部分相关（例：(1,0)T,(0,1)T,(1,1)T(1,0)^T, (0,1)^T, (1,1)^T 整体相关，任两个都无关）。

定理 4（延长与缩短，"加长/截短"定理）：设 αj=(ajbj)\alpha_j = \begin{pmatrix} a_j \\ b_j \end{pmatrix}，加长为 α~j=(αjcj)\tilde\alpha_j = \begin{pmatrix} \alpha_j \\ c_j \end{pmatrix}（增加分量），则：

  • 原相关 ⇒\Rightarrow 加长后相关（同一组非零系数扩充方程仍成立）
  • 逆否：加长后无关 ⇒\Rightarrow 原无关
  • 原无关、加长后相关性不确定（高频陷阱：加分量不能保证无关；减分量不能保证相关）

定理 5（以少表多必相关）：若向量组 β1,…,βt\beta_1, \dots, \beta_t 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性表示且 t>st > s，则 β1,…,βt\beta_1, \dots, \beta_t 线性相关。逆否：若 β1,…,βt\beta_1, \dots, \beta_t（tt 个）线性无关且可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 表示，则 t≤st \leq s（无关组"搬进"别的组，个数不能超）。

推论（个数硬约束，秒杀选择）：n+1n + 1 个 nn 维向量必线性相关（都可由 nn 个 nn 维单位坐标向量 e1,…,ene_1, \dots, e_n 表示，个数超限）。一般地，多于 nn 个的 nn 维向量组必相关；因此"nn 维向量组无关"蕴含"个数 ≤n\leq n"。

定理 6（表示唯一性）：β\beta 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 表示，且 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性无关，则表示式唯一。（证明：两组表示系数相减得 α\alpha 的零组合，由无关性系数差全零。）逆否常用于反证。

定理 7（无关组的相关性传递）：设 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性无关，而 α1,…,αs,β\alpha_1, \dots, \alpha_s, \beta 线性相关，则 β\beta 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 唯一线性表示。（高频：把相关性"聚焦"成一个表示结论。）

定理 8（初等行变换保列相关性）：对矩阵作初等行变换，不改变列向量之间的线性关系——哪些列能由哪些列表示、全组相关与否，变换前后完全一致。这是数值题"拼矩阵 → 行变换 → 读秩"流程的合法性来源。（初等列变换则保持行向量组的线性关系。）

判定流程总表：

题型数值型（向量具体给出）抽象型（向量由条件刻画）
判相关性拼成 A=(α1,…,αs)A = (\alpha_1,\dots,\alpha_s)，初等行变换求 r(A)r(A)：r=sr = s 无关，r<sr < s 相关；nn 个 nn 维向量也可用 det⁡A≠0  ⟺  \det A \neq 0 \iff 无关用定义（设零组合，推系数全零）；用定理 1–7；用秩的不等式夹逼
判 β\beta 能否被表示拼增广 (α1,…,αs∣β)(\alpha_1,\dots,\alpha_s \mid \beta) 行变换：r(A)=r(A∣β)r(A) = r(A\mid\beta) 可表示，且 r=sr = s 时唯一转化为秩等式/不等式：r(A)≤r(A∣β)≤r(A)+1r(A) \leq r(A\mid\beta) \leq r(A) + 1 恒成立，论证等号是否成立
个数速判s>ns > n 必相关，直接出答案同左，先查个数再动笔

极大线性无关组与秩

定义（极大线性无关组）：设向量组 TT（可含无穷次序但本章为有限组）。若 TT 的一个部分组 α1,…,αr\alpha_1, \dots, \alpha_r 满足：

  1. α1,…,αr\alpha_1, \dots, \alpha_r 线性无关；
  2. TT 中任一向量都可由 α1,…,αr\alpha_1, \dots, \alpha_r 线性表示；

则称 α1,…,αr\alpha_1, \dots, \alpha_r 为 TT 的一个极大线性无关组（极大无关组），rr 为 TT 的秩，记 r(T)r(T)。全为零向量的组规定秩为 0。

"极大"的含义：无关性已达上限——再往里添加 TT 中任何向量就变相关（由定理 7 反推）。等价定义：部分组无关，且添加 TT 中任一其余向量后必相关。

基本事实：

  • 极大无关组不唯一（无关组里向量可以换），但所含向量个数唯一（否则个数小的可由个数大的表示且个数小的无关，与定理 5 矛盾）——这是"秩"定义合法性的依据
  • 无关向量组的极大无关组就是它自身，r=sr = s；线性相关则 r<sr < s
  • 矩阵三秩合一：矩阵 AA 的秩 == 列向量组的秩 == 行向量组的秩。（这是"向量组的秩"能用"矩阵的秩"计算的桥梁。）

数值求法（标准流程）：将向量组按列拼成 AA，初等行变换化成行最简形（建议直接到最简形而不止阶梯形）：

  1. 非零行数即秩 rr；每个非零行首个非零元（主元）所在列对应原向量组的 rr 个向量，它们构成一个极大无关组；
  2. 行最简形其余列的分量，就是对应向量用极大无关组表示的表示系数（定理 8 的直接红利——行变换保列相关性，所以最简形里读出的关系原封不动搬回原向量）。

向量组等价

定义（向量组等价）：两个向量组 A:α1,…,αsA: \alpha_1, \dots, \alpha_s 与 B:β1,…,βtB: \beta_1, \dots, \beta_t，若 BB 组能由 AA 组线性表示（每个 βj\beta_j 可由 α1,…,αs\alpha_1,\dots,\alpha_s 表示），且 AA 组也能由 BB 组线性表示，则称两向量组等价。

注意与"矩阵等价"（矩阵：同型且经初等变换互化，判据 r(A)=r(B)r(A) = r(B)）是两个不同概念，重名不重义，命题人爱在这挖坑。

定理（等价的秩判据）：AA 组与 BB 组等价   ⟺  \iff r(A)=r(B)=r(A∪B)r(A) = r(B) = r(A \cup B)（三秩相等；A∪BA \cup B 表示两组向量合并成的大组）。仅 r(A)=r(B)r(A) = r(B) 不足以等价——秩相同只保证"两边各自的最大无关能力"一样，还必须能互相表示。

基本性质：等价具有反身性、对称性、传递性；等价的向量组秩相等（逆命题假，见上）。

重要结论（部分组与全组等价）：向量组与它的任一极大无关组等价。矩阵经初等行变换后，列向量组不一定等价（新列未必能由原列表示——变换矩阵可逆时其实等价，但初等变换后的矩阵是"新矩阵"，考研语境下最稳的表述是：行变换不改变列之间的线性关系与列秩，从而秩与极大无关组位置信息可回读）。

秩的不等式体系（与前两章合流）

以下 AA 为 m×nm \times n，BB 为 n×sn \times s（相乘时按 ABAB 计），r(⋅)r(\cdot) 为矩阵的秩。全部与矩阵一章的秩结论共享，此处系统化整理（证明思路给出，理解后可自主重推）：

（1）基本界：0≤r(Am×n)≤min⁡(m,n)0 \leq r(A_{m \times n}) \leq \min(m, n)。r(A)=r(AT)r(A) = r(A^T)。

（2）加法不等式：r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A + B) \leq r(A) + r(B)。 思路：(A+B)(A + B) 的列都可由"AA 与 BB 全部列拼成的大组"表示，而大组秩 ≤r(A)+r(B)\leq r(A) + r(B)。

（3）乘法不等式（上限）：r(AB)≤min⁡(r(A), r(B))r(AB) \leq \min\big(r(A),\, r(B)\big)。 思路：ABAB 的列都是 AxAx 型（即 AA 的列的线性组合），故 r(AB)≤r(A)r(AB) \leq r(A)；转置得另一半。

（4）Sylvester 不等式（下限）：r(AB)≥r(A)+r(B)−nr(AB) \geq r(A) + r(B) - n。 记忆锚点：乘法"至少保住 r(A)+r(B)−nr(A) + r(B) - n"。推论：r(A)=nr(A) = n（列满秩）时 r(AB)=r(B)r(AB) = r(B)；r(B)=nr(B) = n（行满秩）时 r(AB)=r(A)r(AB) = r(A)。

（5）转置乘积：r(ATA)=r(A)r(A^T A) = r(A)（实矩阵）。 思路：Ax=o⇒ATAx=oAx = o \Rightarrow A^TAx = o；反之 ATAx=o⇒xTATAx=∥Ax∥2=0⇒Ax=oA^TAx = o \Rightarrow x^TA^TAx = \|Ax\|^2 = 0 \Rightarrow Ax = o，两方程组同解，秩相等。（这个"同解证秩等"的手法是方程组章的核心套路，此处先见识。）

（6）零乘积：AB=O  ⟹  r(A)+r(B)≤nAB = O \implies r(A) + r(B) \leq n。 思路：BB 的每一列都是 Ax=oAx = o 的解，而解空间维数是 n−r(A)n - r(A)（线性方程组），故 r(B)≤n−r(A)r(B) \leq n - r(A)。这是"AB=OAB = O 型"问题的标准反应。

（7）伴随矩阵秩公式（AA 为 nn 阶方阵，n≥2n \geq 2）：

r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)≤n−2r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n - 1 \\ 0, & r(A) \leq n - 2 \end{cases}

思路：r(A)=nr(A) = n 时 A∗=∣A∣A−1A^* = |A|A^{-1} 满秩；r(A)=n−1r(A) = n-1 时 ∣A∣=0|A| = 0 且 A∗≠OA^* \neq O（存在一个 n−1n-1 阶子式非零），又 AA∗=∣A∣E=OAA^* = |A|E = O 用（6）得 r(A∗)≤1r(A^*) \leq 1；r(A)≤n−2r(A) \leq n-2 时所有 n−1n-1 阶子式全零，A∗=OA^* = O。

（8）分块拼接：max⁡(r(A),r(B))≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)\max\big(r(A), r(B)\big) \leq r(A \mid B) \leq r(A) + r(B)（列拼接），行拼接同理。上限成立因为拼组可由两组分别表示；下限显然。"夹逼"类小题的标准工具。

使用套路：题目给抽象条件（如 AB=OAB = O、A2=EA^2 = E、r(A)=r(AB)r(A) = r(AB)），要求估计秩或证明结论——步骤固定：先写基本界，再套（1）–（8）夹逼，两端相遇即定值。

向量空间（仅数一；数二不要求）

本节为数学一单独考点，数二读者可跳过（跳过不影响后续章节——特征值章只用其中的正交化部分，届时会重述）。

定义（向量空间）：VV 是 nn 维向量的非空集合，若 VV 对向量的加法与数乘封闭（α,β∈V,k∈R⇒α+β∈V, kα∈V\alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha + \beta \in V,\ k\alpha \in V），则称 VV 为向量空间。封闭性保证 o∈Vo \in V。

子空间：W⊆VW \subseteq V 且 WW 自身也是空间。最重要的例子：

  • 由向量组 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 生成的空间 L(α1,…,αs)={k1α1+⋯+ksαs}L(\alpha_1, \dots, \alpha_s) = \{k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s\}（全部线性组合）
  • 齐次方程组 Ax=oAx = o 的解空间 S={x∣Ax=o}S = \{x \mid Ax = o\}（线性方程组将证明其维数为 n−r(A)n - r(A)）

定义（基、维数、坐标）：若 VV 中向量组 ξ1,…,ξr\xi_1, \dots, \xi_r 线性无关，且 VV 中任一向量都可由其线性表示，则称 ξ1,…,ξr\xi_1, \dots, \xi_r 为 VV 的一组基，rr 为 VV 的维数 dim⁡V=r\dim V = r；由表示唯一性（定理 6），任一 α∈V\alpha \in V 在这组基下有唯一表示 α=x1ξ1+⋯+xrξr\alpha = x_1\xi_1 + \cdots + x_r\xi_r，系数列 (x1,…,xr)T(x_1, \dots, x_r)^T 称 α\alpha 在该基下的坐标。

本质：基就是空间的"极大无关组"，维数就是"秩"。Rn\mathbb{R}^n 的标准基是 e1,…,ene_1, \dots, e_n，维数 nn；此时向量在标准基下的坐标就是其分量本身。

基变换与过渡矩阵：设 ξ1,…,ξn\xi_1, \dots, \xi_n 与 η1,…,ηn\eta_1, \dots, \eta_n 是 VV 的两组基，且

(η1,η2,…,ηn)=(ξ1,ξ2,…,ξn) C(\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n) = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)\, C

即每个 ηj\eta_j 用 ξ\xi 基的坐标作为 CC 的第 jj 列。称 CC 为从基 ξ\xi 到基 η\eta 的过渡矩阵。

  • CC 必可逆（两组基都无关，nn 个无关向量拼成的 nn 阶矩阵秩为 nn）
  • 反向过渡：(ξ1,…,ξn)=(η1,…,ηn) C−1(\xi_1, \dots, \xi_n) = (\eta_1, \dots, \eta_n)\, C^{-1}
  • 坐标变换公式：若 α\alpha 在 ξ\xi 基下坐标为 xx、在 η\eta 基下坐标为 yy，由 α=(ξ)x=(η)y=(ξ)Cy\alpha = (\xi)x = (\eta)y = (\xi)Cy 得

x=Cy即y=C−1xx = Cy \qquad \text{即} \qquad y = C^{-1}x

口诀："新基坐标 yy、旧基坐标 xx：x=Cyx = Cy"。求过渡矩阵的数值做法：拼 (ξ1,…,ξn∣η1,…,ηn)(\xi_1, \dots, \xi_n \mid \eta_1, \dots, \eta_n)，初等行变换化成 (E∣C)(E \mid C)（即解 ξC=η\xi C = \eta 这个矩阵方程）。

正交：称 α,β\alpha, \beta 正交，若 (α,β)=αTβ=0(\alpha, \beta) = \alpha^T\beta = 0（内积为 0）。两两正交且均非零的向量组称正交向量组。

定理：正交向量组必线性无关。（设 ∑kiαi=o\sum k_i\alpha_i = o，与 αj\alpha_j 作内积，正交性使只剩 kj∥αj∥2=0k_j\|\alpha_j\|^2 = 0，故 kj=0k_j = 0，逐个击破。）

正交基 / 标准正交基：空间的一组基若两两正交，称正交基；再要求每个向量长度为 1（∥ξi∥=ξiTξi=1\|\xi_i\| = \sqrt{\xi_i^T\xi_i} = 1），称标准正交基（如 e1,…,ene_1, \dots, e_n）。

施密特（Schmidt）正交化，完整步骤：目标是把线性无关的 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 改造成同维生成的空间的一组正交基 β1,…,βs\beta_1, \dots, \beta_s（每个 βj\beta_j 是 α1,…,αj\alpha_1, \dots, \alpha_j 的线性组合——"逐个剔除在已生成方向上的投影"）：

  1. β1=α1\beta_1 = \alpha_1
  2. β2=α2−(α2,β1)(β1,β1) β1\beta_2 = \alpha_2 - \dfrac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\,\beta_1
  3. β3=α3−(α3,β1)(β1,β1) β1−(α3,β2)(β2,β2) β2\beta_3 = \alpha_3 - \dfrac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\,\beta_1 - \dfrac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\,\beta_2
  4. 一般项（递推）：βj=αj−∑i=1j−1(αj,βi)(βi,βi) βi\beta_j = \alpha_j - \displaystyle\sum_{i=1}^{j-1} \frac{(\alpha_j, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)}\,\beta_i，直到 j=sj = s

验证要点（会验算才不会算错）：(β2,β1)=(α2,β1)−(α2,β1)(β1,β1)(β1,β1)=0(\beta_2, \beta_1) = (\alpha_2, \beta_1) - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}(\beta_1,\beta_1) = 0。注意系数分母是 (βi,βi)(\beta_i, \beta_i) 而不是 (αi,αi)(\alpha_i, \alpha_i)——这是最高频计算错误。

单位化（正交基 → 标准正交基）：ηj=βj∥βj∥\eta_j = \dfrac{\beta_j}{\|\beta_j\|}。顺序固定：先正交化，后单位化（先单位化再正交化会破坏长度）。

此技术在特征值章求正交矩阵 QQ（实对称矩阵对角化）中是必用工具，届时反复出现。

例题

例题 1：数值判相关 + 求极大无关组与表示（模拟题）

题：设 α1=(1,2,1)T, α2=(2,1,3)T, α3=(3,3,4)T, α4=(0,3,−1)T\alpha_1 = (1, 2, 1)^T,\ \alpha_2 = (2, 1, 3)^T,\ \alpha_3 = (3, 3, 4)^T,\ \alpha_4 = (0, 3, -1)^T。求向量组的秩、一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

解：按列拼矩阵，初等行变换化行最简形：

A=(α1,α2,α3,α4)=(12302133134−1)→r2−2r1, r3−r1(12300−3−33011−1)→−13r2(1230011−1011−1)→r3−r2, r1−2r2(1012011−10000)A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2 - 2r_1,\ r_3 - r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{3}r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_2,\ r_1 - 2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

秩 r=2r = 2（两个非零行），主元在第 1、2 列，故 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 是一个极大无关组（列位置对应回原向量，不是变换后的矩阵的列）。由最简形后两列直接读出表示系数：

α3=1⋅α1+1⋅α2=α1+α2,α4=2α1−α2\alpha_3 = 1\cdot\alpha_1 + 1\cdot\alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_2, \qquad \alpha_4 = 2\alpha_1 - \alpha_2

验算：α1+α2=(3,3,4)T=α3\alpha_1 + \alpha_2 = (3, 3, 4)^T = \alpha_3 ✓；2α1−α2=(0,3,−1)T=α42\alpha_1 - \alpha_2 = (0, 3, -1)^T = \alpha_4 ✓。

套路小结：一变换（行最简）、二读秩（非零行数）、三选组（主元列）、四读系数（其余列即为表示）。四个动作一次完成。

例题 2：抽象相关性论证（模拟题）

题：设 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性无关，判断 β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α1\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2,\ \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3,\ \beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1 是否线性无关。

解：定义法。设 k1β1+k2β2+k3β3=ok_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = o，代入展开：

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=ok_1(\alpha_1 + \alpha_2) + k_2(\alpha_2 + \alpha_3) + k_3(\alpha_3 + \alpha_1) = (k_1 + k_3)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = o

由 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性无关，系数必须全零：

{k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0\begin{cases} k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 + k_3 = 0 \end{cases}

系数矩阵行列式 ∣101110011∣=2≠0\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0（也可用行列式的拆项法验），故 k1=k2=k3=0k_1 = k_2 = k_3 = 0，β1,β2,β3\beta_1, \beta_2, \beta_3 线性无关。

另一视角（矩阵法，更通用）：(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3) C(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\, C，其中

C=(101110011),∣C∣=2≠0C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad |C| = 2 \neq 0

CC 可逆时，β\beta 组与 α\alpha 组等价，故秩相同，即 r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3)=3r(\beta_1,\beta_2,\beta_3) = r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = 3，无关。

变式警示（命题人最爱）：若改为 β3=α1−α2+α3\beta_3 = \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3？组合矩阵取 (10111−1011)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}，∣C∣=−1≠0|C| = -1 \neq 0 仍无关；但若三项为 β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α1+2α2+α3\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2,\ \beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3,\ \beta_3 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3，则 β3=β1+β2\beta_3 = \beta_1 + \beta_2，相关。抽象组的组合系数矩阵是否可逆，就是相关性的全部答案：β\beta 组可由 α\alpha 组以矩阵 CC 表示，α\alpha 组无关时，β\beta 组无关   ⟺  C\iff C 可逆（满秩）。

例题 3：秩的夹逼（模拟题）

题：设 AA 为 4×34 \times 3 矩阵，r(A)=2r(A) = 2，B=(101011110)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}。求 r(AB)r(AB)。

解：先算 ∣B∣|B|：按第一行展开 ∣B∣=1(0−1)+1(1−0)=0|B| = 1(0 - 1) + 1(1 - 0) = 0？细算：

∣B∣=∣101011110∣=1⋅(1⋅0−1⋅1)−0+1⋅(0⋅1−1⋅1)=(−1)+(−1)=−2≠0|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot0 - 1\cdot1) - 0 + 1\cdot(0\cdot1 - 1\cdot1) = (-1) + (-1) = -2 \neq 0

故 BB 可逆，从而 r(AB)=r(A)=2r(AB) = r(A) = 2（可逆因子不改变秩——乘可逆矩阵等价于做初等变换）。

套路小结：见到 r(AB)r(AB) 类问题，三步反射——(a) BB 或 AA 是否可逆（可逆则秩不变）；(b) 不可逆则上界 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B))r(AB) \leq \min(r(A), r(B))；(c) 需要下界时套 Sylvester：r(AB)≥r(A)+r(B)−nr(AB) \geq r(A) + r(B) - n。两端夹住即得定值。

例题 4：AB=OAB = O 型（模拟题）

题：设 AA 为 3×43 \times 4 矩阵，BB 为 4×34 \times 3 矩阵，且 AB=OAB = O。证明：r(A)+r(B)≤4r(A) + r(B) \leq 4；并由此说明 AA 与 BB 中至少有一个的秩 ≤2\leq 2。

证：AB=OAB = O 时 BB 的每一列 bjb_j 满足 Abj=oAb_j = o，即都是 Ax=oAx = o 的解。AA 为 3×43 \times 4，解空间维数为 4−r(A)4 - r(A)（线性方程组），故

r(B)≤4−r(A)  ⟹  r(A)+r(B)≤4r(B) \leq 4 - r(A) \implies r(A) + r(B) \leq 4

若 r(A)≥3r(A) \geq 3 且 r(B)≥3r(B) \geq 3，则和 ≥6>4\geq 6 > 4，矛盾；而 AA 至多秩 3、BB 至多秩 3，故至少一个的秩 ≤2\leq 2（实际上若 r(A)=3r(A) = 3 则 r(B)≤1r(B) \leq 1，更强）。

套路小结：AB=O⇒r(A)+r(B)≤nAB = O \Rightarrow r(A) + r(B) \leq n（nn 为相容维数，即 AA 的列数 =B= B 的行数）。反问题"存在B≠O使AB=O  ⟺  Ax=o有非零解  ⟺  ∣A∣=0存在 B \neq O 使 AB = O \iff Ax = o 有非零解 \iff |A| = 0"是选择高频。

例题 5：施密特正交化完整计算（模拟题，数一）

题：设 α1=(1,1,0)T, α2=(1,0,1)T, α3=(0,1,1)T\alpha_1 = (1, 1, 0)^T,\ \alpha_2 = (1, 0, 1)^T,\ \alpha_3 = (0, 1, 1)^T。用施密特正交化求一组标准正交基。

解：先验证无关（∣(α1,α2,α3)∣=∣110101011∣=−2≠0|(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)| = \begin{vmatrix} 1&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0，是 R3\mathbb{R}^3 的基）。

正交化：

β1=α1=(1,1,0)T\beta_1 = \alpha_1 = (1, 1, 0)^T

β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1=(1,0,1)T−12(1,1,0)T=(12,−12,1)T\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = (1,0,1)^T - \frac{1}{2}(1,1,0)^T = \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, 1\right)^T

（(α2,β1)=1(\alpha_2,\beta_1) = 1，(β1,β1)=2(\beta_1,\beta_1) = 2。）

β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2

计算各内积：(α3,β1)=1(\alpha_3, \beta_1) = 1；(α3,β2)=0⋅12+1⋅(−12)+1⋅1=12(\alpha_3, \beta_2) = 0\cdot\tfrac12 + 1\cdot(-\tfrac12) + 1\cdot1 = \tfrac12；(β2,β2)=14+14+1=32(\beta_2, \beta_2) = \tfrac14 + \tfrac14 + 1 = \tfrac32。代入：

β3=(0,1,1)T−12(1,1,0)T−1/23/2(12,−12,1)T=(−12,12,1)T−13(12,−12,1)T=(−23,23,23)T\beta_3 = (0,1,1)^T - \tfrac{1}{2}(1,1,0)^T - \tfrac{1/2}{3/2}\left(\tfrac12, -\tfrac12, 1\right)^T = \left(-\tfrac12, \tfrac12, 1\right)^T - \tfrac13\left(\tfrac12, -\tfrac12, 1\right)^T = \left(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\right)^T

验算 (β3,β1)=−23+23+0=0(\beta_3, \beta_1) = -\tfrac23 + \tfrac23 + 0 = 0 ✓，(β3,β2)=−13−13+23=0(\beta_3, \beta_2) = -\tfrac13 - \tfrac13 + \tfrac23 = 0 ✓。

单位化：∥β1∥=2\|\beta_1\| = \sqrt2，∥β2∥=3/2\|\beta_2\| = \sqrt{3/2}，∥β3∥=23\|\beta_3\| = \tfrac{2}{\sqrt3}，得标准正交基：

η1=12(1,1,0)T,η2=16(1,−1,2)T,η3=13(−1,1,1)T\eta_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)^T,\quad \eta_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2)^T,\quad \eta_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1)^T

（β2\beta_2 通分写成 12(1,−1,2)T\tfrac12(1,-1,2)^T 后单位化更整洁——分数中途通分可显著降低出错率。）

常见坑

  1. "部分相关推整体相关"用反：整体相关 ≠ 部分相关。含零向量的组必相关（零向量单独就相关），但其余向量可能无关。
  2. 加长/截短方向搞反：加长（增加分量）保"相关"，即原相关 ⇒ 加长相关；原无关 ⇒ 加长后不一定无关。考题常给"无关组加一个分量仍无关"这类伪命题。
  3. r(A)=r(B)r(A) = r(B) 就说向量组等价：等价还要 r(A∪B)r(A \cup B) 也相等（能互相表示）。矩阵等价、向量组等价、相似、合同是四个不同概念，别混。
  4. 行最简形读表示系数时用错列：极大无关组取主元所在列对应的原向量（不是变换后矩阵的列向量本身）；表示系数是其余列在行最简形中的分量。只化到阶梯形就读系数是错的，必须到最简形。
  5. 初等行变换列位置含义：求列向量组关系必须按列拼、做行变换。做列变换会破坏列间的线性关系（列变换保行向量组关系）。
  6. n+1n+1 个 nn 维向量必相关，但 nn 个 nn 维向量不一定无关（det⁡\det 为零就相关）；个数 ≤n\leq n 也不保证无关。
  7. "有一个能由其余表示"与"每一个都能"：相关   ⟺  \iff 至少一个可由其余表示，不是每个都可以。
  8. 施密特正交化系数分母写错：分母是 (βi,βi)(\beta_i, \beta_i)（已正交化的向量），不是 (αi,αi)(\alpha_i, \alpha_i)。且后一个 βj\beta_j 的计算要用前面所有的 βi\beta_i（不是 αi\alpha_i）。
  9. 单位化顺序：先正交化再单位化；对 α\alpha 直接单位化不改变正交性缺失的问题。
  10. r(ATA)=r(A)r(A^TA) = r(A) 只对实矩阵成立，复矩阵需用共轭转置 AHAA^HA；考研范围内默认实矩阵，但抽象题引入复数背景（极罕见）时要留意。

自测

  1. 判断：含零向量的向量组必线性相关；无关向量组的任何部分组必无关。（对/错各说明理由）
  2. 设 α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(2,1,1)T,β=(1,2,−1)T\alpha_1 = (1,1,0)^T, \alpha_2 = (1,0,1)^T, \alpha_3 = (2,1,1)^T, \beta = (1,2,-1)^T。问 β\beta 能否由 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性表示？若能，是否唯一？
  3. 设 AA 是 nn 阶方阵，r(A)=n−1r(A) = n - 1。求 r(A∗)r(A^*)，并说明理由（n≥2n \geq 2）。
  4. 判断：若 β\beta 可由 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 表示，且表示法不唯一，则 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 线性相关。（对/错，说明理由）
  5. （数一）设 R3\mathbb{R}^3 中基 ξ1=(1,0,0)T,ξ2=(1,1,0)T,ξ3=(1,1,1)T\xi_1 = (1,0,0)^T, \xi_2 = (1,1,0)^T, \xi_3 = (1,1,1)^T 与基 η1=(1,2,1)T,η2=(2,1,1)T,η3=(1,1,2)T\eta_1 = (1,2,1)^T, \eta_2 = (2,1,1)^T, \eta_3 = (1,1,2)^T。求从 ξ\xi 基到 η\eta 基的过渡矩阵 CC。

自测答案

  1. 都对。零向量自身相关（系数 1 乘零向量），部分相关 ⇒ 整体相关；整体无关 ⇒ 任何部分无关是逆否命题。
  2. 拼增广做行变换：(α1,α2,α3∣β)=(11211012011−1)→(11210−1−11011−1)→(1012011−10000)(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \mid \beta) = \begin{pmatrix} 1&1&2&1 \\ 1&0&1&2 \\ 0&1&1&-1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&2&1 \\ 0&-1&-1&1 \\ 0&1&1&-1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&1&2 \\ 0&1&1&-1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}。r(A)=r(A∣β)=2<3r(A) = r(A \mid \beta) = 2 < 3，能表示且表示不唯一（α3=α1+α2\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2，组本身相关）：β=(2−k)α1+(−1−k)α2+kα3\beta = (2 - k)\alpha_1 + (-1 - k)\alpha_2 + k\alpha_3，kk 任意，一个特例 β=2α1−α2\beta = 2\alpha_1 - \alpha_2。
  3. r(A∗)=1r(A^*) = 1。理由：r(A)=n−1r(A) = n - 1 时 ∣A∣=0|A| = 0 但存在非零的 n−1n-1 阶子式，故 A∗≠OA^* \neq O，r(A∗)≥1r(A^*) \geq 1；又 AA∗=∣A∣E=OAA^* = |A|E = O 给出 r(A)+r(A∗)≤nr(A) + r(A^*) \leq n，即 r(A∗)≤1r(A^*) \leq 1，夹逼得 1。
  4. 对。反证：若 α1,…,αs\alpha_1, \dots, \alpha_s 无关而 β\beta 可表示，由定理 6 表示唯一，与不唯一矛盾。（严格来说 β\beta 与组向量重叠时也归入"表示不唯一 ⇒ 组相关"。）
  5. 解矩阵方程 (ξ1,ξ2,ξ3)C=(η1,η2,η3)(\xi_1, \xi_2, \xi_3)C = (\eta_1, \eta_2, \eta_3)，即对 (ξ∣η)(\xi \mid \eta) 做行变换：(111121011211001112)→(100−11001010−1001112)\begin{pmatrix} 1&1&1&1&2&1 \\ 0&1&1&2&1&1 \\ 0&0&1&1&1&2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0&-1&1&0 \\ 0&1&0&1&0&-1 \\ 0&0&1&1&1&2 \end{pmatrix}，故 C=(−11010−1112)C = \begin{pmatrix} -1&1&0 \\ 1&0&-1 \\ 1&1&2 \end{pmatrix}。验算 ξ1C\xi_1 C 的第 2 列 =(1,1,1)⋅= (1,1,1)\cdot? 直接验第一列：−ξ1+ξ2+ξ3=(−1+1+1,0+1+1,0+0+1)T=(1,2,1)T=η1-\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = (-1+1+1, 0+1+1, 0+0+1)^T = (1,2,1)^T = \eta_1 ✓。