#一元函数积分学

#考点定位

• 大纲位置：高等数学第三章，计算量最大的章节，是后面多元积分与微分方程综合题的工具库
• 常见题型：不定积分换元/分部选型、定积分的对称性与区间再现技巧、变限积分求导与极限、反常积分敛散判别、几何应用（面积/旋转体体积/弧长/旋转曲面）
• 考查频率：高。积分计算几乎渗透每张卷的每个大题；变限积分求导是高频选择/填空陷阱
• 定位：积分是"模式识别 + 计算准确率"的功夫——选型对了就成功一半，本章把选型决策做成一棵树和三张表，反复对照演练

#核心讲解

#先立地基：原函数、不定积分与定积分的定义

原函数：若在区间 $I$ 上 $F'(x) = f(x)$ 成立，则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数。存在性：区间上连续的函数必有原函数（变限积分 $\int_a^x f(t)\,dt$ 就是其中之一，这也是"连续函数必有原函数"的构造性证明）。唯一性：同一函数的任意两个原函数只差一个常数——因 $[F_1-F_2]' = 0$ 在区间上推出 $F_1-F_2\equiv C$。

不定积分：$f$ 在区间 $I$ 上全体原函数的集合，记

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

"不定"就体现在任意常数 $C$——不定积分是函数族，不是单个函数。这就是为什么每道不定积分题最后必补 $+C$。

定积分的定义（分割—取点—求和—取极限）：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界：

1. 分割：插入分点 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，记 $\Delta x_i = x_i-x_{i-1}$，$\lambda=\max\{\Delta x_i\}$
2. 取点：在每个小区间上任取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$
3. 求和（黎曼和）：$S = \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$
4. 取极限：若 $\lambda\to 0$ 时 $S$ 的极限存在，且与分割方式、取点方式都无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，极限值记作 $\int_a^b f(x)\,dx$

可积的充分条件（记住两条就够）：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续，或 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界且只有有限个间断点，则 $f$ 可积。定积分是一个数，与不定积分是不同对象；牛顿-莱布尼茨公式把两者接通：$F$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任一原函数时

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

本章所有"先求原函数再代限"的计算，背后都是这条公式。

#不定积分：选型决策树

拿到积分先问"被积函数长什么样"，而不是上来就动笔。整套决策流程：

决策顺序有讲究：先看能不能凑微分（成本最低），再看是否两类函数乘积（分部），再看根式（第二类换元），最后有理函数部分分式（万能但最费时）。考场先花 10 秒选型，比埋头硬算 5 分钟强。

#凑微分模式表（第一类换元）

第一类换元的本质：把被积式的一部分识别为某函数的微分。高频模式必须形成条件反射：

#第二类换元：三类根式代换

倒代换 $x = \frac{1}{t}$：分母幂次明显高于分子时用（如 $\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}$ 型），本质是把分母的 $x$ 换到分子。

#分部积分：选 u 的口诀

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

两类不同函数相乘时，按 "反、对、幂、指、三" 的优先级选 $u$（排前者当 $u$，排后者进 $dv$）。这个口诀是让 $\int v\,du$ 比 $\int u\,dv$ 更简单的经验总结：

• $\int x e^x\,dx$：幂在指前，$u = x$，$dv = e^x dx$
• $\int x\ln x\,dx$：对在幂前，$u = \ln x$，$dv = x\,dx$
• $\int x\arctan x\,dx$：反三角在幂前，$u = \arctan x$
• $\int e^x\sin x\,dx$：指与三同级，任选一个当 $u$，两次分部后移项解方程

#有理函数部分分式分解

任何 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$（$P,Q$ 为多项式）的原函数都是初等函数，步骤固定：

1. 假分式（分子次数 ≥ 分母）先做除法化为"多项式 + 真分式"
2. 分母 $Q(x)$ 在实数范围内分解为一次因式 $(x-a)^k$ 与不可约二次因式 $(x^2+px+q)^j$（$p^2<4q$）
3. 按模板拆：

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{k}\frac{A_i}{(x-a)^i} + \sum_{i=1}^{j}\frac{B_ix+C_i}{(x^2+px+q)^i}$

4. 定系数：代入特殊根（最优先）+ 比较同次幂系数
5. 逐项积分：一次式直接 $\ln$；二次式配方后拆成 $\dfrac{2x+p}{x^2+px+q}$ 型（凑对数）与 $\dfrac{1}{(x+\frac{p}{2})^2 + a^2}$ 型（凑 $\arctan$）

三角函数有理式 $\int R(\sin x,\cos x)\,dx$ 的万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$（仅数一大纲点名，数二了解即可）是最后手段，优先尝试奇偶化简（$\sin x\,dx = -d\cos x$ 等）。

#定积分：性质与对称性技巧

#基本性质

线性、区间可加、$f\le g \Rightarrow \int f \le \int g$。另有两条需要完整陈述（证明题与估值类选择题常用）：

• 估值定理：若 $m\le f(x)\le M$ 于 $[a,b]$，则 $m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a)$（$m,M$ 可取最值或任一上下界）
• 积分中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使

$\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)$

几何读法：曲边梯形面积等于某个同底矩形的面积，$\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$ 即 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值。命题人怎么考：与微分中值定理串题——对变限函数 $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 用拉格朗日中值定理，得到的正是积分中值定理；"证明存在 $\xi$ 使某积分等式成立"类题目几乎都走这条路。

奇偶与周期是考研最值的两个免费分技巧：

$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx = \begin{cases}0, & f \text{ 为奇函数}\\ 2\int_0^a f(x)\,dx, & f \text{ 为偶函数}\end{cases}$

$f \text{ 以 } T \text{ 为周期} \implies \int_a^{a+T}f(x)\,dx = \int_0^T f(x)\,dx \text{（与起点无关）}$

先查奇偶周期再动笔，是定积分第一大纪律。遇到非对称区间可先用区间可加移成对称区间。

#区间再现公式（翻转技巧）

$\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx$

证明一行：右边换元 $x = a - t$ 即得。威力在于把 $x$ 换成 $a-x$ 后两式相加，消去讨厌的因子。最重要的推论：

$\int_0^\pi x f(\sin x)\,dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\,dx$

分子上的 $x$ 直接被"平均"掉——遇到 $x\sin^n x$、$\dfrac{x\sin x}{1+\cos^2 x}$ 这类题，区间再现是唯一正解（见例题 3）。

#变限积分求导

$f$ 连续时 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 可导且 $\Phi'(x) = f(x)$——这是"积分产生新函数"的基石。一般形式（上限为复合函数）：

$\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt = f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$

被积函数含 $x$ 时禁止直接套（求导变量与积分变量混了），两条出路：

1. 拆项提出：$\int_0^x (x-t)f(t)\,dt = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x tf(t)\,dt$，再求导
2. 换元内移：$\int_0^x f(x-t)\,dt$ 令 $u = x-t$ 化为 $\int_0^x f(u)\,du$ 后求导

#华里士公式（点火公式）

$\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx = \int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx = \begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数}\\[2mm] \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}, & n \text{ 为奇数}\end{cases}$

口诀："偶添 $\dfrac{\pi}{2}$，奇止于 $\dfrac{2}{3}$"。

适用条件（缺一不可）：积分区间恰为 $[0,\frac{\pi}{2}]$，且被积函数是 $\sin$ 或 $\cos$ 的整数次幂。其他区间必须先做对称性换算：

#反常积分：敛散性判别与计算

两类：无穷限（$\int_1^{+\infty}$）与瑕积分（区间内有无穷间断点）。先给定义——反常积分都是"先算定积分、再取极限"：

$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx \;\text{定义为}\; \lim_{t\to+\infty}\int_a^{t}f(x)\,dx$

极限存在称收敛，不存在称发散；$\int_{-\infty}^{b}$ 对称定义。$\int_{-\infty}^{+\infty}$ 必须拆成两段（如 $\int_{-\infty}^{0}+\int_{0}^{+\infty}$）各自收敛才收敛，任一段发散即整体发散——不能笼统地"对称抵消"。

瑕积分：若 $f$ 在 $b$ 点的任何左侧邻域内无界（$b$ 称瑕点），则定义

$\int_a^{b}f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)\,dx$

瑕点在区间内部时必须从瑕点处拆开、两段各自收敛。判别先于计算——发散就不要算。

两个标准尺度（比较判别法的参照物）：

$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\text{ 收敛} \iff p>1, \qquad \int_0^1\frac{dx}{x^p}\text{ 收敛} \iff p<1$

常见结论：$\int_e^{+\infty}\dfrac{dx}{x\ln^p x}$ 当且仅当 $p>1$ 收敛（换元 $t=\ln x$ 化为第一个尺度）；$\int_0^{+\infty}e^{-ax}dx$（$a>0$）收敛于 $\dfrac{1}{a}$。

计算示范（双重反常：瑕点 $x=1$ + 无穷限）：$\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$。令 $x = \sec t$，$dx = \sec t\tan t\,dt$，$\sqrt{x^2-1} = \tan t$，被积式化为 $dt$，$x:1\to+\infty$ 对应 $t:0\to\frac{\pi}{2}$：

$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \int_0^{\pi/2}dt = \frac{\pi}{2} \text{（收敛）}$

拆项陷阱：$\int_a^{+\infty}[f(x)-g(x)]dx$ 若拆成两项各自发散，不能断言原积分发散（如 $\int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx = \ln 2$ 收敛）；反之，若任一项收敛另一项发散，则原积分必发散。

#定积分的几何应用

#平面图形面积

直角坐标：$S = \int_a^b\|f(x)-g(x)\|\,dx$（先求交点定限，大减小）。

极坐标（数一数二均考）：

$S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$

忘乘 $\dfrac{1}{2}$ 是本考点第一大错。自查：$r=\cos\theta$ 是半径 $\dfrac{1}{2}$ 的圆，面积必须等于 $\dfrac{\pi}{4}$。

#旋转体体积

#弧长与旋转曲面（仅数一）

弧长公式三张脸记一个原则：都是"微分勾股定理" $\ ds^2 = dx^2+dy^2$ 的变形。旋转曲面 = 周长 $2\pi\|y\|$ × 弧微元。

#例题

#例题 1（模拟题）分部积分的"构造性"用法

求 $\int\dfrac{xe^x}{(1+x)^2}\,dx$。

解析：被积函数是幂、指、分式的混合，硬分部会越算越乱。注意到分母 $(1+x)^2$ 恰好是 $\dfrac{1}{1+x}$ 的导数结构，把 $\dfrac{dx}{(1+x)^2}$ 整体看作 $-d\left(\dfrac{1}{1+x}\right)$：

$\int\frac{xe^x}{(1+x)^2}dx = -\int xe^x\,d\left(\frac{1}{1+x}\right) = -\frac{xe^x}{1+x} + \int\frac{1}{1+x}(e^x + xe^x)\,dx$

后一式分子恰好 $(1+x)e^x$：

$= -\frac{xe^x}{1+x} + e^x + C = \frac{e^x}{1+x} + C$

验证：$\left(\dfrac{e^x}{1+x}\right)' = \dfrac{e^x(1+x)-e^x}{(1+x)^2} = \dfrac{xe^x}{(1+x)^2}$，成立。

套路总结：出现 $\dfrac{e^x}{(1+x)^2}$、$\dfrac{\ln x}{(1+x)^2}$ 这类"分母导数结构"，优先试 $d\left(\dfrac{1}{1+x}\right)$ 方向的分部，而不是强行拆项。

#例题 2（模拟题）有理函数部分分式

求 $\int\dfrac{dx}{x(x^2+1)}$。

解析：分母已分解为一次因式 $x$ 与不可约二次因式 $x^2+1$，设：

$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

通分比较：$1 = A(x^2+1) + x(Bx+C)$。代入根 $x=0$ 得 $A=1$；比较 $x^2$ 项 $0 = 1 + B$ 得 $B=-1$；比较 $x$ 项 $C=0$。于是：

$\int\frac{dx}{x(x^2+1)} = \int\frac{dx}{x} - \int\frac{x}{x^2+1}dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C$

定系数提速：先代根（一次因式的根），再比最高次与最低次幂系数，多数题不用解方程组。

#例题 3（模拟题）区间再现消去分子上的 $x$

求 $I = \int_0^\pi\dfrac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$。

解析：分子上的 $x$ 让分部积分变成灾难。区间再现：$x \to \pi - x$，

$I = \int_0^\pi\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x}dx$

两式相加：

$2I = \pi\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx = \pi\left[-\arctan(\cos x)\right]_0^\pi = \pi\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi^2}{2}$

故 $I = \dfrac{\pi^2}{4}$。

套路总结：$\int_0^\pi x f(\sin x)\,dx$ 一律先区间再现再点火，分子 $x$ 变成系数 $\dfrac{\pi}{2}$。

#例题 4（模拟题）变限积分求导：被积函数含 $x$

设 $f$ 连续，$F(x) = \int_0^x (x-t)f(t)\,dt$，求 $F'(x)$ 与 $F''(x)$。

解析：被积函数含 $x$，先拆项提出再求导：

$F(x) = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x tf(t)\,dt$

$F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt + xf(x) - xf(x) = \int_0^x f(t)\,dt$

$F''(x) = f(x)$

坑：直接写 $F'(x) = (x-x)f(x) = 0$ 是经典错误——变限求导公式只适用于被积函数不含 $x$ 的情形。

（上限为复合函数的对照）：$\dfrac{d}{dx}\int_0^{\sin x}e^{-t^2}dt = e^{-\sin^2 x}\cos x$，链式法则别丢内层导数。

#例题 5（模拟题）点火公式的区间换算与指数奇偶陷阱

计算：（1）$\int_0^{\pi/2}\sin^5 x\,dx$；（2）$\int_0^\pi\sin^4 x\,dx$；（3）$\int_0^\pi\cos^4 x\,dx$；（4）$\int_0^\pi\sin^3 x\,dx$。

解析：

（1）区间正是 $[0,\frac{\pi}{2}]$，直接点火（奇数，止于 $\frac{2}{3}$）：$\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{15}$。

（2）区间是 $[0,\pi]$，先对称换算再点火：$2\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\,dx = 2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{8}$。

（3）$\cos^4$ 偶次同号不抵消：$2\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{8}$。

（4）陷阱题：若照抄（2）的"直接点火再翻倍"之外偷懒——错解是只点火不翻倍得 $\dfrac{2}{3}$。正解：$2\int_0^{\pi/2}\sin^3 x\,dx = 2\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}$。

坑位总结：区间不是 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 必须先换算；幂次奇偶决定 $\cos$ 在 $[0,\pi]$、$[0,2\pi]$ 上是否归零；$\sin$ 在 $[0,\pi]$ 上无论奇偶都翻倍，在 $[0,2\pi]$ 上奇次归零偶次乘 4。

#例题 6（模拟题）旋转体体积：绕 x 轴与绕 y 轴

求 $y = \sin x$（$0\le x\le\pi$）与 $x$ 轴所围图形分别绕 $x$ 轴、$y$ 轴旋转一周的体积。

解析：

绕 $x$ 轴（圆盘法）：

$V_x = \pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \pi\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$

绕 $y$ 轴（柱壳法，避开 $x = \arcsin y$ 与 $x = \pi - \arcsin y$ 的分段尴尬）：

$V_y = 2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx = 2\pi\left[-x\cos x + \sin x\right]_0^\pi = 2\pi\cdot\pi = 2\pi^2$

选型提示：曲线给出的 $y$ 关于 $x$ 单值而 $x$ 关于 $y$ 不单值时，绕 $y$ 轴用柱壳法一步到位；绕任意直线（如 $y = 1$）时画截面，半径是"曲线到轴的距离"，先平移再套公式。

#常见坑

1. 点火公式区间不是 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 直接套：$[0,\pi]$、$[0,2\pi]$、$[\frac{\pi}{2},\pi]$ 各有换算规则，见换算表
2. 指数奇偶陷阱：$[0,\pi]$ 上 $\cos^3 x$ 积分是 $0$（不是点火值翻倍），$[0,\pi]$ 上 $\sin^3 x$ 是点火值翻倍 $\frac{4}{3}$（不是 $\frac{2}{3}$）
3. 变限积分被积函数含 $x$ 直接套求导公式：$F(x)=\int_0^x(x-t)f(t)dt$ 必须先拆项（例题 4）
4. 上限是 $\sin x$ 等复合函数忘乘内层导数
5. 分部积分 u 选错方向：$u$ 选了指数/三角导致循环放大，回到"反、对、幂、指、三"
6. 有理函数是假分式不先做除法，部分分式模板只对真分式成立
7. 第二类换元后忘记换积分限（定积分）或忘记回代（不定积分）
8. 反常积分不先判敛散就计算；拆项后"各自发散"推不出整体发散
9. 极坐标面积忘乘 $\dfrac{1}{2}$；柱壳法绕 $y$ 轴忘乘 $2\pi x$ 因子
10. 弧长与旋转曲面当公共考点记：二者是仅数一考点，数二卷不出现（卷种确认前按超集学，确认后可划走）

#自测

1. 求 $\int\dfrac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$
2. 求 $\int_0^1 x^2e^x\,dx$
3. 求 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\sin^3 x)\cos^2 x\,dx$
4. 设 $f$ 连续，求 $\dfrac{d}{dx}\int_0^{\cos x}\sin(t^2)\,dt$
5. 判断并计算反常积分 $\int_0^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+2x+2}$

#自测答案与简析

1. 令 $t=\sqrt{x}$（$dx = 2t\,dt$）：$\int\dfrac{2\,dt}{1+t^2} = 2\arctan\sqrt{x} + C$。根式整体代换的最小样本
2. 分部两次（幂×指，$u=x^2$ 起手）：$\left[(x^2-2x+2)e^x\right]_0^1 = e - 2$
3. $\sin^3x\cos^2x$ 为奇函数积分为 $0$，剩下 $2\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$。先查奇偶再点火
4. 上限复合：$\sin(\cos^2 x)\cdot(\cos x)' = -\sin x\,\sin(\cos^2 x)$。符号来自内层导数
5. 分母 $=(x+1)^2+1$，$\left[\arctan(x+1)\right]_0^{+\infty} = \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}$，收敛。无穷限反常积分配方后即是标准原函数

#本章关联

• 前置：一元函数微分学（换元法本质是复合求导逆用，分部是乘积求导逆用）
• 后继：常微分方程（一阶线性方程的通解公式就是变限积分）
• 章节测：一元积分与微分方程 章节测（覆盖第 03、04 章，学完即测），做完回写 错题本