考研之路

随机事件与随机变量 章节测

  • 范围：03-概率论与数理统计/01-随机事件与概率、03-概率论与数理统计/02-随机变量及其分布；几何分布、超几何分布题目标注（仅数一）
  • 题量：单选 12 + 填空 6 + 解答 7，共 25 题，建议 100 分钟内完成
  • 要求：全部题目为模拟题（按真题风格命制，非历年真题）。答案与解析在文档末尾，做完再对
  • 考后动作：错题按错因分类（概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失）回写 错题本

一、单选题

1. 化简 (A∪B)(A∪B‾)=(A \cup B)(A \cup \overline{B}) = （　）

A. AA　　B. BB　　C. A∪BA \cup B　　D. ABAB

2. 设 P(A)=0.4P(A) = 0.4，P(B)=0.3P(B) = 0.3，P(A∪B)=0.6P(A \cup B) = 0.6，则 P(AB‾)=P(A\overline{B}) = （　）

A. 0.10.1　　B. 0.20.2　　C. 0.30.3　　D. 0.40.4

3. 设 A⊂BA \subset B，P(A)=0.3P(A) = 0.3，P(B)=0.7P(B) = 0.7，则 P(BA‾)=P(B\overline{A}) = （　）

A. 0.30.3　　B. 0.40.4　　C. 0.70.7　　D. 0.10.1

4. 10 件产品中有 4 件次品，无放回任取 3 件，恰取到 1 件次品的概率为（　）

A. 12\dfrac{1}{2}　　B. 13\dfrac{1}{3}　　C. 38\dfrac{3}{8}　　D. 25\dfrac{2}{5}

5. 在区间 [0,1][0,1] 上随机取两数 x,yx, y，则 P{x+y≤12}=P\{x + y \le \tfrac{1}{2}\} = （　）（仅数一）

A. 18\dfrac{1}{8}　　B. 14\dfrac{1}{4}　　C. 12\dfrac{1}{2}　　D. 38\dfrac{3}{8}

6. 设 P(A)=0.5P(A) = 0.5，P(B)=0.4P(B) = 0.4，P(AB)=0.2P(AB) = 0.2，则 P(A∣B‾)=P(A \mid \overline{B}) = （　）

A. 0.30.3　　B. 0.40.4　　C. 0.50.5　　D. 0.60.6

7. 甲箱中有 3 白 2 红共 5 球，乙箱中有 2 白 3 红共 5 球。先从甲箱任取 1 球放入乙箱，再从乙箱任取 1 球，则取到白球的概率为（　）

A. 25\dfrac{2}{5}　　B. 1330\dfrac{13}{30}　　C. 12\dfrac{1}{2}　　D. 715\dfrac{7}{15}

8. 某病患病率为 0.5%0.5\%；患病者检测呈阳性的概率为 99%99\%，健康者误呈阳性的概率为 2%2\%。某人检测呈阳性，则其确实患病的概率约为（　）

A. 0.050.05　　B. 0.20.2　　C. 0.50.5　　D. 0.990.99

9. 设 AA 与 BB 相互独立，P(A)=0.3P(A) = 0.3，P(B)=0.5P(B) = 0.5，则 P(A‾ B‾)=P(\overline{A}\,\overline{B}) = （　）

A. 0.150.15　　B. 0.350.35　　C. 0.650.65　　D. 0.850.85

10. 对于事件 A,B,CA, B, C，考察四个命题：

（1）若 A,B,CA, B, C 两两独立，则它们相互独立；

（2）若 A,B,CA, B, C 相互独立，则其中任意两个也相互独立；

（3）若 AA 与 BB 相互独立，则 AA 与 B‾\overline{B} 也相互独立；

（4）若 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(ABC) = P(A)P(B)P(C)，则 A,B,CA, B, C 相互独立。

其中正确的是（　）

A. （1）（3）　　B. （2）（3）　　C. （2）（4）　　D. （1）（4）

11. 设 X∼B(3,13)X \sim B\left(3, \tfrac{1}{3}\right)，则 P{X≥1}=P\{X \ge 1\} = （　）

A. 827\dfrac{8}{27}　　B. 1927\dfrac{19}{27}　　C. 49\dfrac{4}{9}　　D. 23\dfrac{2}{3}

12. 下列函数中，不能作为随机变量分布函数的是（　）

A. F(x)={0,x<0x,0≤x<11,x≥1F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}

B. F(x)={0,x<013,0≤x<123,1≤x<21,x≥2F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \tfrac{1}{3}, & 0 \le x < 1 \\ \tfrac{2}{3}, & 1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}

C. F(x)={0,x<0x2,0≤x<134,1≤x<21,x≥2F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \tfrac{x}{2}, & 0 \le x < 1 \\ \tfrac{3}{4}, & 1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}

D. F(x)={1−e−x,x≥00,x<0F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases}

二、填空题

13. 设 XX 服从参数 p=12p = \tfrac{1}{2} 的几何分布（仅数一），则 P{X>3∣X>1}=P\{X > 3 \mid X > 1\} = ______。

14. 设 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)，且 P{X=1}=P{X=2}P\{X = 1\} = P\{X = 2\}，则 λ=\lambda = ______，P{X=4}=P\{X = 4\} = ______。

15. 设 X∼N(3,4)X \sim N(3, 4)，且 Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413，则 P{X≤5}=P\{X \le 5\} = ______，P{∣X−3∣<2}=P\{|X - 3| < 2\} = ______。

16. 设 X∼E(λ)X \sim E(\lambda)，且 P{X>2}=e−1P\{X > 2\} = e^{-1}，则 λ=\lambda = ______，P{X>4∣X>2}=P\{X > 4 \mid X > 2\} = ______。

17. 设 X∼U[1,5]X \sim U[1, 5]，则 P{X2≤9}=P\{X^2 \le 9\} = ______。

18. 设 X∼N(0,1)X \sim N(0, 1)，Y=2X+1Y = 2X + 1，则 YY 服从的分布为 ______（写出具体参数）。

三、解答题

19. 某厂产品由三个车间生产：一车间占 50%50\%，次品率 1%1\%；二车间占 30%30\%，次品率 2%2\%；三车间占 20%20\%，次品率 3%3\%。从全厂产品中任取一件，（1）求它是次品的概率；（2）已知取到的是次品，求它来自一车间的概率。

20. 某射手每次射击命中率为 0.60.6，各次射击相互独立，共射击 5 次。（1）求恰好命中 2 次的概率；（2）求至少命中 1 次的概率；（3）求直到第 3 次才首次命中的概率。

21. 袋中有 6 个球，其中 4 白 2 红。无放回地任取 3 球，以 XX 表示取到的红球数。（1）写出 XX 的分布律；（2）写出 XX 的分布函数 F(x)F(x)，并求 P{X≥1}P\{X \ge 1\}。

22. 设连续型随机变量 XX 的概率密度 f(x)={kx,0≤x<1k(2−x),1≤x≤20,其他f(x) = \begin{cases} kx, & 0 \le x < 1 \\ k(2 - x), & 1 \le x \le 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}（1）求常数 kk；（2）求 P{12<X<32}P\{\tfrac{1}{2} < X < \tfrac{3}{2}\}；（3）求 P{X>1.5}P\{X > 1.5\}。

23. 设 X∼N(1,4)X \sim N(1, 4)，已知 Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413。（1）求 P{X≤3}P\{X \le 3\}；（2）求 P{∣X−1∣<2}P\{|X - 1| < 2\}；（3）求常数 cc，使 P{X>c}=0.1587P\{X > c\} = 0.1587。

24. 设 X∼N(0,1)X \sim N(0, 1)，Y=X2Y = X^2，用分布函数法求 YY 的概率密度 fY(y)f_Y(y)，并写出 YY 的分布（提示：与 χ2\chi^2 分布的联系）。

25. 10 张签中有 3 张中奖签，甲、乙、丙依次无放回各抽 1 张。（1）求乙中奖的概率；（2）求丙中奖的概率；（3）已知丙中奖，求甲也中奖的概率。

答案与解析

单选题

1. 答案 A。 解析：(A∪B)(A∪B‾)=A∪(BB‾)=A∪∅=A(A \cup B)(A \cup \overline{B}) = A \cup (B\overline{B}) = A \cup \varnothing = A（分配律 + 互斥对立积为空）。 考点：随机事件与概率 · 事件间的关系与运算｜难度：易｜错因提醒：不会用分配律展开而硬套文氏图逐点验证，耗时且易漏。

2. 答案 C。 解析：P(AB)=0.4+0.3−0.6=0.1P(AB) = 0.4 + 0.3 - 0.6 = 0.1，P(AB‾)=P(A)−P(AB)=0.4−0.1=0.3P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.4 - 0.1 = 0.3。 考点：随机事件与概率 · 加法公式与减法公式｜难度：易｜错因提醒：误用 P(AB‾)=P(A)−P(B)=0.1P(A\overline{B}) = P(A) - P(B) = 0.1（选 A），减法公式减去的必须是 P(AB)P(AB)。

3. 答案 B。 解析：A⊂BA \subset B 时 AB=AAB = A，P(BA‾)=P(B−A)=P(B)−P(A)=0.7−0.3=0.4P(B\overline{A}) = P(B - A) = P(B) - P(A) = 0.7 - 0.3 = 0.4。 考点：随机事件与概率 · 概率的性质（单调性）｜难度：易｜错因提醒：没有包含关系时不能直接相减；本题恰好有 A⊂BA \subset B 条件，直接减是合法的。

4. 答案 A。 解析：P=C41C62C103=4×15120=12P = \dfrac{C_4^1 C_6^2}{C_{10}^3} = \dfrac{4 \times 15}{120} = \dfrac{1}{2}。 考点：随机事件与概率 · 古典概型（超几何型抽样）｜难度：易｜错因提醒：误用二项分布 (31)(0.4)1(0.6)2\binom{3}{1}(0.4)^1(0.6)^2（约 0.432，对应选 D 附近值）——无放回抽样不能套二项。

5. 答案 A。 解析：Ω\Omega 为单位正方形（面积 1），{x+y≤12}\{x + y \le \tfrac{1}{2}\} 为直线 x+y=12x + y = \tfrac{1}{2} 与两轴围成的三角形，面积 12×12×12=18\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8}。 考点：随机事件与概率 · 几何概型（仅数一）｜难度：易｜错因提醒：把三角形面积写成 12×12=14\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}（漏乘 12\tfrac{1}{2}）。

6. 答案 C。 解析：P(AB‾)=P(A)−P(AB)=0.5−0.2=0.3P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.5 - 0.2 = 0.3，P(B‾)=0.6P(\overline{B}) = 0.6，故 P(A∣B‾)=0.30.6=0.5P(A \mid \overline{B}) = \dfrac{0.3}{0.6} = 0.5。 考点：随机事件与概率 · 条件概率｜难度：中｜错因提醒：直接把 P(A)=0.5P(A) = 0.5 当条件概率（凑巧本题相同，但不能靠巧合），正确入口是 P(A∣B‾)=P(AB‾)P(B‾)P(A \mid \overline{B}) = \dfrac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}。

7. 答案 B。 解析：全概率公式，按"从甲箱转入白球/红球"划分：P=35×36+25×26=310+215=9+430=1330P = \tfrac{3}{5} \times \tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{5} \times \tfrac{2}{6} = \tfrac{3}{10} + \tfrac{2}{15} = \tfrac{9 + 4}{30} = \tfrac{13}{30}。 考点：随机事件与概率 · 全概率公式｜难度：中｜错因提醒：转入白球后乙箱应为 3 白 3 红（分母 6），写成 35×25\tfrac{3}{5} \times \tfrac{2}{5} 是忘了球已放入。

8. 答案 B。 解析：P(+)=0.005×0.99+0.995×0.02=0.00495+0.0199=0.02485P(+) = 0.005 \times 0.99 + 0.995 \times 0.02 = 0.00495 + 0.0199 = 0.02485；P(病∣+)=0.004950.02485≈0.2P(\text{病} \mid +) = \dfrac{0.00495}{0.02485} \approx 0.2。 考点：随机事件与概率 · 贝叶斯公式｜难度：中｜错因提醒：基础率谬误——凭"试剂 99% 准"直觉选 D；阳性中大头是大量健康人的假阳性。

9. 答案 B。 解析：独立时 P(A‾ B‾)=P(A‾)P(B‾)=0.7×0.5=0.35P(\overline{A}\,\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B}) = 0.7 \times 0.5 = 0.35（亦可 1−P(A∪B)=1−0.65=0.351 - P(A \cup B) = 1 - 0.65 = 0.35）。 考点：随机事件与概率 · 事件的独立性｜难度：易｜错因提醒：错把 P(A‾ B‾)=1−P(AB)=0.85P(\overline{A}\,\overline{B}) = 1 - P(AB) = 0.85（选 D）——那是"不都发生"。

10. 答案 B。 解析：（2）（3）正确；（1）反例见正文例 8（{1,2},{1,3},{1,4}\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\} 等可能样本空间）；（4）单个三元等式不能替代全部 23−3−1=42^3 - 3 - 1 = 4 个乘积等式。 考点：随机事件与概率 · 两两独立与相互独立｜难度：中｜错因提醒：认为"两两独立推出相互独立"是全章最高频概念错误。

11. 答案 B。 解析：P{X≥1}=1−P{X=0}=1−(23)3=1−827=1927P\{X \ge 1\} = 1 - P\{X = 0\} = 1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = 1 - \tfrac{8}{27} = \tfrac{19}{27}。 考点：随机变量及其分布 · 二项分布｜难度：易｜错因提醒："至少一次"直接算三项求和（选 C、D 的根源），应先取对立事件"全不发生"。

12. 答案 C。 解析：C 中 x→1−x \to 1^- 时 F→12F \to \tfrac{1}{2}，而 F(1)=34<12F(1) = \tfrac{3}{4} < \tfrac{1}{2} 不对——函数在 x=1x=1 处跳降，违反单调不减。A 为均匀型（右连续、极限规范均满足）；B 为阶梯型合法分布函数；D 为 E(1)E(1) 的分布函数。 考点：随机变量及其分布 · 分布函数的性质｜难度：中｜错因提醒：只检查端点值不检查单调性与右连续性；跳升是合法的，跳降不合法。

填空题

13. 答案 14\dfrac{1}{4}。 解析：无记忆性：P{X>3∣X>1}=P{X>2}=(1−p)2=14P\{X > 3 \mid X > 1\} = P\{X > 2\} = (1 - p)^2 = \tfrac{1}{4}。 考点：随机变量及其分布 · 几何分布（仅数一）｜难度：中｜错因提醒：不用无记忆性而硬算 P{X>3}/P{X>1}P\{X>3\}/P\{X>1\}，可以算对（均为 (12)k(\tfrac{1}{2})^k 比值 14\tfrac{1}{4}）但耗时；不知道 P{X>k}=(1−p)kP\{X>k\} = (1-p)^k 则无从下手。

14. 答案 λ=2\lambda = 2；P{X=4}=23e−2P\{X=4\} = \dfrac{2}{3}e^{-2}。 解析：λe−λ=λ2e−λ2⇒λ=2\lambda e^{-\lambda} = \dfrac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2} \Rightarrow \lambda = 2；P{X=4}=24e−24!=1624e−2=23e−2P\{X = 4\} = \dfrac{2^4 e^{-2}}{4!} = \dfrac{16}{24} e^{-2} = \dfrac{2}{3} e^{-2}。 考点：随机变量及其分布 · 泊松分布｜难度：易｜错因提醒：4!=244! = 24 算成 1212 或 λ4=16\lambda^4 = 16 漏算。

15. 答案 0.84130.8413；0.68260.6826。 解析：P{X≤5}=Φ(5−32)=Φ(1)=0.8413P\{X \le 5\} = \Phi\left(\tfrac{5-3}{2}\right) = \Phi(1) = 0.8413；P{∣X−3∣<2}=P{1<X<5}=2Φ(1)−1=0.6826P\{|X-3| < 2\} = P\{1 < X < 5\} = 2\Phi(1) - 1 = 0.6826。 考点：随机变量及其分布 · 正态分布标准化｜难度：易｜错因提醒：标准化时除以 σ=2\sigma = 2，除以 σ2=4\sigma^2 = 4 是参数含义记错。

16. 答案 λ=12\lambda = \dfrac{1}{2}；e−1e^{-1}。 解析：P{X>2}=e−2λ=e−1⇒λ=12P\{X > 2\} = e^{-2\lambda} = e^{-1} \Rightarrow \lambda = \tfrac{1}{2}；无记忆性：P{X>4∣X>2}=P{X>2}=e−1P\{X > 4 \mid X > 2\} = P\{X > 2\} = e^{-1}。 考点：随机变量及其分布 · 指数分布与无记忆性｜难度：中｜错因提醒：第二空误算 P{X>4}=e−2P\{X>4\} = e^{-2}——忘了"已存活 2"的条件把起点重置。

17. 答案 12\dfrac{1}{2}。 解析：X∈[1,5]X \in [1,5]，{X2≤9}={−3≤X≤3}={1≤X≤3}\{X^2 \le 9\} = \{-3 \le X \le 3\} = \{1 \le X \le 3\}，长度 2 除以总长 4，P=12P = \tfrac{1}{2}。 考点：随机变量及其分布 · 均匀分布｜难度：易｜错因提醒：先解不等式再求交集，直接写 [−3,3][-3,3] 不与支撑集取交会得 4/84/8 类错误。

18. 答案 N(1,4)N(1, 4)。 解析：正态线性结论 aX+b∼N(aμ+b, a2σ2)aX + b \sim N(a\mu + b,\ a^2\sigma^2)：Y=2X+1∼N(2×0+1, 22×1)=N(1,4)Y = 2X + 1 \sim N(2 \times 0 + 1,\ 2^2 \times 1) = N(1, 4)。 考点：随机变量及其分布 · 正态分布的线性函数｜难度：易｜错因提醒：方差乘 a2a^2，写成 N(1,2)N(1, 2) 是把标准差与方差混了。

解答题

19. 答案（1）0.0170.017；（2）517\dfrac{5}{17}。 解析：记 BiB_i = "产品来自 ii 车间"（构成完备事件组），AA = "取到次品"。 （1）全概率公式：P(A)=0.5×0.01+0.3×0.02+0.2×0.03=0.005+0.006+0.006=0.017P(A) = 0.5 \times 0.01 + 0.3 \times 0.02 + 0.2 \times 0.03 = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017。 （2）贝叶斯公式：P(B1∣A)=P(B1)P(A∣B1)P(A)=0.0050.017=517P(B_1 \mid A) = \dfrac{P(B_1)P(A \mid B_1)}{P(A)} = \dfrac{0.005}{0.017} = \dfrac{5}{17}。 考点：随机事件与概率 · 全概率公式与贝叶斯公式｜难度：中｜错因提醒：贝叶斯分母重算时漏掉某一车间来源；完备组"占比"与"次品率"两列数字对应关系抄错。

20. 答案（1）0.23040.2304；（2）0.989760.98976；（3）0.0960.096。 解析：5 次独立射击为 n=5,p=0.6n=5, p=0.6 的伯努利试验。 （1）P=C52(0.6)2(0.4)3=10×0.36×0.064=0.2304P = C_5^2 (0.6)^2 (0.4)^3 = 10 \times 0.36 \times 0.064 = 0.2304。 （2）P=1−(0.4)5=1−0.01024=0.98976P = 1 - (0.4)^5 = 1 - 0.01024 = 0.98976。 （3）前两次不中且第三次命中（几何分布）：P=(0.4)2×0.6=0.096P = (0.4)^2 \times 0.6 = 0.096。 考点：随机事件与概率 · n 重伯努利试验、随机变量及其分布 · 二项分布与几何分布｜难度：中｜错因提醒：（3）误用 C53C_5^3 组合数——"直到第 3 次才首次命中"指定了顺序，无组合因子；这也是几何分布与二项分布的分界。

21. 答案（1）P{X=0}=15P\{X=0\} = \tfrac{1}{5}，P{X=1}=35P\{X=1\} = \tfrac{3}{5}，P{X=2}=15P\{X=2\} = \tfrac{1}{5}；（2）F(x)={0,x<015,0≤x<145,1≤x<21,x≥2F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \tfrac{1}{5}, & 0 \le x < 1 \\ \tfrac{4}{5}, & 1 \le x < 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}，P{X≥1}=45P\{X \ge 1\} = \tfrac{4}{5}。 解析：（1）无放回取 3 球，XX 为超几何分布（仅数一展开；数三按古典概型直接计数）：P{X=k}=C2kC43−kC63P\{X = k\} = \dfrac{C_2^k C_4^{3-k}}{C_6^3}，k=0,1,2k = 0, 1, 2：分母 C63=20C_6^3 = 20；k=0k=0：C4320=420=15\tfrac{C_4^3}{20} = \tfrac{4}{20} = \tfrac{1}{5}；k=1k=1：C21C4220=1220=35\tfrac{C_2^1 C_4^2}{20} = \tfrac{12}{20} = \tfrac{3}{5}；k=2k=2：C4120=15\tfrac{C_4^1}{20} = \tfrac{1}{5}。 （2）阶梯累加如上；P{X≥1}=1−P{X=0}=45P\{X \ge 1\} = 1 - P\{X = 0\} = \tfrac{4}{5}。 考点：随机变量及其分布 · 离散型随机变量的分布律与分布函数｜难度：中｜错因提醒：FF 各段取右端点（左闭右开），且 45\tfrac{4}{5} 一段对应 1≤x<21 \le x < 2；把阶梯画成 ≤\le 归下一段会全错。

22. 答案（1）k=1k = 1；（2）34\dfrac{3}{4}；（3）18\dfrac{1}{8}。 解析：（1）规范性：∫01kx dx+∫12k(2−x) dx=k2+k2=k=1\int_0^1 kx\,dx + \int_1^2 k(2-x)\,dx = \tfrac{k}{2} + \tfrac{k}{2} = k = 1。 （2）P{12<X<32}=∫1/21x dx+∫13/2(2−x) dx=38+38=34P\{\tfrac12 < X < \tfrac32\} = \int_{1/2}^{1} x\,dx + \int_{1}^{3/2} (2 - x)\,dx = \tfrac{3}{8} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{3}{4}。 （3）P{X>1.5}=∫1.52(2−x) dx=[2x−x22]1.52=2−1.875=18P\{X > 1.5\} = \int_{1.5}^{2} (2 - x)\,dx = \left[2x - \tfrac{x^2}{2}\right]_{1.5}^{2} = 2 - 1.875 = \tfrac{1}{8}。 考点：随机变量及其分布 · 概率密度的性质与计算｜难度：中｜错因提醒：分段密度必须分段积分，跨过 x=1x=1 忘拆段；验算 34+18+P{X<12}(=18)=1\tfrac34 + \tfrac18 + P\{X < \tfrac12\}(=\tfrac18) = 1 可自查。

23. 答案（1）0.84130.8413；（2）0.68260.6826；（3）c=3c = 3。 解析：μ=1\mu = 1，σ=2\sigma = 2。 （1）P{X≤3}=Φ(3−12)=Φ(1)=0.8413P\{X \le 3\} = \Phi\left(\tfrac{3-1}{2}\right) = \Phi(1) = 0.8413。 （2）P{∣X−1∣<2}=P{−1<X<3}=Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1=0.6826P\{|X-1| < 2\} = P\{-1 < X < 3\} = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 = 0.6826。 （3）P{X>c}=1−Φ(c−12)=0.1587⇒Φ(c−12)=0.8413⇒c−12=1⇒c=3P\{X > c\} = 1 - \Phi\left(\tfrac{c-1}{2}\right) = 0.1587 \Rightarrow \Phi\left(\tfrac{c-1}{2}\right) = 0.8413 \Rightarrow \tfrac{c-1}{2} = 1 \Rightarrow c = 3。 考点：随机变量及其分布 · 正态分布标准化与对称性｜难度：中｜错因提醒：（3）把 Φ−1\Phi^{-1} 套在 cc 上得 c=2.8413c = 2.8413 类错误；反查时对称恒等式 Φ(−1)=1−Φ(1)\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) 记反。

24. 答案 fY(y)=12πy−12e−y2, y>0f_Y(y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{y}{2}},\ y > 0（y≤0y \le 0 时为 0），即 Y∼χ2(1)Y \sim \chi^2(1)。 解析：分布函数法四步。

  1. 值域：Y=X2≥0Y = X^2 \ge 0；
  2. 对 y>0y > 0：{Y≤y}={X2≤y}={−y≤X≤y}\{Y \le y\} = \{X^2 \le y\} = \{-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}\}；
  3. FY(y)=Φ(y)−Φ(−y)=2Φ(y)−1F_Y(y) = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1（y≤0y \le 0 时 FY(y)=0F_Y(y) = 0）；
  4. 求导：fY(y)=2φ(y)⋅12y=12πy−12e−y2f_Y(y) = 2\varphi(\sqrt{y}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{y}{2}}，y>0y > 0。 此密度即 χ2\chi^2 分布自由度 1 的情形（数理统计一章正式引入）。 考点：随机变量及其分布 · 随机变量函数的分布（分布函数法）｜难度：难｜错因提醒：X2X^2 在含 0 的区间上不单调，套公式法必错；复合求导漏 12y\tfrac{1}{2\sqrt{y}} 因子；y≤0y \le 0 时忘记置 0。

25. 答案（1）310\tfrac{3}{10}；（2）310\tfrac{3}{10}；（3）29\dfrac{2}{9}。 解析：记 A,B,CA, B, C 分别为甲、乙、丙中奖。 （1）全概率：P(B)=P(A)P(B∣A)+P(A‾)P(B∣A‾)=310×29+710×39=690+2190=2790=310P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(\overline{A})P(B \mid \overline{A}) = \tfrac{3}{10} \times \tfrac{2}{9} + \tfrac{7}{10} \times \tfrac{3}{9} = \tfrac{6}{90} + \tfrac{21}{90} = \tfrac{27}{90} = \tfrac{3}{10}。 （2）再按甲的结果划分（中间对乙再全概率）：P(C∣A)=29×18+79×28=1672=29P(C \mid A) = \tfrac{2}{9} \times \tfrac{1}{8} + \tfrac{7}{9} \times \tfrac{2}{8} = \tfrac{16}{72} = \tfrac{2}{9}；P(C∣A‾)=39×28+69×38=2472=13P(C \mid \overline{A}) = \tfrac{3}{9} \times \tfrac{2}{8} + \tfrac{6}{9} \times \tfrac{3}{8} = \tfrac{24}{72} = \tfrac{1}{3}；故 P(C)=310×29+710×13=690+2190=310P(C) = \tfrac{3}{10} \times \tfrac{2}{9} + \tfrac{7}{10} \times \tfrac{1}{3} = \tfrac{6}{90} + \tfrac{21}{90} = \tfrac{3}{10}。三人的中奖概率相等——抽签公平性。 （3）贝叶斯：P(A∣C)=P(A)P(C∣A)P(C)=310×29310=29P(A \mid C) = \dfrac{P(A)P(C \mid A)}{P(C)} = \dfrac{\tfrac{3}{10} \times \tfrac{2}{9}}{\tfrac{3}{10}} = \dfrac{2}{9}。 考点：随机事件与概率 · 全概率公式、贝叶斯公式与抽签公平性｜难度：难｜错因提醒：（2）中条件概率树两层嵌套时分子分母球数要逐层递减（9→89 \to 8），漏减一层是本题最大失分点；（3）中 P(AC)P(AC) 也可直接算 310×29\tfrac{3}{10} \times \tfrac{2}{9}，但必须除以 P(C)=310P(C) = \tfrac{3}{10} 而不是 P(A)P(A)。