考研之路

多元函数积分学

考点定位

  • 大纲位置：高等数学多元函数微积分学的积分部分。二重积分数一、数二公共且高频；三重积分、曲线曲面积分及格林/高斯/斯托克斯公式仅数一
  • 常见题型：交换积分次序、直角/极坐标选择与计算、利用对称性与奇偶性简化、分段函数与绝对值的二重积分、（仅数一）三重积分的柱面/球面坐标、格林公式与路径无关、高斯公式补面、斯托克斯公式
  • 考查频率：二重积分高（几乎每年一道计算大题或与其他章综合）；三重与曲线曲面积分中（数一每年至少一道，常以高斯公式为核心）
  • 前置知识：一元函数积分学（定积分计算是本章的"子程序"）、多元函数微分学（偏导与全微分）
  • 定位：本章是"纯计算准确率"章节，套路高度模式化——先看对称性、再选坐标系、最后算定积分，三步走

核心讲解

二重积分的定义与性质

定义：设 ff 在有界闭区域 DD 上有界，将 DD 任意分割为 nn 个小闭区域 Δσi\Delta\sigma_i，在每个 Δσi\Delta\sigma_i 上任取点 (ξi,ηi)(\xi_i, \eta_i)，作和 ∑i=1nf(ξi,ηi) Δσi\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta\sigma_i。若当各小区域直径的最大值 λ→0\lambda \to 0 时，此和的极限存在且与分割、取点方式无关，则称 ff 在 DD 上可积，极限值为二重积分：

∬Df(x,y) dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi) Δσi\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i

几何意义：f≥0f \ge 0 时表示曲顶柱体体积；物理意义：平面薄片的质量（密度为 ff）。f≡1f \equiv 1 时 ∬Ddσ=D\iint_D d\sigma = D 的面积。

性质（与定积分完全平行，选择题直接考）：

  1. 线性：∬D(αf+βg) dσ=α∬Df dσ+β∬Dg dσ\iint_D (\alpha f + \beta g)\,d\sigma = \alpha\iint_D f\,d\sigma + \beta\iint_D g\,d\sigma
  2. 区域可加：D=D1∪D2D = D_1 \cup D_2（内部不重叠）时积分相加
  3. 比较定理：DD 上 f≤gf \le g（且不恒等）⇒∬Df dσ≤∬Dg dσ\Rightarrow \iint_D f\,d\sigma \le \iint_D g\,d\sigma；推论 ∣∬Df dσ∣≤∬D∣f∣ dσ\left|\iint_D f\,d\sigma\right| \le \iint_D |f|\,d\sigma
  4. 估值定理：m≤f≤Mm \le f \le M 于 DD ⇒m σ(D)≤∬Df dσ≤M σ(D)\Rightarrow m\,\sigma(D) \le \iint_D f\,d\sigma \le M\,\sigma(D)
  5. 积分中值定理：ff 在有界闭区域 DD 上连续，则存在 (ξ,η)∈D(\xi,\eta)\in D 使 ∬Df dσ=f(ξ,η) σ(D)\iint_D f\,d\sigma = f(\xi,\eta)\,\sigma(D)

直角坐标计算与交换次序

X 型区域 D={(x,y):a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)}D = \{(x,y): a \le x \le b,\ \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}（任何竖直线与区域边界至多交两点）：

∬Df dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y) dy（先 y 后 x）\iint_D f\,d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy \quad\text{（先 } y \text{ 后 } x\text{）}

Y 型区域同理（先 xx 后 yy）。化二重积分为累次积分是全部计算的入口。

交换积分次序标准三步：

  1. 由给定的累次限还原区域 DD（在坐标面上画出不等式组描述的区域）
  2. 按另一型（X ⇄ Y）重新描述 DD（边界曲线必要时反解、分段）
  3. 写出新的累次积分

什么时候必须交换：内层积不出来（如 ex2e^{x^2}、sin⁡xx\dfrac{\sin x}{x}、e1/xe^{1/x} 这类原函数非初等的被积函数），只能把它挪到外层当"常数"。

极坐标计算

换元 x=rcos⁡θx = r\cos\theta，y=rsin⁡θy = r\sin\theta，面积微元

dσ=r dr dθd\sigma = r\,dr\,d\theta

（记忆要点：那个 rr 千万不能丢，它来自雅可比行列式。）

∬Df(x,y) dσ=∬D′f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

何时用极坐标（满足其一即考虑）：被积函数形如 f(x2+y2)f(x^2+y^2)、f(yx)f\left(\dfrac{y}{x}\right)；区域是圆域、圆环、扇形或边界含 x2+y2x^2+y^2。

常见区域的 (r,θ)(r, \theta) 描述：圆心在原点的圆 0≤θ≤2π, 0≤r≤R0 \le \theta \le 2\pi,\ 0 \le r \le R；圆 x2+y2≤2axx^2+y^2 \le 2ax 即 (x−a)2+y2≤a2(x-a)^2 + y^2 \le a^2 化为 −π2≤θ≤π2, 0≤r≤2acos⁡θ-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2},\ 0 \le r \le 2a\cos\theta；圆 x2+y2≤2ayx^2+y^2 \le 2ay 化为 0≤θ≤π, 0≤r≤2asin⁡θ0 \le \theta \le \pi,\ 0 \le r \le 2a\sin\theta。

对称性与轮换对称性（计算前置动作，第一优先级）

奇偶对称：DD 关于 xx 轴对称，则

∬Df dσ={2∬Dy≥0f dσ,f 关于 y 为偶函数（f(x,−y)=f(x,y)）0,f 关于 y 为奇函数\iint_D f\,d\sigma = \begin{cases} 2\iint_{D_{y\ge0}} f\,d\sigma, & f \text{ 关于 } y \text{ 为偶函数（} f(x,-y) = f(x,y)\text{）} \\ 0, & f \text{ 关于 } y \text{ 为奇函数} \end{cases}

关于 yy 轴对称同理。

轮换对称：若 DD 关于直线 y=xy = x 对称（区域方程中 x,yx, y 地位可互换），则

∬Df(x,y) dσ=∬Df(y,x) dσ\iint_D f(x,y)\,d\sigma = \iint_D f(y,x)\,d\sigma

经典应用：DD 为圆域 x2+y2≤R2x^2+y^2 \le R^2 时 ∬Dx2dσ=∬Dy2dσ=12∬D(x2+y2) dσ\displaystyle\iint_D x^2 d\sigma = \iint_D y^2 d\sigma = \frac12\iint_D (x^2+y^2)\,d\sigma，后者用极坐标一步可积。

实战流程：拿到积分先看区域对称性 + 被积函数奇偶性（能归零的归零、能折半的折半）→ 再选坐标系 → 最后定限计算。

三重积分（仅数一）

∭Ωf(x,y,z) dV=lim⁡λ→0∑f(ξi,ηi,ζi) ΔVi\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dV = \lim_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i

先一后二（投影法）：Ω\Omega 向 xOyxOy 面投影得 DxyD_{xy}，Ω:(x,y)∈Dxy, z1(x,y)≤z≤z2(x,y)\Omega: (x,y)\in D_{xy},\ z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y)，则

∭Ωf dV=∬Dxydσ∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z) dz\iiint_\Omega f\,dV = \iint_{D_{xy}} d\sigma \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz

先二后一（截面法）：被积函数只含 zz（或 zz 的部分）且截面面积易求时首选。用平面 z=zz = z 截 Ω\Omega 得截面 DzD_z（面积 S(z)S(z)）：

∭Ωf dV=∫c1c2dz∬Dzf(x,y,z) dσ=∫c1c2f(z) S(z) dz\iiint_\Omega f\,dV = \int_{c_1}^{c_2} dz \iint_{D_z} f(x,y,z)\,d\sigma = \int_{c_1}^{c_2} f(z)\,S(z)\,dz

柱面坐标：{x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=z\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \\ z = z \end{cases}，dV=r dr dθ dzdV = r\,dr\,d\theta\,dz。适用：旋转体区域、被积函数含 x2+y2x^2+y^2。

球面坐标：{x=ρsin⁡φcos⁡θy=ρsin⁡φsin⁡θz=ρcos⁡φ\begin{cases} x = \rho\sin\varphi\cos\theta \\ y = \rho\sin\varphi\sin\theta \\ z = \rho\cos\varphi \end{cases}（ρ\rho 为到原点距离，φ\varphi 为与 zz 轴正向夹角），

dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

适用：球体、锥体区域，被积函数含 x2+y2+z2x^2+y^2+z^2。

三重积分同样有奇偶对称（区域关于坐标面对称）与轮换对称（球体上 x,y,zx, y, z 轮换），用法与二重积分相同。

曲线积分（仅数一）

第一类（对弧长）：∫Lf(x,y) ds\displaystyle\int_L f(x,y)\,ds，与方向无关。参数化 x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t)（a≤t≤ba \le t \le b）：

∫Lf ds=∫abf(x(t),y(t))x′(t)2+y′(t)2 dt(下限必须小于上限)\int_L f\,ds = \int_a^b f(x(t), y(t))\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt \quad (\text{下限必须小于上限})

第二类（对坐标）：∫LP dx+Q dy\displaystyle\int_L P\,dx + Q\,dy，与方向有关（反向变号）。参数化：

∫LP dx+Q dy=∫αβ[P(x(t),y(t)) x′(t)+Q(x(t),y(t)) y′(t)]dt\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_\alpha^\beta\Big[P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\Big]dt

（起点对应 α\alpha，终点对应 β\beta，不限大小。）

两类曲线积分的关系：设 LL 上任一点沿指定方向的单位切向量为 (cos⁡α,cos⁡β)(\cos\alpha, \cos\beta)，则

∫LP dx+Q dy=∫L(Pcos⁡α+Qcos⁡β) ds\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds

格林公式（仅数一）

定理（格林公式）：设闭区域 DD 由分段光滑闭曲线 LL 围成，P(x,y)P(x,y)、Q(x,y)Q(x,y) 在 DD 上具有一阶连续偏导数，则

∮LP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dσ\oint_L P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) d\sigma

其中 LL 取正向（沿 LL 前进时 DD 的内部在左侧，即外边界逆时针）。

证明思路：只需证 ∮LP dx=−∬DPy dσ\oint_L P\,dx = -\iint_D P_y\,d\sigma 与 ∮LQ dy=∬DQx dσ\oint_L Q\,dy = \iint_D Q_x\,d\sigma。以 X 型区域为例，∮LP dx\oint_L P\,dx 中两条竖直边上 dx=0dx = 0 无贡献，上下两条边 y=φ2(x)y = \varphi_2(x)、y=φ1(x)y = \varphi_1(x) 的积分相减后用一元函数积分学中的牛顿-莱布尼茨公式即得。复杂区域用区域可加性拼接。

使用前必须自查：LL 是否闭合（不闭合则补线，常用平行于坐标轴的折线段）；P,QP, Q 在 DD 内是否有奇点（有则挖洞，见例题 7）；方向是否正向（否则添负号）。

平面曲线积分与路径无关：P,QP, Q 在单连通区域 GG 内一阶偏导连续，则以下四条等价：

  1. 沿 GG 内任意分段光滑闭曲线 ∮CP dx+Q dy=0\oint_C P\,dx + Q\,dy = 0（积分与路径无关）
  2. 存在 u(x,y)u(x,y) 使 du=P dx+Q dydu = P\,dx + Q\,dy（P=ux,Q=uyP = u_x, Q = u_y）
  3. 在 GG 内处处 ∂P∂y=∂Q∂x\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}
  4. 积分 ∫ABP dx+Q dy\int_A^B P\,dx + Q\,dy 在 GG 内只与起终点有关

单连通这一前提不可少：P=−yx2+y2, Q=xx2+y2P = \dfrac{-y}{x^2+y^2},\ Q = \dfrac{x}{x^2+y^2} 满足 (3)，但 GG 含原点时 (1) 失效（绕原点一圈积分 =2π= 2\pi）。

曲面积分（仅数一）

第一类（对面积）：∬Σf(x,y,z) dS\displaystyle\iint_\Sigma f(x,y,z)\,dS，与侧无关。若 Σ:z=z(x,y)\Sigma: z = z(x,y)（(x,y)∈Dxy(x,y) \in D_{xy}），

∬Σf dS=∬Dxyf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2  dx dy\iint_\Sigma f\,dS = \iint_{D_{xy}} f(x, y, z(x,y))\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\;dx\,dy

第二类（对坐标）：∬ΣP dydz+Q dzdx+R dxdy\displaystyle\iint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy，与侧有关（曲面上每点有两个相反法向，指定其一）。若 Σ:z=z(x,y)\Sigma: z = z(x,y) 取上侧（法向量朝上），则

∬ΣR(x,y,z) dx dy=∬DxyR(x,y,z(x,y)) dx dy(上侧取正，下侧取负)\iint_\Sigma R(x,y,z)\,dx\,dy = \iint_{D_{xy}} R(x, y, z(x,y))\,dx\,dy \quad(\text{上侧取正，下侧取负})

P dydzP\,dydz、Q dzdxQ\,dzdx 分别向 yOzyOz、zOxzOx 面投影，前侧正、后侧负 / 右侧正、左侧负。

两类曲面积分的关系：指定侧的单位法向量 (cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)，

∬ΣP dydz+Q dzdx+R dxdy=∬Σ(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ) dS\iint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iint_\Sigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\,dS

高斯公式与斯托克斯公式（仅数一）

定理（高斯公式）：空间闭区域 Ω\Omega 由分片光滑闭曲面 Σ\Sigma 围成，P,Q,RP, Q, R 在 Ω\Omega 上有一阶连续偏导数，则

∯ΣP dydz+Q dzdx+R dxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint_\Sigma P\,dydz + Q\,dzdx + R\,dxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV

其中 Σ\Sigma 取外侧。内侧重来要变号；曲面不闭合时补面（常用平行于坐标面的平面块）后用高斯，再减去补面块上的积分。

定理（斯托克斯公式）：分段光滑有向闭曲线 Γ\Gamma 是分片光滑有向曲面 Σ\Sigma 的边界，Γ\Gamma 方向与 Σ\Sigma 的侧符合右手规则，P,Q,RP, Q, R 有一阶连续偏导数，则

∮ΓP dx+Q dy+R dz=∬Σ∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\oint_\Gamma P\,dx + Q\,dy + R\,dz = \iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}

行列式按第一行展开计算（形式记号：如 ∂∂y\dfrac{\partial}{\partial y} 与 RR "相乘"表示 RyR_y）。它是格林公式在空间的推广——取 Σ\Sigma 为 xOyxOy 面上的平面区域即退化为格林公式。

三大公式一图流（都是"低一维边界积分 = 高一维区域上的微分运算"）：

例题

例题 1（模拟题）：交换积分次序解"积不出"积分

计算 I=∫01dy∫y1ex2 dxI = \displaystyle\int_0^1 dy \int_y^1 e^{x^2}\,dx。

解析：ex2e^{x^2} 的原函数非初等，必须把 xx 挪到外层。由累次限还原区域：0≤y≤10 \le y \le 1，y≤x≤1y \le x \le 1，即三角形 DD：顶点 (0,0),(1,0),(1,1)(0,0), (1,0), (1,1)，斜边为 y=xy = x。改写成 X 型：0≤x≤10 \le x \le 1，0≤y≤x0 \le y \le x：

I=∫01ex2 dx∫0xdy=∫01x ex2 dx=12∫01ex2d(x2)=e−12I = \int_0^1 e^{x^2}\,dx \int_0^x dy = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int_0^1 e^{x^2} d(x^2) = \frac{e - 1}{2}

点评：内层"积不出"（ex2,e1/x,sin⁡xx,1ln⁡xe^{x^2}, e^{1/x}, \frac{\sin x}{x}, \frac{1}{\ln x} 是常见名单）是交换次序的第一信号；交换后新内层积分是纯几何量（区间长），一步到位。

例题 2（模拟题）：轮换对称 + 极坐标

计算 I=∬Dx2 dσI = \displaystyle\iint_D x^2\,d\sigma，其中 D:x2+y2≤1D: x^2 + y^2 \le 1。

解析：DD 关于 y=xy = x 对称，由轮换对称

I=12∬D(x2+y2) dσ=12∫02πdθ∫01r2⋅r dr=12⋅2π⋅14=π4I = \frac12\iint_D (x^2 + y^2)\,d\sigma = \frac12\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2\cdot r\,dr = \frac12 \cdot 2\pi \cdot \frac14 = \frac{\pi}{4}

点评：直角坐标下此积分要分段硬算；轮换对称折半后极坐标三行收工。同类考题（求 ∬Dy2dσ\iint_D y^2 d\sigma 或含 x2+y2x^2+y^2 组合）全部走这条路。

例题 3（模拟题）：绝对值被积函数的分块

计算 I=∬D∣x+y∣ dσI = \displaystyle\iint_D |x + y|\,d\sigma，D:−1≤x≤1, −1≤y≤1D: -1 \le x \le 1,\ -1 \le y \le 1。

解析：绝对值必须分块。直线 x+y=0x + y = 0 把正方形分成 D1D_1（x+y≥0x+y \ge 0，右上三角）与 D2D_2（x+y≤0x + y \le 0）。由对称性（(x,y)↦(−x,−y)(x,y) \mapsto (-x,-y) 互换两块，∣x+y∣|x+y| 在两块上取值相同）：

I=2∬D1(x+y) dσI = 2\iint_{D_1} (x+y)\,d\sigma

D1D_1 写成 X 型：−1≤x≤1-1 \le x \le 1，−x≤y≤1-x \le y \le 1，内层

∫−x1(x+y) dy=[xy+12y2]−x1=x+12+x2−x22=x+x22+12\int_{-x}^{1}(x+y)\,dy = \Big[xy + \tfrac12 y^2\Big]_{-x}^{1} = x + \tfrac12 + x^2 - \tfrac{x^2}{2} = x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac12

I=2∫−11(x+x22+12)dx=2(0+13+1)=83I = 2\int_{-1}^{1}\left(x + \frac{x^2}{2} + \frac12\right)dx = 2\left(0 + \frac13 + 1\right) = \frac{8}{3}

点评：含 max⁡\max、min⁡\min、∣[x]∣|[x]|、绝对值的积分一律先分块再积分；分块后先检查子区域间的对称性可省一半计算。

例题 4（模拟题，仅数一）：截面法（先二后一）

计算 I=∭Ωz dVI = \displaystyle\iiint_\Omega z\,dV，其中 Ω\Omega 由抛物面 z=x2+y2z = x^2 + y^2 与平面 z=1z = 1 围成。

解析：被积函数只含 zz，截面 Dz:x2+y2≤zD_z: x^2 + y^2 \le z 是半径 z\sqrt z 的圆盘，面积 S(z)=πzS(z) = \pi z，0≤z≤10 \le z \le 1：

I=∫01z⋅πz dz=π3I = \int_0^1 z \cdot \pi z\,dz = \frac{\pi}{3}

点评：若改用投影法，I=∬x2+y2≤1dσ∫x2+y21z dzI = \iint_{x^2+y^2\le1} d\sigma \int_{x^2+y^2}^1 z\,dz，内层算完剩 1−(x2+y2)22\frac{1 - (x^2+y^2)^2}{2}，还需再算极坐标二重积分（结果同为 π3\frac{\pi}{3}，工作量翻倍）。截面法的识别信号就一条：被积函数只含 zz 且截面面积好算。

例题 5（模拟题，仅数一）：球面坐标

计算 I=∭Ω(x2+y2+z2) dVI = \displaystyle\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\,dV，Ω:x2+y2+z2≤R2\Omega: x^2 + y^2 + z^2 \le R^2。

解析：被积函数即 ρ2\rho^2，区域是球，直接套球面坐标 dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta：

I=∫02πdθ∫0πsin⁡φ dφ∫0Rρ4 dρ=2π⋅2⋅R55=4πR55I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi\, d\varphi \int_0^R \rho^4\,d\rho = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{5}

点评：三个积分限全部是常数（球心在原点）时三个定积分彼此独立，逐一算出相乘即可。体积验算：取被积函数为 1 得 43πR3\frac{4}{3}\pi R^3，公式正确。

例题 6（模拟题，仅数一）：格林公式直接应用

计算 I=∮L(x−y) dx+(x+y) dyI = \displaystyle\oint_L (x - y)\,dx + (x + y)\,dy，LL 为圆周 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，取逆时针方向。

解析：LL 闭合、P=x−yP = x - y 与 Q=x+yQ = x + y 全平面偏导连续、方向为正向，格林公式三条件齐备：

I=∬x2+y2≤1(∂Q∂x−∂P∂y)dσ=∬D(1−(−1)) dσ=2πI = \iint_{x^2+y^2\le1}\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma = \iint_D (1 - (-1))\,d\sigma = 2\pi

点评：先验证条件再动手是规范动作；此题若直接参数化 x=cos⁡t,y=sin⁡tx = \cos t, y = \sin t 硬算也能做（结果相同），但格林公式把被积式化成常数是"降维打击"。

例题 7（模拟题，仅数一）：奇点挖洞

计算 I=∮L−y dx+x dyx2+y2I = \displaystyle\oint_L \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2}，其中 LL 为任一包含原点在其内部的分段光滑正向闭曲线。

解析：P=−yx2+y2, Q=xx2+y2P = \dfrac{-y}{x^2+y^2},\ Q = \dfrac{x}{x^2+y^2}，直接算得 ∂Q∂x=∂P∂y=y2−x2(x2+y2)2\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}（原点除外）。但 P,QP, Q 在原点无定义，不能对 LL 内部直接用格林公式。

挖去小圆 l:x2+y2=ε2l: x^2+y^2 = \varepsilon^2（逆时针），记 LL 与 ll 之间的环形区域为 D∗D^*，其外边界 LL 正向、内边界 ll 取顺时针（记 l−l^-）。在 D∗D^* 上格林公式条件满足：

∮L+∮l−=∬D∗0 dσ=0  ⟹  I=−∮l−=∮l\oint_L + \oint_{l^-} = \iint_{D^*} 0\,d\sigma = 0 \implies I = -\oint_{l^-} = \oint_{l}

在 ll 上参数化 x=εcos⁡t, y=εsin⁡tx = \varepsilon\cos t,\ y = \varepsilon\sin t（t:0→2πt: 0 \to 2\pi）：

I=∫02π−εsin⁡t (ε(−sin⁡t))+εcos⁡t (εcos⁡t)ε2 dt=∫02π(sin⁡2t+cos⁡2t) dt=2πI = \int_0^{2\pi}\frac{-\varepsilon\sin t\,(\varepsilon(-\sin t)) + \varepsilon\cos t\,(\varepsilon\cos t)}{\varepsilon^2}\,dt = \int_0^{2\pi}(\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi

点评：本题是"路径无关四等价"缺单连通条件的活教材。挖洞后环域上偏导差为 0，大圈积分转嫁到小圈上算——凡是 P,QP, Q 分母含 x2+y2x^2+y^2 且区域含原点，一律走这条路，答案必为 2π2\pi 的整数倍。

例题 8（模拟题，仅数一）：高斯公式 + 补面

计算 I=∬Σx dydz+y dzdx+z dxdyI = \displaystyle\iint_\Sigma x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy，其中 Σ\Sigma 为上半球面 z=R2−x2−y2z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2} 的上侧。

解析：Σ\Sigma 不闭合，补平面块 Σ0:z=0\Sigma_0: z = 0（x2+y2≤R2x^2+y^2 \le R^2）取下侧，使 Σ+Σ0\Sigma + \Sigma_0 构成半球体的外侧边界。由高斯公式：

I+∬Σ0=∭Ω(1+1+1) dV=3⋅23πR3=2πR3I + \iint_{\Sigma_0} = \iiint_\Omega (1+1+1)\,dV = 3\cdot\frac{2}{3}\pi R^3 = 2\pi R^3

在 Σ0\Sigma_0（z=0z=0，下侧，即 dxdydxdy 投影取负）上：

∬Σ0x dydz+y dzdx+z dxdy=0+0+∬x2+y2≤R20⋅(−dx dy)=0\iint_{\Sigma_0} x\,dydz + y\,dzdx + z\,dxdy = 0 + 0 + \iint_{x^2+y^2\le R^2} 0\cdot(-dx\,dy) = 0

故 I=2πR3I = 2\pi R^3。

点评：补面后"原积分 = 高斯结果 − 补面块积分"。补面必须指定与原曲面一致构成外侧（或明确说明内侧变号），这是解答题的给分点。

例题 9（模拟题，仅数一）：斯托克斯公式

计算 I=∮Γz dx+x dy+y dzI = \displaystyle\oint_\Gamma z\,dx + x\,dy + y\,dz，Γ\Gamma 为圆周 x2+y2=1, z=0x^2 + y^2 = 1,\ z = 0，从 zz 轴正向看去为逆时针。

解析：P=z, Q=x, R=yP = z,\ Q = x,\ R = y。取 Σ\Sigma 为 Γ\Gamma 所围平面圆盘 z=0z = 0（x2+y2≤1x^2+y^2\le1），侧与 Γ\Gamma 方向符合右手规则，即上侧。斯托克斯公式：

rot⁡=(∂R∂y−∂Q∂z, ∂P∂z−∂R∂x, ∂Q∂x−∂P∂y)=(1−0, 1−0, 1−0)=(1,1,1)\operatorname{rot} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) = (1 - 0,\ 1 - 0,\ 1 - 0) = (1,1,1)

上侧单位法向量 (0,0,1)(0,0,1)，点积为 11，故

I=∬Σ1 dS=πI = \iint_\Sigma 1\,dS = \pi

点评：斯托克斯题先展行列式算旋度、再把 Σ\Sigma 取成 Γ\Gamma 张成的平面圆盘（最省事的曲面），最后只需算投影面积。注意旋度与法向量的点积代替了逐块计算三类曲面积分。

常见坑

  1. 极坐标丢 rr：dσ=r dr dθd\sigma = r\,dr\,d\theta 的 rr 忘写是本章第一大计算错误，没有之一
  2. 交换次序后边界描述错：反解边界时端点算错、该分段的不分段（如抛物线与直线交点多于两个）——还原区域必须画图，禁止纯代数"翻译"累次限
  3. 对称性看错对象：奇偶对称要求区域对称 + 被积函数奇偶同时成立；只看区域不看函数（或反之）就"归零"是典型陷阱
  4. 格林公式忘查三件事：闭不闭（补线）、有没有奇点（挖洞）、是不是正向（变号）。任何一个不满足，公式直接用就是零分步骤
  5. 路径无关忘了单连通：含 −y dx+x dyx2+y2\dfrac{-y\,dx + x\,dy}{x^2+y^2} 的曲线积分在含原点区域内绕一圈是 2π2\pi，不是 0
  6. 第二类曲线/曲面积分方向（侧）处理不当：参数化时起点对应下限（可大于上限）；投影时上侧/前侧/右侧取正——反向全变号
  7. 高斯公式补面忘记扣除：补了面就算了总账，没有减掉补面块上的积分
  8. 截面法条件不满足硬用：被积函数含 xx 或 yy 时截面法内层二重积分并不好算，别把方法当信仰
  9. 三重积分球面坐标的 φ\varphi 范围：φ\varphi 从 zz 轴正向量起，上半球是 0≤φ≤π20 \le \varphi \le \frac{\pi}{2} 而非 π\pi；dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta 中 sin⁡φ\sin\varphi 也不能丢

自测

  1. 交换积分次序：I=∫01dx∫x21y1+y3 dyI = \displaystyle\int_0^1 dx \int_{x^2}^1 \dfrac{y}{\sqrt{1+y^3}}\,dy（写出交换后的累次积分并求值）。
  2. 计算 I=∬D(x3+y2+xy) dσI = \displaystyle\iint_D (x^3 + y^2 + xy)\,d\sigma，D:x2+y2≤2xD: x^2 + y^2 \le 2x。
  3. 计算 I=∫01dy∫y1sin⁡xx dxI = \displaystyle\int_0^1 dy\int_y^1 \dfrac{\sin x}{x}\,dx。
  4. （仅数一）计算 I=∮L(2xy−x2) dx+(x+y2) dyI = \displaystyle\oint_L (2xy - x^2)\,dx + (x + y^2)\,dy，LL 为由 y=x2y = x^2 与 y=1y = 1 围成区域的正向边界。
  5. （仅数一）计算 I=∯Σx3 dydz+y3 dzdx+z3 dxdyI = \displaystyle\oiint_\Sigma x^3\,dydz + y^3\,dzdx + z^3\,dxdy，Σ\Sigma 为球面 x2+y2+z2=R2x^2+y^2+z^2 = R^2 外侧。
  6. （仅数一）∭Ωz2 dV\displaystyle\iiint_\Omega z^2\,dV，Ω:x2+y2+z2≤R2\Omega: x^2 + y^2 + z^2 \le R^2，用截面法求值。

自测答案与简析

  1. 区域 D:0≤x≤1, x2≤y≤1D: 0 \le x \le 1,\ x^2 \le y \le 1，改写为 0≤y≤1, 0≤x≤y0 \le y \le 1,\ 0 \le x \le \sqrt y： I=∫01y1+y3 dy∫0ydx=∫01yy1+y3 dy=13∫12duu (u=1+y3)=23(2−1)I = \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{1+y^3}}\,dy\int_0^{\sqrt y} dx = \int_0^1 \frac{y\sqrt y}{\sqrt{1+y^3}}\,dy = \frac13\int_1^2 \frac{du}{\sqrt u}\ (u = 1+y^3) = \frac{2}{3}(\sqrt2 - 1) （考点：还原区域 + 反解边界；换元 u=1+y3u = 1+y^3 时 du=3y2dydu = 3y^2 dy，配合 yy=y3/2y\sqrt y = y^{3/2}）。
  2. DD 关于 xx 轴对称：x3x^3、xyxy 关于 yy 为奇 ⇒ 积分为 0，只剩 ∬Dy2dσ\iint_D y^2 d\sigma；DD 是圆心 (1,0)(1,0)、半径 1 的圆，不轮换对称但可用极坐标平移思想或直接 x=rcos⁡θx = r\cos\theta 边界 r≤2cos⁡θr \le 2\cos\theta。用质心/对称性：y2y^2 关于 yy 偶 ⇒ I=2∫0π/2∫02cos⁡θr2sin⁡2θ⋅r dr dθ=2∫0π/2sin⁡2θ⋅16cos⁡4θ4 dθ=8∫0π/2sin⁡2θcos⁡4θ dθI = 2\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta} r^2\sin^2\theta \cdot r\,dr\,d\theta = 2\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cdot\frac{16\cos^4\theta}{4}\,d\theta = 8\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^4\theta\,d\theta。用 Wallis 型公式 ∫0π/2sin⁡2θcos⁡4θdθ=12⋅34⋅π8?\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^4\theta d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{8}? 逐项计算：∫0π/2sin⁡2θcos⁡4θdθ=Γ(32)Γ(52)2Γ(3)=π2⋅3π44=3π32\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^4\theta d\theta = \frac{\Gamma(\tfrac32)\Gamma(\tfrac52)}{2\Gamma(3)} = \frac{\tfrac{\sqrt\pi}{2}\cdot\tfrac{3\sqrt\pi}{4}}{4} = \frac{3\pi}{32}。故 I=8⋅3π32=3π4I = 8\cdot\dfrac{3\pi}{32} = \dfrac{3\pi}{4}（考点：奇偶归零 + 圆 r≤2cos⁡θr \le 2\cos\theta 的极坐标描述 + Wallis 积分）。
  3. 与例题 1 同型：I=∫01sin⁡xxdx∫0xdy=∫01sin⁡x dx=1−cos⁡1I = \int_0^1 \dfrac{\sin x}{x} dx\int_0^x dy = \int_0^1 \sin x\,dx = 1 - \cos 1（考点：sin⁡xx\frac{\sin x}{x} 积不出 ⇒ 交换次序）。
  4. 闭合、正向、偏导连续，格林公式：Qx−Py=1−2yQ_x - P_y = 1 - 2y。区域 −1≤x≤1-1 \le x \le 1，x2≤y≤1x^2 \le y \le 1： I=∫−11dx∫x21(1−2y) dy=∫−11[(y−y2)∣x21]dx=∫−11(x2−x4) dx=23−25=415I = \int_{-1}^1 dx\int_{x^2}^1 (1-2y)\,dy = \int_{-1}^1\left[(y - y^2)\Big|_{x^2}^1\right]dx = \int_{-1}^1 (x^2 - x^4)\,dx = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{15} （考点：格林公式条件自查 + 抛物线区域的 X 型描述）。
  5. 高斯公式：I=∭3(x2+y2+z2) dV=3⋅4πR55=12πR55I = \iiint 3(x^2+y^2+z^2)\,dV = 3\cdot\dfrac{4\pi R^5}{5} = \dfrac{12\pi R^5}{5}（利用例题 5 结果；考点：高斯公式把三次方和化为球坐标常数积分）。
  6. 截面 DzD_z 面积 π(R2−z2)\pi(R^2 - z^2)：I=∫−RRz2⋅π(R2−z2) dz=π(2R53−2R55)=4πR515I = \int_{-R}^R z^2\cdot\pi(R^2 - z^2)\,dz = \pi\left(\frac{2R^5}{3} - \frac{2R^5}{5}\right) = \dfrac{4\pi R^5}{15}（考点：先二后一；被积函数只含 zz 是信号）。