#函数、极限与连续

#考点定位

• 大纲位置：高等数学第一章，整个数学卷的地基
• 常见题型：极限计算（选择/填空/解答题第一题）、无穷小阶的比较与求参数、间断点判别与分类、由极限存在性反求常数
• 考查频率：高。几乎每份数学卷都有 2-3 道直接考极限计算或间断点的题，且积分、级数、微分方程全部依赖极限功底
• 定位：对工程师读者，本章是"重新激活 + 方法体系化"——你以前会算，现在要把零散技巧整理成一张可执行的决策表

#核心讲解

#极限的严格定义（地基：概念题与计算题共用同一份协议）

工程视角：极限定义是一份逼近协议——对手任意指定精度 $\varepsilon$，我方给出门槛（$N$ 或 $\delta$ 或 $M$），越过门槛后误差必须达标。计算题考的是执行协议的技巧，概念题直接考协议本身的表述——两种考法都从下面四条定义出发。

数列极限的 $\varepsilon$-$N$ 定义：

$\lim_{n\to\infty}a_n = A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}^+,\ \text{当 } n>N \text{ 时有 } |a_n - A| < \varepsilon$

函数极限的 $\varepsilon$-$\delta$ 定义（$x\to x_0$）：

$\lim_{x\to x_0}f(x) = A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \text{当 } 0<|x-x_0|<\delta \text{ 时有 } |f(x)-A|<\varepsilon$

函数极限的 $\varepsilon$-$M$ 定义（$x\to\infty$）：

$\lim_{x\to\infty}f(x) = A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists M>0,\ \text{当 } |x|>M \text{ 时有 } |f(x)-A|<\varepsilon$

$\varepsilon$-$\delta$ 与 $\varepsilon$-$M$ 的区别：控制的量不同——前者用距离 $\delta$ 控制 $|x-x_0|$（局部逼近），后者用幅度 $M$ 控制 $|x|$（尾部逃逸）。单侧版本（$x\to x_0^{\pm}$、$x\to\pm\infty$）把范围改成半边即可。

左右极限：$f(x_0^-) = \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$（$x$ 从左侧趋近），$f(x_0^+)$ 对称定义。核心充要条件（分段函数、$e^{1/x}$ 类题的全部依据）：

$\lim_{x\to x_0}f(x) = A \iff f(x_0^-) = f(x_0^+) = A$

定义表述判别题的判分要点（"数列/函数极限定义的表述判别"是选择题考点，命题人全在量词与不等式细节上做文章）：

两个重要极限（后文等价替换表与 $1^\infty$ 公式的源头）：

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e \quad\left(\text{等价形式： } \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e\right)$

无穷小与无穷大的定义：

• 同一极限过程中，若 $\lim\alpha(x) = 0$，则 $\alpha$ 是无穷小。注意：无穷小是函数，不是"很小的数"；0 是唯一作为常数的无穷小
• 若 $\forall M>0$，过程进行到一定程度后恒有 $\lvert f(x)\rvert > M$，则 $f$ 是无穷大，记 $\lim f(x)=\infty$。注意 $\lim f=\infty$ 属于极限不存在的情形，只是按惯例用记号表达
• 关系（$f\ne 0$）：同一过程中，$f$ 为无穷大 $\iff \dfrac{1}{f}$ 为无穷小；$f$ 为无穷小且不取零 $\iff \dfrac{1}{f}$ 为无穷大

无穷小阶的比较——完整定义（设 $\alpha,\beta$ 为同一过程中的无穷小，$\beta\ne 0$）：

等价的本质：$\alpha\sim\beta \iff \alpha-\beta = o(\beta)$。这条等价刻画解释了"加减中禁止直接替换"的原因——替换丢掉的 $o(\beta)$ 恰可能与差同阶，工具三的泰勒展开就是为看住这个差而设。

两个存在准则与两条常用性质（本章工具与微分学章反复调用）：

• 夹逼准则：在某过程中 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $\lim g = \lim h = A$，则 $\lim f = A$（数列版同理）。工具二表格中"导后振荡"场景的救场手段
• 单调有界准则：单调增有上界（或单调减有下界）的数列必有极限
• 局部保号性：若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = A>0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域使 $f(x)>0$（微分学章"$f'(x_0)>0$ 只保证局部单调增"正由它而来）
• 极限与无穷小的关系：$\lim f(x) = A \iff f(x) = A+\alpha$，其中 $\alpha$ 为该过程中的无穷小

#极限计算的方法体系总览

工程视角：极限计算就是一套函数式分派系统——拿到题目先识别类型（未定式种类、趋近方式），再查表分派到对应处理器。下面三张表 + 一张流程图就是全部调度逻辑。

#工具一：等价无穷小替换表（$x \to 0$）

替换铁律：

1. 乘除因子可整体替换：$\lim \dfrac{f \cdot g}{h}$ 中 $g$ 若是无穷小因子，可整体换成等价量
2. 加减中严禁直接替换（除非替换后的差精度足够）：$\tan x - \sin x$ 若换成 $x - x = 0$ 就把 $x^3$ 项全丢了——这是第一大坑。加减结构请改用泰勒展开（工具三）
3. 替换是"约分"不是"近似求值"，只对极限为 0 的因子合法

#工具二：洛必达法则

三个使用条件（缺一不可）：

1. 极限过程为 $x \to x_0$ 或 $x \to \infty$，且是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型
2. 分子分母在去心邻域（或 $|x|$ 充分大）内可导，且分母导数不为零
3. 求导后的极限 $\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$）——逆命题不成立：导后极限不存在时原极限仍可能存在

典型失效/不划算场景：

工程口诀：洛必达是最后的手段，不是第一反应。先化简（提非零因子、等价替换、换元），化简不掉再洛，洛之前预估导后形式。

#工具三：泰勒展开法（对付加减结构的终极武器）

常用麦克劳林展开（$x \to 0$，背到带皮亚诺余项形式）：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + o(x^{2n+1})$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + o(x^{2n})$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + o(x^n)$

$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + o(x^n)$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5), \qquad \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^5)$

展到几阶？——"上下同阶"原则：

• 分母是 $x^k$，分子各项就展到 $x^k$ 项为止
• 加减结构（如 $e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}$）必须展到抵消后第一个非零项，否则结果恒为 $o(\cdot)$ 无信息

#七种未定式的处理路线

$1^\infty$ 专用公式是应试核心：当 $u \to 1$、$v \to \infty$ 时，

$\lim u^v = e^{\lim v(u-1)}$

例如 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{bx} = e^{ab}$，一步出答案。

（流程图分步演示与逐题走查：待动画化）

#无穷小阶的比较

设 $x \to 0$，$f(x)$ 为无穷小：

求阶的标准操作：泰勒展开找首个非零项（首选），或连续洛必达直到出现非零有限极限。

易错点："同阶"默认包含"等价"这种特例。选项问"同阶不等价"时必须验证比值 $\ne 1$。

#连续与间断点分类

连续三条件（$x_0$ 处）：$f(x_0)$ 有定义、$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在、二者相等。

连续的严格定义（$\varepsilon$-$\delta$ 语言）：$f$ 在 $x_0$ 连续 $\iff \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$，当 $\lvert x-x_0\rvert<\delta$ 时有 $\lvert f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon$。与函数极限定义的差别只有两处：极限值换成函数值 $f(x_0)$；范围不再挖去 $x_0$（$x=x_0$ 时不等式自动成立）。"三条件"正是这份定义的口语版——判别题问"连续"时，三条件缺一即间断。

左右连续：$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$ 称 $f$ 在 $x_0$ 左连续，右连续对称定义。核心充要条件：$f$ 在 $x_0$ 连续 $\iff$ 既左连续又右连续。分段函数分界点必查左右连续（与下面的间断点分类表衔接）。"$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续"指在内部每点连续、且在 $a$ 右连续、在 $b$ 左连续，记 $f\in C[a,b]$。

闭区间上连续函数的性质（微分学章证明题的公共装备，此处立库）：

命题人怎么考：这四条的性质条件"闭区间 + 连续"缺一不可——开区间或区间端点不连续时全部可能失效（如 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 无界）。选择题常给"开区间连续"伪装条件，先查区间再查连续。

间断点判别流程：

1. 找"可疑点"：无定义点（分母为零、$\ln$、$\arctan$ 定义域端点）与分段点
2. 求左右极限（含 $e^{1/x}$、$\arctan \frac{1}{x}$、$|x|$ 结构必须分侧）
3. 按下表分类：

#例题

#例题 1（模拟题）泰勒展开的"上下同阶"

求 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x - \sin x}$。

解析：分子分母都是加减结构，等价替换失效，展开到 $x^3$ 项：

分子：$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，故 $e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$

分母：$\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$，故 $x - \sin x = \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$

$\text{原式} = \lim_{x\to 0}\frac{x^3/6 + o(x^3)}{x^3/6 + o(x^3)} = 1$

若只展到 $x^2$，分子恒为 $o(x^2)$，得不到任何信息——这就是"展到抵消后第一个非零项"的含义。

#例题 2（模拟题）$1^\infty$ 专用公式

求 $\lim\limits_{x\to 0}(\cos x)^{1/x^2}$。

解析：底 $\cos x \to 1$，指数 $\frac{1}{x^2} \to \infty$，典型 $1^\infty$：

$\text{原式} = e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x^2}} = e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^2/2}{x^2}} = e^{-\frac{1}{2}}$

关键一步是 $u - 1 = \cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$ 的等价替换。若改写成 $e^{\frac{\ln\cos x}{x^2}}$ 再洛必达也可，但慢一倍。

#例题 3（模拟题）$\infty - \infty$ 与倒代换

求 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x - x^2\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)$。

解析：$\infty - \infty$ 型且结构含 $\frac{1}{x}$，倒代换 $t = \frac{1}{x}$（$t \to 0^+$）：

$\text{原式} = \lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - \frac{\ln(1+t)}{t^2}\right) = \lim_{t\to 0^+}\frac{t - \ln(1+t)}{t^2}$

用 $t - \ln(1+t) \sim \dfrac{t^2}{2}$，得原式 $= \dfrac{1}{2}$。

方法论：$x \to \infty$ 时含 $\ln(1+\frac{1}{x})$、$e^{1/x}$ 的题，倒代换几乎总是第一步。

#例题 4（模拟题）$0\cdot\infty$ 型与单侧行为

讨论 $f(x) = x e^{1/x}$ 在 $x=0$ 处的间断点类型。

解析：必须分侧。

• $x \to 0^-$：$e^{1/x} \to 0$，$x \to 0$，故 $f \to 0$
• $x \to 0^+$：$e^{1/x} \to +\infty$ 增长快于 $x \to 0$，故 $f \to +\infty$（换元 $u = 1/x$ 即 $\frac{e^u}{u} \to \infty$）

右极限为 $\infty$，故 $x = 0$ 是第二类间断点（无穷间断点）。含 $e^{1/x}$、$\arctan\frac{1}{x}$ 的题不分侧必错。

#例题 5（模拟题）无穷小比较与高阶展开

当 $x \to 0$ 时，$(1+x)^{1/x} - e$ 与 $x$ 是什么关系？

解析：把"指数部分"展开：

$\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$

$(1+x)^{1/x} = e^{1 - \frac{x}{2} + o(x)} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + o(x)} = e\left(1 - \frac{x}{2} + o(x)\right)$

故 $(1+x)^{1/x} - e = -\dfrac{e}{2}x + o(x)$，即与 $x$ 同阶但不等价。

#例题 6（模拟题）由极限条件反求信息（泰勒逆用）

已知 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 6x + x f(x)}{x^3} = 0$，求 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{6 + f(x)}{x^2}$。

解析：条件即 $\sin 6x + xf(x) = o(x^3)$。展开 $\sin 6x = 6x - \dfrac{(6x)^3}{6} + o(x^4) = 6x - 36x^3 + o(x^4)$，代入：

$6x - 36x^3 + o(x^4) + x f(x) = o(x^3)$

两边除以 $x$：$6 + f(x) = 36x^2 + o(x^2)$，故

$\lim_{x\to 0}\frac{6+f(x)}{x^2} = 36$

方法论：条件给 $o(x^n)$ 精度，就把已知部分展到 $x^n$，反解出 $f$ 的行为——"泰勒逆用"是命题人最爱。

#常见坑

1. 加减结构滥用等价替换：$\tan x - \sin x \ne o(x^3)$ 那类错误，一律改用泰勒
2. 洛必达三条件不全就上：尤其是"导后极限不存在但原极限存在"的反例场景（见工具二表格）
3. $x \to 0$ 与 $x \to 0^\pm$ 不区分：$e^{1/x}$、$\arctan\frac{1}{x}$ 是单侧陷阱高发区
4. $1^\infty$ 忘记化成 $e^{\lim v(u-1)}$，对幂指函数直接套乘法求导
5. 泰勒展开阶数不够：默认展开到分母同阶；加减结构展到抵消后首个非零项
6. "同阶"与"等价"混淆：题目问"同阶不等价"时要验证比值不等于 1
7. 间断点漏找：只查分母为零的点，漏掉 $\ln$、$\arctan$ 定义域端点与分段点
8. 分段函数分界点只用双侧极限：分界点必须左右极限分开算（尤其是含绝对值、$\max/\min$ 的）

#自测

1. 求 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{3x - \sin 3x}{x^3}$
2. 求 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(1-\cos x)(e^{x^2}-1)}{x^4}$
3. 求 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$
4. 求 $\lim\limits_{x\to 0^+}x^{1/\ln x}$，并指出它属于哪种未定式
5. 求 $f(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1}$ 的间断点并分类

#自测答案与简析

1. $\dfrac{9}{2}$。$3x - \sin 3x \sim \dfrac{(3x)^3}{6} = \dfrac{9}{2}x^3$（泰勒或等价表三阶条目）
2. $\dfrac{1}{2}$。$1-\cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$，$e^{x^2}-1 \sim x^2$，均为乘除因子可整体替换
3. $e$。$1^\infty$ 公式：指数部分 $(x+1)\cdot\dfrac{2}{2x+1} \to 1$，故极限为 $e^1$
4. $e$。属 $0^0$ 型，取对数：$\dfrac{\ln x}{\ln x} \to 1$，故为 $e^1$
5. $x = -1$：约分后 $f = \dfrac{1}{x-1}$，左极限为 $-\dfrac{1}{2}$，是可去间断点（第一类）；$x = 1$：极限为 $\infty$，是无穷间断点（第二类）

#本章关联

• 章节测：函数极限与连续 章节测
• 下一章：一元函数微分学（导数定义本质就是本章的差商极限）