#常微分方程

#考点定位

• 大纲位置：高等数学第四章，解方程"程序化"程度最高——识别类型 → 套固定流程 → 算准
• 常见题型：一阶方程识别与求解、二阶常系数齐次/非齐次通解、可降阶方程、含变限积分的方程（求导脱限）、由几何/物理条件列方程
• 考查频率：高。解答题几乎每年一道，且常与变限积分、几何应用综合
• 定位：全部考法收敛为"类型识别表 + 特解设法表"两张表；综合题套路是"求导脱限 → 带初始条件的方程 → 回代验证"

卷种差异（卷种确认前按数一超集学，确认后可划走）：可降阶方程数一数二大纲均含；伯努利方程、全微分方程、欧拉方程仅数一考。

#核心讲解

#基本概念：微分方程的阶、解、通解、特解

微分方程：含有未知函数 $y(x)$ 及其导数（或微分）的等式。阶：方程中出现的最高阶导数的阶数（如 $y''+p(x)y'+q(x)y = f(x)$ 是二阶）。

解：代入方程后使之成为恒等式的函数。通解：含有独立任意常数、且任意常数的个数等于方程的阶数的解；特解：不含任意常数的解，通常由初始条件定出。初始条件与初值问题：$n$ 阶方程一般需要 $n$ 个条件 $y(x_0),\ y'(x_0),\ \ldots,\ y^{(n-1)}(x_0)$ 把通解中的常数逐一锁定，方程加初始条件合称初值问题。

线性方程：未知函数 $y$ 及其各阶导数都是一次、且系数只依赖 $x$ 的方程，一般形式为

$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(x)y = f(x)$

右端 $f(x)\equiv 0$ 时称齐次线性方程，否则称非齐次线性方程。

一词两义警报（命题人的措辞陷阱）：本章"齐次"有两个互不相关的含义——① 线性方程语境下的齐次（右端为 0，如 $y'+P(x)y=0$）；② 一阶方程 $y'=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$ 形态的齐次（方程各项关于 $x,y$ 的总次数相同）。看到"齐次"先判断语境属于哪一种，二者解法完全不同。

#类型识别总表（一阶）

拿到一阶方程先化成标准形态（把 $y'$ 解出来或写成 $P\,dx + Q\,dy = 0$），再对照：

识别技巧：看各项关于 $x, y$ 的"总次数"是否相同（齐次的代数特征：$\dfrac{x^2+xy}{x^2-y^2}$ 型每项次数一致）。

#一阶线性方程与常数变易法推导

对 $y' + P(x)y = Q(x)$，先解齐次方程 $y' + Py = 0$（可分离）：

$y = Ce^{-\int P(x)dx}$

常数变易：把常数 $C$ 升级为待定函数 $C(x)$，设 $y = C(x)e^{-\int P\,dx}$，代回原方程：

$C'(x)e^{-\int Pdx} - P\cdot C(x)e^{-\int Pdx} + P\cdot C(x)e^{-\int Pdx} = Q(x)$

中间两项相消，剩下 $C'(x) = Q(x)e^{\int P\,dx}$，积分得 $C(x) = \int Qe^{\int Pdx}dx + C_1$。于是通解公式：

$y = e^{-\int Pdx}\left(\int Q(x)e^{\int Pdx}dx + C\right)$

使用公式前必须化成标准形态（$y'$ 的系数为 1），否则 $P$ 取错全盘皆输。理解推导比背公式可靠——考场上现推 30 秒，比记错公式强。

#伯努利方程（仅数一）

$y' + P(x)y = Q(x)y^n$：两边除以 $y^n$（$y\ne 0$），得 $y^{-n}y' + Py^{1-n} = Q$。注意 $y^{1-n}$ 的导数恰是 $(1-n)y^{-n}y'$，令 $z = y^{1-n}$ 即化为一阶线性 $z' + (1-n)Pz = (1-n)Q$。别忘检查 $y\equiv 0$ 是否为解（除以 $y^n$ 时丢掉了它）。

#可降阶的二阶方程（数一数二均考）

第三类的 $y'' = p\dfrac{dp}{dy}$ 是本节最易错点——$p$ 被视为 $y$ 的函数，不是 $x$ 的。区分口诀：缺谁不代谁（缺 $y$ 则设 $p = p(x)$；缺 $x$ 则设 $p = p(y)$）。

#二阶常系数齐次：特征方程法

$y'' + py' + qy = 0$（$p,q$ 为常数），猜 $y = e^{rx}$ 代入得特征方程 $r^2 + pr + q = 0$。三种情形：

结构定理背景：两个线性无关解的线性组合即通解。$\Delta<0$ 情形的实解由欧拉公式 $e^{(\alpha+\beta i)x}$ 的实虚部拆出——记住结论即可，但要记得写 $e^{\alpha x}$ 这个因子。

#二阶常系数非齐次：特解设法规律表

$y'' + py' + qy = f(x)$，通解 = 齐次通解 + 非齐次特解。特解不用积分，用待定系数猜：

三条铁律：

1. 共振必补 $x^k$：$\lambda$ 落在特征根上时，不补 $x^k$ 则待定方程无解（猜出的项已被齐次解吸收）
2. cos 与 sin 成对设：右端哪怕只有 $\cos\beta x$，特解也必须同时含 $\cos$ 与 $\sin$（求导会互相产生）
3. 多项式要设满次：右端是 $x$ 就设 $ax+b$，不能只设 $ax$

叠加原理：右端是几项之和，特解就分别设再相加。

#综合题套路：微分方程 × 变限积分 × 几何应用

#含变限积分的方程（最高频综合形态）

方程形如 $f(x) = g(x) + \int_0^x f(t)\,dt$（或 $\int_0^x f(t)dt$ 的更复杂组合）：

1. 求导脱限：两边对 $x$ 求导，$\int_0^x f(t)dt$ 变成 $f(x)$，得到微分方程
2. 定初值：在原方程中令 $x = 0$（积分下限），得 $f(0)$——初值藏在原方程里，不求白丢
3. 解初值问题，重要的话最后代回原方程检验（求导可能放大解集）

变体：$\int_0^x xf(t)\,dt$、$\int_0^x f(x-t)\,dt$ 这类被积函数含 $x$ 的，先拆项提出 / 换元（$u = x-t$）再求导——衔接一元函数积分学变限求导节。

#几何应用列方程

翻译表：切线斜率 $\to y'$；曲线在 $(x,y)$ 处切线纵截距/法线条件 $\to$ 关于 $x,y,y'$ 的方程；"过点 $(x_0,y_0)$" $\to$ 初始条件。列完照旧解方程。物理应用（功、压力、质心，仅数一）同理把物理定律翻译成 $y'$ 与 $x,y$ 的关系。

#例题

#例题 1（模拟题）一阶线性：公式或凑微分

解方程 $y' + y\cos x = e^{-\sin x}$。

解析：标准形态已就位，$P = \cos x$，$Q = e^{-\sin x}$。观察 $e^{-\sin x}$ 恰是 $e^{\sin x}$ 的倒数，用凑微分更快：两边乘 $e^{\sin x}$：

$e^{\sin x}y' + e^{\sin x}\cos x\, y = 1 \implies (y e^{\sin x})' = 1$

积分得 $y e^{\sin x} = x + C$，即 $y = (x+C)e^{-\sin x}$。

两种殊途：这就是通解公式里"积分因子 $e^{\int Pdx}$"的手工版——公式忘了现场能重推，这是底线保障。

#例题 2（模拟题）齐次方程

解 $(x^2+y^2)\,dx - xy\,dy = 0$。

解析：化为 $y' = \dfrac{x^2+y^2}{xy} = \dfrac{1}{u} + u$ 型（分子分母同除 $x^2$ 即见 $\frac{y}{x}$ 结构），令 $y = ux$：

$u + x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u \implies x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \implies u\,du = \frac{dx}{x}$

积分 $\dfrac{u^2}{2} = \ln|x| + C_1$，回代 $u = \dfrac{y}{x}$：

$y^2 = 2x^2\ln|x| + Cx^2$

坑：回代后结果可整理成隐式通解，不必强求显式；$x = 0$ 处的奇性由 $\ln|x|$ 自然体现。

#例题 3（模拟题）二阶常系数非齐次：多项式×指数共振

求 $y'' - 3y' + 2y = xe^x$ 的通解。

解析：

齐次部分：$r^2 - 3r + 2 = 0 \implies r_1 = 1,\ r_2 = 2$，齐次通解 $Y = C_1e^x + C_2e^{2x}$。

特解：右端 $\lambda = 1$ 恰是单特征根，$k=1$；$P_m(x) = x$（一次），设 $y^* = (ax^2+bx)e^x$。代入时用多项式整体代换（$e^x$ 因子提出）最省力：记 $P = ax^2+bx$，则 $y'' - 3y' + 2y = e^x(P'' - 3P' + 2P)$，其中 $P'' = 2a$，$P' = 2ax+b$：

$2a - 3(2ax+b) + 2(ax^2+bx) = 2ax^2 + (2b-6a)x + (2a-3b) \stackrel{!}{=} x$

比较系数：$2a = 0 \Rightarrow a = 0$；$2b = 1 \Rightarrow b = \dfrac{1}{2}$。故 $y^* = \dfrac{x}{2}e^x$，通解：

$y = C_1e^x + C_2e^{2x} + \frac{x}{2}e^x$

技巧复述：$e^x$ 型右端代入时保持 $e^x$ 不动、只算多项式组合 $P''-3P'+2P$，比三次求导快得多且不易错。

#例题 4（模拟题）可降阶：缺 x 型

解 $yy'' = y'^2$（$y > 0$）。

解析：方程不含 $x$，令 $p = p(y)$，$y'' = p\dfrac{dp}{dy}$：

$y\,p\frac{dp}{dy} = p^2 \implies \frac{dp}{p} = \frac{dy}{y} \implies p = C_1y \implies y' = C_1y$

再积分 $\dfrac{dy}{y} = C_1dx \implies y = C_2e^{C_1x}$。

坑：第一步除以 $p$ 时若 $p = 0$（即 $y\equiv$ 常数）也是解，被 $C_1 = 0$ 情形吸收，故通解完整。

#例题 5（模拟题）综合：变限积分方程

设 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x) = e^x + \int_0^x f(t)\,dt$，求 $f(x)$。

解析：

求导脱限：$f'(x) = e^x + f(x)$，即 $f' - f = e^x$（一阶线性）。

定初值：原方程令 $x = 0$：$f(0) = e^0 + 0 = 1$。

解初值问题：积分因子 $e^{-x}$：$(fe^{-x})' = 1 \implies fe^{-x} = x + C$，由 $f(0) = 1$ 得 $C = 1$：

$f(x) = (x+1)e^x$

检验：$\int_0^x (t+1)e^t\,dt = \left[te^t\right]_0^x = xe^x$，代回右边 $e^x + xe^x = (x+1)e^x = f(x)$，成立。

套路总结：脱限 → 取初值 → 解 → 回代检验，四步缺一不可；初值必须从原方程取（求导后的方程已丢失这一信息）。

#常见坑

1. 非齐次特解不查 $\lambda$ 是否特征根：共振不补 $x^k$，待定系数方程直接矛盾（例题 3 若不补 $x$ 将解不出 $a,b$）
2. 右端只有 $\cos$ 就只设 $\cos$：特解必须 $\cos$、$\sin$ 成对。对照：$y''+y=\cos x$ 的特解是 $-\dfrac{x}{2}\sin x$（共振且由 $\sin$ 承担），设 $a\cos x$ 毫无胜算
3. 一阶线性不化标准形态就取 $P,Q$，符号错全盘错
4. 可降阶"缺 x 型"把 $p$ 当 $x$ 的函数：$y''=f(y,y')$ 必须 $y'' = p\dfrac{dp}{dy}$
5. 变限积分方程求导后忘记取初值，或初值不从原方程取
6. $\Delta < 0$ 忘写 $e^{\alpha x}$ 因子：$y''+4y=0$ 的解是 $C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$（$\alpha=0$ 隐去），但 $y''+2y'+5y=0$ 的解必须带 $e^{-x}$
7. 通解常数个数不足：$n$ 阶方程 $n$ 个独立常数；可降阶每积一次分补一个
8. 伯努利/欧拉方程当公共考点：二者仅数一考（卷种确认前按超集学）
9. 特解多项式没设满次：右端 $x$ 要设 $ax+b$，常数项不能省

#自测

1. 解 $y' = e^{x-y}$
2. 解 $(1+x)y' + y = e^x$
3. 求 $y'' - 2y' + y = e^x$ 的通解（注意共振）
4. 求 $y'' + 4y = 3\cos 2x$ 的通解
5. 曲线过点 $(0,1)$，其上任一点 $(x,y)$ 处切线斜率为 $2x + y$，求曲线方程

#自测答案与简析

1. 可分离：$e^y\,dy = e^x\,dx \implies e^y = e^x + C$，即 $y = \ln(e^x + C)$
2. 化标准形 $y' + \dfrac{y}{1+x} = \dfrac{e^x}{1+x}$，积分因子 $1+x$：$[(1+x)y]' = e^x$，故 $(1+x)y = e^x + C$
3. $\Delta = 0$，$r=1$ 二重根，齐次通解 $(C_1+C_2x)e^x$；右端 $\lambda = 1$ 是二重根，$k=2$：设 $y^* = ax^2e^x$，代入得 $2ae^x = e^x$，$a = \dfrac{1}{2}$。通解 $y = (C_1+C_2x)e^x + \dfrac{x^2}{2}e^x$
4. $r = \pm 2i$，齐次通解 $C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$；$\pm 2i$ 是特征根，$k=1$：设 $y^* = x(a\cos 2x + b\sin 2x)$，代入得 $y''+4y = -4a\sin 2x + 4b\cos 2x = 3\cos 2x$，故 $a = 0$、$b = \dfrac{3}{4}$。通解 $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x + \dfrac{3x}{4}\sin 2x$
5. 列方程 $y' = 2x + y$ 且 $y(0) = 1$，即 $y' - y = 2x$。积分因子 $e^{-x}$：$(ye^{-x})' = 2xe^{-x}$，积分得 $ye^{-x} = -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C$，即 $y = Ce^x - 2x - 2$；代入 $y(0)=1$ 得 $C = 3$：$y = 3e^x - 2x - 2$

#本章关联

• 前置：一元函数积分学（分离变量、变限积分、一阶线性方程求解全部靠积分撑腰）
• 章节测：一元积分与微分方程 章节测（覆盖第 03、04 章，学完即测），做完回写 错题本