考研之路

空间解析几何与向量代数

卷种提示：本章为仅数一内容，数学二不考空间解析几何与向量代数。卷种（数一/数二）确认前按数一超集组织；若最终确认为数二，本章整体可跳过。

考点定位

  • 大纲位置：高等数学向量代数与空间解析几何部分（数一专属，且更多时候作为多元微积分的"几何语言"间接考查）
  • 常见题型：向量的数量积/向量积/混合积计算与几何应用（夹角、投影、面积、体积、垂直平行条件）、求平面方程（点法式/一般式/截距式）、求直线方程（对称式/参数式/一般式）、点线面距离与夹角、由方程识别二次曲面并画草图（多元积分定限的基础）、旋转曲面与柱面方程、空间曲线在坐标面上的投影
  • 考查频率：中低。直接命题以小题为主；更大的价值在于它是三重积分、曲线曲面积分（第 07 章）的几何底座——不会认曲面、不会求投影，多元积分寸步难行
  • 前置知识：函数、极限与连续（平面解析几何的坐标思想）、线性代数（行列式按第 1 行展开是向量积、混合积的计算工具）
  • 定位：本章是"几何语言"章节——公式少而结构性极强，核心是把"垂直 ⟺ 数量积为 0""共面 ⟺ 混合积为 0"这类翻译规则焊死，剩下全是代数流水线

核心讲解

向量的基本概念与线性运算

既有大小又有方向的量称为向量。在空间直角坐标系中，以 M1(x1,y1,z1)M_1(x_1, y_1, z_1) 为起点、M2(x2,y2,z2)M_2(x_2, y_2, z_2) 为终点的向量记作

M1M2⃗=(x2−x1, y2−y1, z2−z1)\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1)

向量 a⃗=(ax,ay,az)\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) 的模：∣a⃗∣=ax2+ay2+az2|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}。模为 1 的向量称单位向量，a⃗\vec{a} 的单位向量记 a⃗ 0=a⃗∣a⃗∣\vec{a}^{\,0} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}。0⃗=(0,0,0)\vec{0} = (0,0,0)，方向任意。

线性运算按坐标逐分量进行：λa⃗+μb⃗=(λax+μbx, λay+μby, λaz+μbz)\lambda\vec{a} + \mu\vec{b} = (\lambda a_x + \mu b_x,\ \lambda a_y + \mu b_y,\ \lambda a_z + \mu b_z)。

方向角与方向余弦：a⃗\vec{a} 与 xx、yy、zz 轴正向的夹角 α\alpha、β\beta、γ∈[0,π]\gamma \in [0, \pi] 称方向角，其余弦

cos⁡α=ax∣a⃗∣,cos⁡β=ay∣a⃗∣,cos⁡γ=az∣a⃗∣\cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|},\quad \cos\beta = \frac{a_y}{|\vec{a}|},\quad \cos\gamma = \frac{a_z}{|\vec{a}|}

三条性质必背：cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1；(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)=a⃗ 0(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \vec{a}^{\,0} 本身是单位向量；已知两个方向余弦可定第三个的绝对值。

投影：a⃗\vec{a} 在 b⃗\vec{b} 上的投影是一个数（不是向量）：

Prjb⃗a⃗=∣a⃗∣cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣,θ=⟨a⃗,b⃗⟩\mathrm{Prj}_{\vec{b}}\vec{a} = |\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|},\quad \theta = \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle

数量积（点积、内积）

定义：a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta，其中 θ\theta 为两向量夹角。坐标运算：

a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

几何应用（全部由定义翻译而来）：

  1. 夹角：cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}（分母恒正，cos⁡θ\cos\theta 的符号完全由点积决定）
  2. 垂直：a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0（零向量与任何向量"垂直"按此约定处理）
  3. 模：∣a⃗∣=a⃗⋅a⃗|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}（求模先平方即点自己）

运算律：交换律成立；与数乘结合 (λa⃗)⋅b⃗=λ(a⃗⋅b⃗)(\lambda\vec{a})\cdot\vec{b} = \lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})；分配律 (a⃗+b⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⋅c⃗(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c}。注意：由 a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c} 消去 a⃗\vec{a} 是错的（点积无消去律），只能得 a⃗⋅(b⃗−c⃗)=0\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c}) = 0，即 a⃗⊥(b⃗−c⃗)\vec{a} \perp (\vec{b}-\vec{c})。

向量积（叉积、外积）

定义：a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} 是一个向量，其模 ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta，方向由右手法则确定（四指从 a⃗\vec{a} 转向 b⃗\vec{b}，拇指所指），且同时垂直于 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b}。坐标运算用行列式：

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗axayazbxbybz∣\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

几何应用：

  1. 平行：a⃗∥b⃗  ⟺  a⃗×b⃗=0⃗  ⟺  axbx=ayby=azbz\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a}\times\vec{b} = \vec{0} \iff \dfrac{a_x}{b_x} = \dfrac{a_y}{b_y} = \dfrac{a_z}{b_z}（分母为零时约定分子也为零）
  2. 面积：以 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b} 为邻边的平行四边形面积 S=∣a⃗×b⃗∣S = |\vec{a}\times\vec{b}|，三角形面积 S=12∣a⃗×b⃗∣S = \dfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|
  3. 同时垂直于两向量的向量：直接叉乘（求平面法向量、直线方向向量的核心手段）

运算律：反交换律 a⃗×b⃗=−(b⃗×a⃗)\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})；无交换律；分配律成立；无结合律 (a⃗×b⃗)×c⃗≠a⃗×(b⃗×c⃗)(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} \ne \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})。记忆：i⃗×j⃗=k⃗\vec{i}\times\vec{j} = \vec{k}、j⃗×k⃗=i⃗\vec{j}\times\vec{k} = \vec{i}、k⃗×i⃗=j⃗\vec{k}\times\vec{i} = \vec{j}（循环乘得第三个，逆循环添负号）。

混合积

定义：三个向量的混合积 [a⃗,b⃗,c⃗]=(a⃗×b⃗)⋅c⃗[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}，结果是数，坐标计算：

[a⃗,b⃗,c⃗]=∣axayazbxbybzcxcycz∣[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}

几何意义：绝对值 ∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| 是以 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b}、c⃗\vec{c} 为棱的平行六面体体积；四点共面、三向量共面的判别全部依赖它：

  1. 共面：a⃗、b⃗、c⃗\vec{a}、\vec{b}、\vec{c} 共面   ⟺  [a⃗,b⃗,c⃗]=0\iff [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0
  2. 四面体体积：V=16∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣V = \dfrac{1}{6}|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|
  3. 轮换不变性：[a⃗,b⃗,c⃗]=[b⃗,c⃗,a⃗]=[c⃗,a⃗,b⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]；交换任意两个变号

判四点共面：四点 AA、BB、CC、DD 共面   ⟺  [AB⃗,AC⃗,AD⃗]=0\iff [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0——把三条"从同一点出发的棱"取混合积即可。

三种积的对比表（选择题高频）

运算结果类型几何意义零的等价条件主要用途
a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}数模 × 投影垂直（θ=π/2\theta = \pi/2）夹角、投影、垂直判定
a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}向量平行四边形面积（模）平行（θ=0\theta = 0 或 π\pi）面积、法向量、平行判定
[a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a},\vec{b},\vec{c}]数平行六面体体积（绝对值）三向量共面体积、共面判定

平面方程

平面的几何要素是"一点 + 一个法向量"（法向量 n⃗\vec{n} 是与平面垂直的任意非零向量，不唯一，差一个非零倍数）。

  1. 点法式：过点 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)、法向量 n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C) 的平面：

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

  1. 一般式：Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0，(A,B,C)(A, B, C) 即法向量。特殊位置读图技巧：D=0D = 0 过原点；缺 zz 项（C=0C = 0）则平面平行于 zz 轴（柱面式方程同理）；只含 zz（A=B=0A = B = 0）则平行于 xOyxOy 面
  2. 截距式：xa+yb+zc=1\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1，aa、bb、cc 为三轴截距（要求 abc≠0abc \ne 0）

求法向量的两条流水线：已知平面内两不平行的向量 u⃗,v⃗\vec{u}, \vec{v}（如两条边的方向），则 n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}；平面过三点，可取 n⃗=M1M2⃗×M1M3⃗\vec{n} = \vec{M_1M_2}\times\vec{M_1M_3}。

两平面关系：Π1:A1x+B1y+C1z+D1=0\Pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0，Π2\Pi_2 同理。法向量 n1⃗=(A1,B1,C1)\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)、n2⃗=(A2,B2,C2)\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)：

  • 垂直   ⟺  n1⃗⋅n2⃗=0\iff \vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 0；平行   ⟺  n1⃗×n2⃗=0⃗\iff \vec{n_1}\times\vec{n_2} = \vec{0}（即系数成比例）
  • 夹角（取锐角）：cos⁡θ=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣∣n2⃗∣\cos\theta = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}（取绝对值保证锐角，这是最容易漏的一步）

直线方程

直线的几何要素是"一点 + 一个方向向量" s⃗=(m,n,p)\vec{s} = (m, n, p)。

  1. 对称式（点向式/标准式）：

x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}

分母为零时约定对应分子也为零（表示 x=x0x = x_0 这类平面）。求方向向量的流水线：直线是两平面交线（一般式 {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+⋯=0\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + \cdots = 0\end{cases}）时，s⃗=n1⃗×n2⃗\vec{s} = \vec{n_1}\times\vec{n_2}

  1. 参数式：{x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt\begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}，t∈Rt \in \mathbb{R}（对称式引入参数 tt 即得；求交点、定比分点全靠它）
  2. 一般式：两平面方程联立

线面关系判定（方向向量 s⃗\vec{s} 与法向量 n⃗\vec{n} 的翻译）：

关系条件
直线平行于平面s⃗⋅n⃗=0\vec{s}\cdot\vec{n} = 0 且线上一点不在面内（在面内则线在面内）
直线垂直于平面s⃗∥n⃗\vec{s}\parallel\vec{n}
两直线平行 / 垂直s1⃗×s2⃗=0⃗\vec{s_1}\times\vec{s_2} = \vec{0} / s1⃗⋅s2⃗=0\vec{s_1}\cdot\vec{s_2} = 0
两直线共面[s1⃗,s2⃗,M1M2⃗]=0[\vec{s_1}, \vec{s_2}, \vec{M_1M_2}] = 0（方向向量与两点连线混合积为零；共面且不平行则相交）

夹角公式（全部取锐角）：两直线 cos⁡θ=∣s1⃗⋅s2⃗∣∣s1⃗∣∣s2⃗∣\cos\theta = \dfrac{|\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}|}{|\vec{s_1}||\vec{s_2}|}；线面 sin⁡θ=∣s⃗⋅n⃗∣∣s⃗∣∣n⃗∣\sin\theta = \dfrac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}（注意线面夹角用正弦，因为 θ\theta 定义为 s⃗\vec{s} 与其在平面内投影的夹角）。

距离公式一览

对象公式
点 M0M_0 到平面 Π\Pi$d = \dfrac{
点 M0M_0 到直线 LL$d = \dfrac{
两平行平面在一平面上取一点，化为点到平面距离
两异面直线$d = \dfrac{

点到平面距离公式是"分子代入、分母取模"的纯流水线，每年线代里点到平面距离必考一次的概率不小，公式本身必须零思考直接写。

旋转曲面

平面曲线绕同一平面内的一条定直线旋转一周所成的曲面称旋转曲面。母方程规则（必须机械执行，不许凭感觉）：

曲线 F(y,z)=0F(y, z) = 0 绕 zz 轴旋转：保留 zz 不动，把 yy 换成 ±x2+y2\pm\sqrt{x^2 + y^2}，得

F(±x2+y2, z)=0F\left(\pm\sqrt{x^2 + y^2},\ z\right) = 0

绕哪个轴旋转，哪个变量保留；另一个变量换成"除该轴外两个坐标的平方和的正负平方根"。典型：

  • y2a2−z2c2=1\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1 绕 zz 轴（虚轴）旋转：x2+y2a2−z2c2=1\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1（旋转单叶双曲面）
  • 上式绕 yy 轴（实轴）旋转：y2a2−x2+z2c2=1\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2 + z^2}{c^2} = 1（旋转双叶双曲面）
  • z=y2z = y^2 绕 zz 轴：z=x2+y2z = x^2 + y^2（旋转抛物面，多元积分最高频曲面之一）
  • 直线绕轴旋转得锥面，如 z=yz = y 绕 zz 轴：z2=x2+y2z^2 = x^2 + y^2

反向题（真题爱考）：给出曲面方程问"由什么曲线绕什么轴旋转生成"。识别口诀：方程中除保留变量外，另两个变量以平方和的形式绑定出现（如 x2+y2x^2 + y^2 整体出现），则是绕 zz 轴的旋转曲面，母曲线取 yOzyOz 面的截线。

柱面

缺哪个变量，母线就平行于哪根轴。F(x,y)=0F(x, y) = 0（不含 zz）表示母线平行于 zz 轴、准线为 xOyxOy 面上曲线 F(x,y)=0F(x, y) = 0 的柱面。识别是纯读题：x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2 在空间是圆柱面（不是圆！），y2=2xy^2 = 2x 是抛物柱面，x2a2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 是椭圆柱面（母线平行 yy 轴）。

二次曲面识别表（必须会画草图）

名称标准方程截痕识别特征
椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1三向截痕全是椭圆
单叶双曲面x2a2+y2b2−z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1负号在 zz：水平截痕椭圆、竖截痕双曲线；连成"腰鼓"
双叶双曲面x2a2−y2b2−z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1只有一个正项，两片分离
椭圆抛物面z=x2a2+y2b2z = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}开口向上（沿 zz 正向）的碗
双曲抛物面（马鞍面）z=x2a2−y2b2z = \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2}一正一负，沿不同方向一升一降
二次锥面z2=x2a2+y2b2z^2 = \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}齐二次，过原点，上下两锥

截痕法画图（通用三板斧）：用 z=z0z = z_0 水平截（看"层"的形状与缩放趋势）、用 x=0x = 0 / y=0y = 0 竖截（看剖面）、看原点是否在面上。这套技能在第 07 章三重积分与曲面积分画区域时直接变现。

空间曲线

一般式：两曲面联立 {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}。

参数式：{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}。螺旋线标准例：x=Rcos⁡t, y=Rsin⁡t, z=vtx = R\cos t,\ y = R\sin t,\ z = vt——圆柱面上等速上升。

在坐标面上的投影（多元积分定限的刚需，流程固定）：

  1. 由一般式两方程消去 zz，得投影柱面方程 H(x,y)=0H(x, y) = 0（含 zz 的方程组消元，常用代入或加减）
  2. 联立 {H(x,y)=0z=0\begin{cases} H(x, y) = 0 \\ z = 0 \end{cases} 即曲线在 xOyxOy 面上的投影曲线
  3. 向其他坐标面投影同理（消 xx 或消 yy）

曲面围成的立体在坐标面上的投影：取围成它的曲面的交线做投影，再由不等式确定区域内外。典型例：z=x2+y2z = x^2 + y^2 与 z=4z = 4 的交线消去 zz 得 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4，立体在 xOyxOy 面的投影为圆盘 x2+y2≤4x^2 + y^2 \le 4——这正是三重积分投影法的第一步。

例题

例题 1（模拟题）：三积综合判定向量关系

设 a⃗=(1,−2,2)\vec{a} = (1, -2, 2)、b⃗=(2,1,−1)\vec{b} = (2, 1, -1)。求：(1) a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 与夹角；(2) a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}；(3) 以 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b} 为邻边的三角形面积。

解：(1) a⃗⋅b⃗=2−2−2=−2<0\vec{a}\cdot\vec{b} = 2 - 2 - 2 = -2 < 0，夹角为钝角；cos⁡θ=−23×6=−69\cos\theta = \dfrac{-2}{3 \times \sqrt6} = -\dfrac{\sqrt6}{9}，θ=arccos⁡(−69)\theta = \arccos\left(-\dfrac{\sqrt6}{9}\right)。注意模 ∣b⃗∣=4+1+1=6|\vec{b}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt6。

(2) 行列式展开，按第一行逐项算：i⃗\vec{i} 分量 =(−2)(−1)−2⋅1=0= (-2)(-1) - 2\cdot1 = 0；j⃗\vec{j} 分量 =−(1⋅(−1)−2⋅2)=5= -(1\cdot(-1) - 2\cdot2) = 5；k⃗\vec{k} 分量 =1⋅1−(−2)⋅2=5= 1\cdot1 - (-2)\cdot2 = 5。故 a⃗×b⃗=(0,5,5)\vec{a}\times\vec{b} = (0, 5, 5)。自查：点积 (0,5,5)⋅(1,−2,2)=−10+10=0(0,5,5)\cdot(1,-2,2) = -10 + 10 = 0，(0,5,5)⋅(2,1,−1)=5−5=0(0,5,5)\cdot(2,1,-1) = 5 - 5 = 0，同时垂直于两向量，正确。

(3) 三角形面积 S=12∣a⃗×b⃗∣=120+25+25=522S = \dfrac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}| = \dfrac{1}{2}\sqrt{0 + 25 + 25} = \dfrac{5\sqrt2}{2}。

例题 2（模拟题）：求平面方程（一点 + 两向量）

求过点 M1(1,1,1)M_1(1, 1, 1)、M2(0,1,−1)M_2(0, 1, -1) 且垂直于平面 x+2y−z=0x + 2y - z = 0 的平面方程。

解：平面含向量 M1M2⃗=(−1,0,−2)\vec{M_1M_2} = (-1, 0, -2)，又须垂直于已知平面即法向量 n0⃗=(1,2,−1)\vec{n_0} = (1, 2, -1) 平行于所求平面（n0⃗\vec{n_0} 在平面内"躺着"）。故

n⃗=M1M2⃗×n0⃗=∣i⃗j⃗k⃗−10−212−1∣=(4,−3,−2)\vec{n} = \vec{M_1M_2}\times\vec{n_0} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (4, -3, -2)

（i⃗\vec{i} 分量 0⋅(−1)−(−2)⋅2=40\cdot(-1) - (-2)\cdot2 = 4；j⃗\vec{j} 分量 −((−1)(−1)−(−2)⋅1)=−3-((-1)(-1) - (-2)\cdot1) = -3；k⃗\vec{k} 分量 −2−0=−2-2 - 0 = -2。）

点法式：4(x−1)−3(y−1)−2(z−1)=04(x - 1) - 3(y - 1) - 2(z - 1) = 0，即 4x−3y−2z+1=04x - 3y - 2z + 1 = 0。

套路总结：求平面方程就是"凑两个平面内向量 → 叉乘得法向量 → 点法式"。常见"平面内向量"来源：已知两点的连线、与之垂直的平面的法向量、与之平行的直线的方向向量、与之平行的平面的法向量（不共线时）。

例题 3（模拟题）：直线的一般式转对称式 + 点到直线距离

将直线 L: {x+y+z−1=02x−y+3z−4=0L:\ \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 4 = 0 \end{cases} 化为对称式，并求原点到 LL 的距离。

解：s⃗=n1⃗×n2⃗=(1,1,1)×(2,−1,3)\vec{s} = \vec{n_1}\times\vec{n_2} = (1, 1, 1)\times(2, -1, 3)。i⃗\vec{i} 分量 =1⋅3−1⋅(−1)=4= 1\cdot3 - 1\cdot(-1) = 4；j⃗\vec{j} 分量 =−(1⋅3−1⋅2)=−1= -(1\cdot3 - 1\cdot2) = -1；k⃗\vec{k} 分量 =1⋅(−1)−1⋅2=−3= 1\cdot(-1) - 1\cdot2 = -3，s⃗=(4,−1,−3)\vec{s} = (4, -1, -3)。

找线上一点：令 x=1x = 1，解 {y+z=0−y+3z=2\begin{cases} y + z = 0 \\ -y + 3z = 2 \end{cases} 得 y=−12y = -\tfrac12、z=12z = \tfrac12，取 M0(1,−12,12)M_0(1, -\tfrac12, \tfrac12)。对称式：

x−14=y+12−1=z−12−3\frac{x - 1}{4} = \frac{y + \tfrac12}{-1} = \frac{z - \tfrac12}{-3}

原点距离：d=∣OM0⃗×s⃗∣∣s⃗∣d = \dfrac{|\vec{OM_0}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}。OM0⃗=(1,−12,12)\vec{OM_0} = (1, -\tfrac12, \tfrac12)，OM0⃗×s⃗\vec{OM_0}\times\vec{s} 的 i⃗\vec{i} 分量 =(−12)(−3)−12⋅(−1)=2= (-\tfrac12)(-3) - \tfrac12\cdot(-1) = 2；j⃗\vec{j} 分量 =−(1⋅(−3)−12⋅4)=5= -\left(1\cdot(-3) - \tfrac12\cdot4\right) = 5；k⃗\vec{k} 分量 =1⋅(−1)−(−12)⋅4=1= 1\cdot(-1) - (-\tfrac12)\cdot4 = 1，模 4+25+1=30\sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30}；∣s⃗∣=16+1+9=26|\vec{s}| = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}。故 d=3026=1513d = \sqrt{\dfrac{30}{26}} = \sqrt{\dfrac{15}{13}}。

例题 4（模拟题）：由方程识别曲面

逐个识别下列方程表示的曲面，并说明依据：

(1) z=x2+y22z = \dfrac{x^2 + y^2}{2}；(2) x2+y2−z2=0x^2 + y^2 - z^2 = 0；(3) x2+y2−z2=1x^2 + y^2 - z^2 = 1；(4) x2−y2−z2=1x^2 - y^2 - z^2 = 1；(5) z=x2−y2z = x^2 - y^2；(6) y2=2xy^2 = 2x。

解（识别依据 = 平方项符号布局 + 是否缺变量）：

  1. x2+y2x^2 + y^2 绑定出现、zz 单独一次：旋转抛物面（zOxzOx 面抛物线 z=x22z = \dfrac{x^2}{2} 绕 zz 轴旋转所得）
  2. 齐二次且过原点：圆锥面（顶点在原点，zz 轴为对称轴）
  3. 两个正号一个负号：单叶双曲面（负号在 zz，水平截痕为椭圆）
  4. 一个正号两个负号：双叶双曲面（沿 xx 轴两片分离）
  5. zz 一次、右端一正一负：双曲抛物面（马鞍面）
  6. 缺 zz：抛物柱面（母线平行于 zz 轴，准线是 xOyxOy 面上抛物线）

套路总结：先数变量（缺谁谁是柱面），再数平方项正负号个数与位置（两正一负=单叶、一正两负=双叶、一次项+两平方项=抛物面类），最后看是否齐二次且过原点（锥面）。真题常以"识别 + 画草图定积分区域"组合出现。

例题 5（模拟题）：立体在坐标面上的投影（三重积分定限前置）

求由 z=x2+y2z = x^2 + y^2 与 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 围成的立体在 xOyxOy 面上的投影，并写出该立体投影法（先一后二）的定限。

解：两曲面交线满足 x2+y2=2−x2−y2x^2 + y^2 = 2 - x^2 - y^2，即 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1（此时 z=1z = 1）。交线在 xOyxOy 面上的投影为圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1，故立体投影为闭圆盘 D:x2+y2≤1D: x^2 + y^2 \le 1。立体可描述为

{(x,y,z)∣(x,y)∈D, x2+y2≤z≤2−x2−y2}\{(x, y, z) \mid (x, y) \in D,\ x^2 + y^2 \le z \le 2 - x^2 - y^2\}

即投影法定限：外层 ∬Ddσ\iint_D d\sigma（极坐标下 0≤r≤10 \le r \le 1、0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi），内层 ∫x2+y22−x2−y2dz\int_{x^2+y^2}^{2-x^2-y^2} dz。流程固化：交线消元 → 得投影区域 → 由下曲面到上曲面写 zz 的限——第 07 章三重积分的全部"投影法"题都是这三步。

常见坑

  1. 点积消去律：由 a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{c} 推出 b⃗=c⃗\vec{b} = \vec{c} 是错的，只能得 a⃗⊥(b⃗−c⃗)\vec{a} \perp (\vec{b} - \vec{c})
  2. 叉积反交换：a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}，行列式写反行直接全错；方向必须右手法则
  3. 夹角公式忘取绝对值：两平面、两直线夹角规定为锐角，cos⁡θ\cos\theta 分子要加绝对值；线面夹角用 sin⁡\sin 且分子同样取绝对值
  4. 方向余弦不是方向角：题目问夹角要 arccos⁡\arccos 一步到位；cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 常用来反求第三个
  5. x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2 在空间是柱面不是圆：平面曲线与空间曲面靠"是否缺变量"区分
  6. 旋转曲面换元漏负号或换错变量：规则是"绕谁谁不动，另一个换 ±两坐标平方和\pm\sqrt{\text{两坐标平方和}}"，动手前先写规则再代
  7. 直线对称式分母为零：约定分母为零时分子也为零，表示对应坐标恒定的平面；不能直接当分式运算
  8. 投影柱面忘联立 z=0z = 0：消元所得 H(x,y)=0H(x, y) = 0 在空间仍是柱面，投影曲线必须写成与 z=0z = 0 的联立

自测

  1. 设 a⃗=(2,1,−1)\vec{a} = (2, 1, -1)、b⃗=(1,−1,2)\vec{b} = (1, -1, 2)，求 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}、a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}，并判断 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b} 的关系（垂直/斜交）。
  2. 求过点 (1,2,3)(1, 2, 3) 且与两平面 x+y−z=0x + y - z = 0 和 2x−3y+z=12x - 3y + z = 1 都垂直的平面方程。
  3. 求点 (1,0,2)(1, 0, 2) 到平面 2x−y+2z−4=02x - y + 2z - 4 = 0 的距离。
  4. 写出 z=2x2z = 2x^2 绕 zz 轴旋转所成曲面的方程，并说明曲面名称。
  5. 求曲线 {x2+y2+z2=9x+y+z=1\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 9 \\ x + y + z = 1 \end{cases} 在 xOyxOy 面上的投影方程（消去 zz 即可，不必化简到底）。

自测答案与简析

  1. a⃗⋅b⃗=2−1−2=−1≠0\vec{a}\cdot\vec{b} = 2 - 1 - 2 = -1 \ne 0，斜交（夹角为钝角）。a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}：i⃗\vec{i} 分量 =1⋅2−(−1)(−1)=1= 1\cdot2 - (-1)(-1) = 1；j⃗\vec{j} 分量 =−(2⋅2−(−1)⋅1)=−5= -(2\cdot2 - (-1)\cdot1) = -5；k⃗\vec{k} 分量 =2⋅(−1)−1⋅1=−3= 2\cdot(-1) - 1\cdot1 = -3，即 (1,−5,−3)(1, -5, -3)。自查：(1,−5,−3)⋅(2,1,−1)=2−5+3=0(1,-5,-3)\cdot(2,1,-1) = 2 - 5 + 3 = 0，(1,−5,−3)⋅(1,−1,2)=1+5−6=0(1,-5,-3)\cdot(1,-1,2) = 1 + 5 - 6 = 0，正确（考点：三积计算 + 垂直判定 + 叉积自查）。
  2. 所求平面法向量与两已知平面法向量都垂直：n⃗=(1,1,−1)×(2,−3,1)\vec{n} = (1, 1, -1)\times(2, -3, 1)。i⃗\vec{i} 分量 =1⋅1−(−1)(−3)=−2= 1\cdot1 - (-1)(-3) = -2；j⃗\vec{j} 分量 =−(1⋅1−(−1)⋅2)=−3= -(1\cdot1 - (-1)\cdot2) = -3；k⃗\vec{k} 分量 =−3−2=−5= -3 - 2 = -5，取 n⃗=(2,3,5)\vec{n} = (2, 3, 5)。平面：2(x−1)+3(y−2)+5(z−3)=02(x-1) + 3(y-2) + 5(z-3) = 0，即 2x+3y+5z−23=02x + 3y + 5z - 23 = 0（考点：法向量叉乘流水线 + 点法式）。
  3. d=∣2−0+4−4∣4+1+4=23d = \dfrac{|2 - 0 + 4 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{2}{3}（考点：点到平面距离公式，代入即走）。
  4. 绕 zz 轴：zz 保留，xx 换成 ±x2+y2\pm\sqrt{x^2 + y^2}：z=2(x2+y2)z = 2(x^2 + y^2)，是旋转抛物面（椭圆抛物面特例）（考点：母方程规则）。
  5. 由第二式 z=1−x−yz = 1 - x - y 代入球面方程消去 zz：x2+y2+(1−x−y)2=9x^2 + y^2 + (1 - x - y)^2 = 9，即 2x2+2y2+2xy−2x−2y−8=02x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y - 8 = 0。投影曲线：{2x2+2y2+2xy−2x−2y−8=0z=0\begin{cases} 2x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 2y - 8 = 0 \\ z = 0 \end{cases}（考点：代入消元 + 必须联立 z=0z = 0）。

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