考研之路

一元积分与微分方程 章节测

  • 范围：01-高等数学/03-一元函数积分学、01-高等数学/04-常微分方程
  • 题量：单选 12 + 填空 4 + 计算/证明 4，共 20 题，建议 70 分钟内完成
  • 要求：全部题目为模拟题（按真题风格命制，非历年真题）。答案与解析在文档末尾，做完再对
  • 考后动作：错题按错因分类（概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失）回写 错题本

一、单选题

1. ∫dxxln⁡x\int\dfrac{dx}{x\ln x}（x>0x > 0 且 ln⁡x≠0\ln x \ne 0）= （　）

A. ln⁡∥ln⁡x∥+C\ln\|\ln x\| + C　　B. 12ln⁡2x+C\dfrac{1}{2}\ln^2 x + C　　C. ln⁡2∥ln⁡x∥+C\ln^2\|\ln x\| + C　　D. ln⁡x+C\ln x + C

2. ∫01xex dx=\int_0^1 xe^x\,dx = （　）

A. 00　　B. 11　　C. e−1e - 1　　D. ee

3. ∫−11(x2+sin⁡3x)dx=\int_{-1}^{1}\left(x^2 + \sin^3 x\right)dx = （　）

A. 00　　B. 13\dfrac{1}{3}　　C. 23\dfrac{2}{3}　　D. 43\dfrac{4}{3}

4. ddx∫0x2sin⁡t dt=\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = （　）

A. sin⁡(x2)\sin(x^2)　　B. 2xsin⁡(x2)2x\sin(x^2)　　C. 2xsin⁡x2x\sin x　　D. cos⁡(x2)\cos(x^2)

5. ∫0π/2cos⁡4x dx=\int_0^{\pi/2}\cos^4 x\,dx = （　）

A. 3π16\dfrac{3\pi}{16}　　B. 3π8\dfrac{3\pi}{8}　　C. 815\dfrac{8}{15}　　D. π16\dfrac{\pi}{16}

6. 下列反常积分中收敛的是（　）

A. ∫1+∞dxx\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x}　　B. ∫e+∞dxxln⁡x\int_e^{+\infty}\dfrac{dx}{x\ln x}　　C. ∫e+∞dxxln⁡2x\int_e^{+\infty}\dfrac{dx}{x\ln^2 x}　　D. ∫1+∞dxx\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\sqrt{x}}

7. 微分方程 y′′+2y′+y=0y'' + 2y' + y = 0 的通解为（　）

A. y=C1e−x+C2exy = C_1e^{-x} + C_2e^{x}　　B. y=(C1+C2x)e−xy = (C_1 + C_2x)e^{-x}　　C. y=(C1cos⁡x+C2sin⁡x)e−xy = (C_1\cos x + C_2\sin x)e^{-x}　　D. y=C1e−xy = C_1e^{-x}

8. 方程 y′′+y=cos⁡xy'' + y = \cos x 的特解可设为 y∗=y^* = （　）

A. acos⁡x+bsin⁡xa\cos x + b\sin x　　B. x(acos⁡x+bsin⁡x)x(a\cos x + b\sin x)　　C. ax2cos⁡xax^2\cos x　　D. acos⁡x+bsin⁡x+xcos⁡xa\cos x + b\sin x + x\cos x

9. 方程 y′=yx+tan⁡yxy' = \dfrac{y}{x} + \tan\dfrac{y}{x} 属于（　）

A. 可分离变量方程　　B. 齐次方程　　C. 一阶线性方程　　D. 伯努利方程

10. lim⁡x→0∫0xsin⁡(t2) dtx3=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^{x}\sin(t^2)\,dt}{x^3} = （　）

A. 00　　B. 13\dfrac{1}{3}　　C. 11　　D. 33

11. 曲线 r=cos⁡θr = \cos\theta 围成图形的面积为（　）

A. π4\dfrac{\pi}{4}　　B. π2\dfrac{\pi}{2}　　C. π\pi　　D. 2π2\pi

12. 曲线 y=x2y = x^2 与 y=2xy = 2x 所围成图形的面积为（　）

A. 13\dfrac{1}{3}　　B. 23\dfrac{2}{3}　　C. 43\dfrac{4}{3}　　D. 83\dfrac{8}{3}

二、填空题

13. ∫xcos⁡x dx=\int x\cos x\,dx = ________

14. ∫0+∞e−2x dx=\int_0^{+\infty}e^{-2x}\,dx = ________

15. 微分方程 y′=xyy' = xy 的通解为 ________

16. ∫01x21−x2 dx=\int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx = ________

三、计算题

17. 求 ∫x2+1x2−1 dx\int\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\,dx

18. 求 ∫0ln⁡2ex−1 dx\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x - 1}\,dx

19. 求微分方程 y′′+y′−2y=8sin⁡2xy'' + y' - 2y = 8\sin 2x 的通解

20. 设 f(x)f(x) 连续，且满足 f(x)=3x−∫0xf(t) dtf(x) = 3x - \int_0^x f(t)\,dt，求 f(x)f(x)

答案与解析

单选题

1. 答案 A

∫dxxln⁡x=∫d(ln⁡x)ln⁡x=ln⁡∥ln⁡x∥+C\int\dfrac{dx}{x\ln x} = \int\dfrac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln\|\ln x\| + C，对数链凑微分。

  • 考点标签：凑微分（第一类换元）
  • 难度：易
  • 错因提醒：选 B 是把 ln⁡xx\dfrac{\ln x}{x} 的模式张冠李戴——分清"谁在分子谁在分母"

2. 答案 B

分部积分（幂×指，u=xu = x）：[xex]01−∫01exdx=e−(e−1)=1\left[xe^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1。

  • 考点标签：分部积分
  • 难度：易
  • 错因提醒：选 C/D 多为分部后忘减 ∫v du\int v\,du 或忘代入上下限

3. 答案 C

sin⁡3x\sin^3 x 为奇函数积分为 00；x2x^2 为偶函数：2∫01x2dx=232\int_0^1 x^2dx = \dfrac{2}{3}。先查奇偶再动笔。

  • 考点标签：定积分对称性
  • 难度：易
  • 错因提醒：选 A 是看见"奇函数积分 0"就条件反射——x2x^2 是偶函数，不能整体归零

4. 答案 B

变限求导：f(x2)⋅(x2)′=2xsin⁡(x2)f(x^2)\cdot(x^2)' = 2x\sin(x^2)。

  • 考点标签：变限积分求导（复合上限）
  • 难度：易
  • 错因提醒：选 A 漏乘内层导数 2x2x，这是本考点第一大丢分点

5. 答案 A

点火公式（区间恰为 [0,π2][0,\frac{\pi}{2}]，偶数次）：34⋅12⋅π2=3π16\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{16}。

  • 考点标签：华里士（点火）公式
  • 难度：易
  • 错因提醒：选 B 是对 [0,π][0,\pi] 翻倍的规则错用到了 [0,π2][0,\frac{\pi}{2}]；只有偶数次幂才乘 π2\dfrac{\pi}{2}

6. 答案 C

∫e+∞dxxln⁡2x=[−1ln⁡x]e+∞=1\int_e^{+\infty}\dfrac{dx}{x\ln^2 x} = \left[-\dfrac{1}{\ln x}\right]_e^{+\infty} = 1 收敛；其余与 1x\dfrac{1}{x}、1x\dfrac{1}{\sqrt{x}} 同阶或更糟，发散。

  • 考点标签：反常积分敛散性
  • 难度：中
  • 错因提醒：∫dxxln⁡px\int\dfrac{dx}{x\ln^p x} 当且仅当 p>1p>1 收敛；若下限取 11，x=1x=1 处 ln⁡x=0\ln x = 0 还会产生瑕点，审题要看清积分限

7. 答案 B

特征方程 r2+2r+1=0r^2 + 2r + 1 = 0，r=−1r = -1 二重根，通解 (C1+C2x)e−x(C_1 + C_2x)e^{-x}。

  • 考点标签：二阶常系数齐次
  • 难度：易
  • 错因提醒：选 A/D 漏判重根；重根必补 xx

8. 答案 B

±i\pm i 是 y′′+y=0y''+y=0 的特征根（共振，k=1k=1），且 cos⁡\cos、sin⁡\sin 必须成对设。

  • 考点标签：非齐次特解设法
  • 难度：中
  • 错因提醒：选 A 不查共振（代入后矛盾）；选 D 中 xcos⁡xx\cos x 项结构残缺，cos⁡\cos 与 sin⁡\sin 必须同时设

9. 答案 B

右端能写成 yx\dfrac{y}{x} 的函数，是齐次方程，令 u=yxu = \dfrac{y}{x} 化为可分离。

  • 考点标签：一阶方程类型识别
  • 难度：易
  • 错因提醒：tan⁡yx\tan\dfrac{y}{x} 无法把 x,yx,y 拆开各自积分，不是可分离型；识别看"能否化为 φ(y/x)\varphi(y/x)"

10. 答案 B

sin⁡(t2)∼t2\sin(t^2)\sim t^2，故 ∫0xsin⁡(t2)dt∼x33\int_0^x\sin(t^2)dt \sim \dfrac{x^3}{3}，极限为 13\dfrac{1}{3}。（亦可洛必达：sin⁡(x2)3x2→13\dfrac{\sin(x^2)}{3x^2}\to\dfrac13。）

  • 考点标签：变限积分与极限
  • 难度：中
  • 错因提醒：分子分母同阶的比值问题用等价替换最稳；用洛必达时注意分母 (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2 的系数 3

11. 答案 A

S=12∫−π/2π/2cos⁡2θ dθ=12⋅2⋅π4=π4S = \dfrac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}（自查：r=cos⁡θr=\cos\theta 是半径 12\dfrac{1}{2} 的圆，面积 π4\dfrac{\pi}{4}，吻合）。

  • 考点标签：极坐标面积
  • 难度：中
  • 错因提醒：忘乘 12\dfrac{1}{2} 会得 π2\dfrac{\pi}{2}（误选 B）；极坐标面积公式是 12∫r2 dθ\dfrac{1}{2}\int r^2\,d\theta

12. 答案 C

交点：x2=2x⇒x=0,2x^2 = 2x \Rightarrow x = 0, 2。S=∫02(2x−x2)dx=[x2−x33]02=4−83=43S = \int_0^2(2x - x^2)dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}。

  • 考点标签：平面图形面积
  • 难度：易
  • 错因提醒：先解交点定限；"上减下"（2x≥x22x \ge x^2 于 [0,2][0,2]）保证被积函数非负，不需要绝对值

填空题

13. 答案： xsin⁡x+cos⁡x+Cx\sin x + \cos x + C

分部（u=xu = x，dv=cos⁡x dxdv = \cos x\,dx）：xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+Cx\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C。

  • 考点标签：分部积分
  • 难度：易
  • 错因提醒：符号——∫sin⁡x dx=−cos⁡x\int\sin x\,dx = -\cos x，减负得正

14. 答案： 12\dfrac{1}{2}

∫0+∞e−2xdx=[−12e−2x]0+∞=12\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx = \left[-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{+\infty} = \dfrac{1}{2}。

  • 考点标签：无穷限反常积分计算
  • 难度：易
  • 错因提醒：e−2xe^{-2x} 在 +∞+\infty 处趋于 0，上极限贡献为 0，下限贡献 12\dfrac{1}{2}；系数 12\dfrac{1}{2} 常被丢

15. 答案： y=Cex2/2y = Ce^{x^2/2}

可分离：dyy=x dx⇒ln⁡∥y∥=x22+C1\dfrac{dy}{y} = x\,dx \Rightarrow \ln\|y\| = \dfrac{x^2}{2} + C_1。

  • 考点标签：可分离变量方程
  • 难度：易
  • 错因提醒：指数是 x22\dfrac{x^2}{2} 不是 x2x^2；严格说 y≡0y \equiv 0 也是解（含于 C=0C = 0）

16. 答案： π16\dfrac{\pi}{16}

令 x=sin⁡tx = \sin t：∫0π/2sin⁡2tcos⁡2t dt=∫0π/2(sin⁡2t−sin⁡4t)dt=π4−3π16=π16\int_0^{\pi/2}\sin^2 t\cos^2 t\,dt = \int_0^{\pi/2}(\sin^2 t - \sin^4 t)dt = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{3\pi}{16} = \dfrac{\pi}{16}。

  • 考点标签：三角代换 + 点火公式
  • 难度：中
  • 错因提醒：sin⁡2tcos⁡2t\sin^2t\cos^2t 要拆成 sin⁡2t(1−sin⁡2t)\sin^2t(1-\sin^2t) 分开点火；也可用 sin⁡22t=1−cos⁡4t2\sin^2 2t = \dfrac{1-\cos 4t}{2} 验算

计算题

17. 答案： x+ln⁡∥x−1x+1∥+Cx + \ln\left\|\dfrac{x-1}{x+1}\right\| + C

假分式先除法：x2+1x2−1=1+2x2−1\dfrac{x^2+1}{x^2-1} = 1 + \dfrac{2}{x^2-1}；部分分式 2x2−1=1x−1−1x+1\dfrac{2}{x^2-1} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}，积分得 x+ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣+Cx + \ln|x-1| - \ln|x+1| + C。

  • 考点标签：有理函数部分分式
  • 难度：中
  • 错因提醒：假分式不先除法直接设部分分式是原则性错误；两个 ln⁡\ln 合并时绝对值要保留

18. 答案： 2−π22 - \dfrac{\pi}{2}

令 t=ex−1t = \sqrt{e^x - 1}，则 ex=1+t2e^x = 1 + t^2，dx=2t1+t2dtdx = \dfrac{2t}{1+t^2}dt；x:0→ln⁡2x:0\to\ln 2 对应 t:0→1t:0\to 1：

∫01t⋅2t1+t2dt=2∫01(1−11+t2)dt=2−2⋅π4=2−π2\int_0^1 t\cdot\frac{2t}{1+t^2}dt = 2\int_0^1\left(1 - \frac{1}{1+t^2}\right)dt = 2 - 2\cdot\frac{\pi}{4} = 2 - \frac{\pi}{2}

  • 考点标签：第二类换元（根式整体代换）+ 换限
  • 难度：中
  • 错因提醒：换元必须同步换积分限；∫01dt1+t2=π4\int_0^1\dfrac{dt}{1+t^2} = \dfrac{\pi}{4}，不是 1

19. 答案： y=C1ex+C2e−2x−25cos⁡2x−65sin⁡2xy = C_1e^{x} + C_2e^{-2x} - \dfrac{2}{5}\cos 2x - \dfrac{6}{5}\sin 2x

特征方程 r2+r−2=0⇒r=1,−2r^2 + r - 2 = 0 \Rightarrow r = 1, -2，齐次通解 C1ex+C2e−2xC_1e^x + C_2e^{-2x}。±2i\pm 2i 不是特征根（k=0k=0），设 y∗=acos⁡2x+bsin⁡2xy^* = a\cos 2x + b\sin 2x，代入：

y∗′′+y∗′−2y∗=(−6a+2b)cos⁡2x+(−2a−6b)sin⁡2x=!8sin⁡2xy^{*\prime\prime} + y^{*\prime} - 2y^* = (-6a+2b)\cos 2x + (-2a-6b)\sin 2x \stackrel{!}{=} 8\sin 2x

解 −6a+2b=0-6a + 2b = 0、−2a−6b=8-2a - 6b = 8 得 a=−25a = -\dfrac{2}{5}、b=−65b = -\dfrac{6}{5}。

  • 考点标签：二阶常系数非齐次（三角右端）
  • 难度：中
  • 错因提醒：cos⁡\cos、sin⁡\sin 必须成对设；联立解系数时两个方程都要用上，验算代回最稳

20. 答案： f(x)=3(1−e−x)f(x) = 3(1 - e^{-x})

两边求导：f′(x)=3−f(x)f'(x) = 3 - f(x)，即 f′+f=3f' + f = 3；原方程令 x=0x = 0 得 f(0)=0f(0) = 0。解一阶线性：f=3+Ce−xf = 3 + Ce^{-x}，由 f(0)=0f(0) = 0 得 C=−3C = -3，故 f(x)=3(1−e−x)f(x) = 3(1 - e^{-x})。

验证：∫0x3(1−e−t)dt=3x+3e−x−3\int_0^x 3(1-e^{-t})dt = 3x + 3e^{-x} - 3，代回 3x−(3x+3e−x−3)=3−3e−x3x - (3x + 3e^{-x} - 3) = 3 - 3e^{-x}，吻合。

  • 考点标签：变限积分方程（求导脱限 + 初值）
  • 难度：中
  • 错因提醒：初值必须从原方程取（求导后信息已丢失）；解完代回原方程检验是防漏检的最后防线