考研之路

多维随机变量与数字特征 章节测

  • 范围：03-概率论与数理统计/03-多维随机变量及其分布、03-概率论与数理统计/04-随机变量的数字特征
  • 题量：单选 10 + 填空 8 + 解答 7，共 25 题，建议 100 分钟内完成
  • 要求：全部题目为模拟题（按真题风格命制，非历年真题）。答案与解析在文档末尾，做完再对
  • 考后动作：错题按错因分类（概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失）回写 错题本

一、单选题

1. 二维联合分布函数 F(x,y)F(x, y) 必须满足、而一维分布函数不需要额外检验的性质是（　）

A. 单调不减　　B. 右连续　　C. 对任意 x1<x2x_1 < x_2，y1<y2y_1 < y_2，有 F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) - F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) \ge 0　　D. F(+∞,+∞)=1F(+\infty, +\infty) = 1

2. 设 (X,Y)(X, Y) 的联合分布律为

X\YX \backslash Y0011
000.10.10.30.3
110.30.30.30.3

则 XX 与 YY（　）

A. 相互独立　　B. 不独立　　C. 不相关且独立　　D. 无法判断

3. 设 XX 与 YY 都服从正态分布，且 Cov⁡(X,Y)=0\operatorname{Cov}(X, Y) = 0，则下列结论正确的是（　）

A. XX 与 YY 相互独立　　B. XX 与 YY 一定不独立　　C. (X,Y)(X, Y) 的联合分布未必是二维正态，故独立性无法确定　　D. X+YX + Y 一定服从正态分布

4. 设 (X,Y)(X, Y) 服从区域 D={(x,y)∣0≤x≤1, 0≤y≤2}D = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 2\} 上的二维均匀分布，则 P{Y<X}=P\{Y < X\} = （　）

A. 14\dfrac{1}{4}　　B. 12\dfrac{1}{2}　　C. 18\dfrac{1}{8}　　D. 34\dfrac{3}{4}

5. 设 X,YX, Y 独立同分布，分布函数均为 F(x)F(x)，记 N=min⁡(X,Y)N = \min(X, Y)，则 NN 的分布函数为（　）

A. F2(z)F^2(z)　　B. 1−F2(z)1 - F^2(z)　　C. [1−F(z)]2[1 - F(z)]^2　　D. 1−[1−F(z)]21 - [1 - F(z)]^2

6. 设 X∼E(λ)X \sim E(\lambda) 与 Y∼E(2λ)Y \sim E(2\lambda) 相互独立，则 N=min⁡(X,Y)N = \min(X, Y) 服从（　）

A. E(λ)E(\lambda)　　B. E(2λ)E(2\lambda)　　C. E(3λ)E(3\lambda)　　D. E(23λ)E\left(\tfrac{2}{3}\lambda\right)

7. 已知 E(X)=2E(X) = 2，E(Y)=1E(Y) = 1（其他信息未知）。下列期望中能确定数值的是（　）

（1）E(2X−Y)E(2X - Y)；（2）E(XY)E(XY)；（3）E(X2+Y2)E(X^2 + Y^2)

A. 仅（1）　　B. （1）（2）　　C. （1）（3）　　D. 全部

8. 设 D(X)=1D(X) = 1，D(Y)=4D(Y) = 4，Cov⁡(X,Y)=1\operatorname{Cov}(X, Y) = 1，则 D(X−2Y)=D(X - 2Y) = （　）

A. 1313　　B. 1717　　C. 2121　　D. 55

9. 设 X∼U(−1,1)X \sim U(-1, 1)，Y=X2Y = X^2，则下列说法正确的是（　）

A. XX 与 YY 独立　　B. Cov⁡(X,Y)=0\operatorname{Cov}(X, Y) = 0 且 XX 与 YY 不独立　　C. Cov⁡(X,Y)≠0\operatorname{Cov}(X, Y) \ne 0　　D. D(Y)D(Y) 不存在

10. 设 E(X)=μE(X) = \mu，D(X)=σ2>0D(X) = \sigma^2 > 0，由切比雪夫不等式，P{∣X−μ∣≥3σ}P\{|X - \mu| \ge 3\sigma\} 的上界为（　）

A. 13\dfrac{1}{3}　　B. 16\dfrac{1}{6}　　C. 19\dfrac{1}{9}　　D. 89\dfrac{8}{9}

二、填空题

11. 设 (X,Y)(X, Y) 的联合密度 f(x,y)={kxy,0≤x≤1, 0≤y≤10,其他f(x, y) = \begin{cases} kxy, & 0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}，则 k=k = ＿＿＿，P{X<12, Y>12}=P\{X < \tfrac12,\ Y > \tfrac12\} = ＿＿＿。

12. 设 (X,Y)(X, Y) 在单位圆盘 D={(x,y)∣x2+y2≤1}D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1\} 上服从二维均匀分布，则 XX 的边缘密度 fX(x)=f_X(x) = ＿＿＿（∣x∣<1|x| < 1）。

13. 设 (X,Y)(X, Y) 的联合密度 f(x,y)={2,0≤x≤y≤10,其他f(x, y) = \begin{cases} 2, & 0 \le x \le y \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}，则 P{X≤12∣Y=34}=P\{X \le \tfrac12 \mid Y = \tfrac34\} = ＿＿＿。

14. 设 X∼N(1,2)X \sim N(1, 2)，Y∼N(−1,3)Y \sim N(-1, 3)，XX 与 YY 相互独立，则 X−2Y∼X - 2Y \sim＿＿＿。

15. 设 X,YX, Y 独立且同服从 (0,1)(0, 1) 上的均匀分布，Z=X+YZ = X + Y，则 fZ ⁣(12)=f_Z\!\left(\tfrac12\right) = ＿＿＿，fZ ⁣(32)=f_Z\!\left(\tfrac32\right) = ＿＿＿。

16. 设 XX 的密度 f(x)={x8,0≤x≤40,其他f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{8}, & 0 \le x \le 4 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}，则 E(X)=E(X) = ＿＿＿，D(X)=D(X) = ＿＿＿。

17. 设 E(X)=2E(X) = 2，E(Y)=1E(Y) = 1，E(XY)=4E(XY) = 4，则 Cov⁡(X,Y)=\operatorname{Cov}(X, Y) = ＿＿＿。

18. 某系统由 3 个独立同型号部件构成，每个部件正常工作的概率为 0.90.9。系统只要有至少 1 个部件正常即可运行，则系统正常运行的概率为＿＿＿。

三、解答题

19. 将两封信独立地随机投入 3 个信箱（每封信等可能进入任一信箱）。设 XX、YY 分别为第 1、第 2 个信箱中的信数。（1）求 (X,Y)(X, Y) 的联合分布律；（2）求 XX 的边缘分布律；（3）判断 XX 与 YY 是否相互独立；（4）求 P{X=0∣Y=1}P\{X = 0 \mid Y = 1\}；（5）求 Z=X+YZ = X + Y 的分布律。

20. 设 (X,Y)(X, Y) 的联合密度 f(x,y)={e−y,0<x<y0,其他f(x, y) = \begin{cases} e^{-y}, & 0 < x < y \\ 0, & \text{其他} \end{cases}。（1）验证规范性并求边缘密度 fX(x)f_X(x)、fY(y)f_Y(y)，指出 XX 服从什么分布；（2）判断独立性；（3）求条件密度 fX∣Y(x∣y)f_{X \mid Y}(x \mid y) 并指出其形状；（4）求 P{X+Y≤1}P\{X + Y \le 1\}。

21. 设 X,YX, Y 相互独立且同服从指数分布 E(1)E(1)，用卷积公式求 Z=X+YZ = X + Y 的密度，并验证 ∫−∞+∞fZ(z) dz=1\int_{-\infty}^{+\infty} f_Z(z)\, \mathrm{d}z = 1。

22. 某设备由两个独立部件组成，寿命（小时）X∼E(0.001)X \sim E(0.001)，Y∼E(0.002)Y \sim E(0.002)。（1）并联运行（一个存活即运行），求系统寿命 MM 的分布函数与 P{M>1000}P\{M > 1000\}；（2）串联运行（全部存活才运行），求系统寿命 NN 的分布并计算 P{N>1000}P\{N > 1000\}。

23. 设某服务台一小时内的来电次数 X∼P(3)X \sim P(3)。（1）求 E(X)E(X)、D(X)D(X)、E(X2)E(X^2)；（2）求一小时无来电的概率；（3）再设各小时来电数相互独立，考察 5 个小时，用 YY 表示来电总数，求 E(Y)E(Y)、D(Y)D(Y)。

24. 对某物理量独立重复测量 100 次，每次测量误差的期望为 00、方差为 0.040.04。用 Xˉ=1100∑i=1100Xi\bar{X} = \tfrac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} X_i 表示平均误差，用切比雪夫不等式估计 P{∣Xˉ∣<0.1}P\{|\bar{X}| < 0.1\} 的下界。

25. 设 (X,Y)∼N(1,0; 4,9; 12)(X, Y) \sim N(1, 0;\ 4, 9;\ \tfrac12)。（1）写出 XX、YY 的边缘分布；（2）求 Cov⁡(X,Y)\operatorname{Cov}(X, Y)；（3）求 D(X+Y)D(X + Y) 与 D(X−Y)D(X - Y)；（4）判断 X+YX + Y 与 X−YX - Y 是否相互独立，并说明理由；（5）求 P{X≤2}P\{X \le 2\}（用标准正态分布函数 Φ\Phi 表示）。

答案与解析

单选题解析

1. C。A、B、D 是一维、二维分布函数共有的性质；C（矩形不等式，即相容性）是二维独有的：它保证任一矩形区域上的概率非负。仅满足单调、极限、右连续的二元函数可以构造出"某矩形概率为负"的反例。考点：多维随机变量及其分布·联合分布函数性质｜难度：易｜错因提醒：误以为前三条足够而漏验矩形不等式。

2. B。边缘：P{X=0}=0.4P\{X=0\} = 0.4，P{Y=0}=0.4P\{Y=0\} = 0.4，若独立应有 P{X=0,Y=0}=0.16≠0.1P\{X=0, Y=0\} = 0.16 \ne 0.1，一个格子反例即否决独立性。注意本题"独立与否"与"相关与否"是两件事，表格型题目判独立性只能逐格验 pij=pi⋅p⋅jp_{ij} = p_{i\cdot} p_{\cdot j}。考点：同上·独立性判定｜难度：易｜错因提醒：选 D"无法判断"——独立性是可判定的（逐格验证），不存在"无法判断"。

3. C。两个边缘都是正态，联合分布未必是二维正态；不相关（Cov⁡=0\operatorname{Cov}=0）在非联合正态场合推不出独立，也推不出"X+YX+Y 正态"。只有附加"(X,Y)(X,Y) 服从二维正态"才能升级为独立。考点：多维随机变量及其分布·二维正态性质｜难度：中｜错因提醒：A 是最高频错误——"边缘正态 + 不相关 ⇒ 独立"仅在联合二维正态时成立。

4. A。{Y<X}\{Y < X\} 与矩形 DD 的交集是 {(x,y):0≤x≤1, 0≤y<x}\{(x,y): 0 \le x \le 1,\ 0 \le y < x\}（三角形，面积 12\tfrac12），DD 面积为 2，均匀分布下概率 = 面积比 = 1/22=14\tfrac{1/2}{2} = \tfrac14。考点：同上·二维均匀分布｜难度：易｜错因提醒：忘记除以整个区域的面积，误算 12\tfrac12。

5. D。FN(z)=P{min⁡>z}F_N(z) = P\{\min > z\} 走对立：P{N≤z}=1−P{X>z}P{Y>z}=1−[1−F(z)]2P\{N \le z\} = 1 - P\{X > z\}P\{Y > z\} = 1 - [1 - F(z)]^2。A 是 max⁡\max 的分布；B、C 是常见拼凑项。考点：同上·最大最小分布｜难度：易｜错因提醒：min 必须"从 > 入手走对立事件"，直接写 P{N≤z}=P{X≤z 或 Y≤z}P\{N \le z\} = P\{X \le z \text{ 或 } Y \le z\} 展开易错。

6. C。独立指数的最小值仍是指数、参数相加：P{N>t}=e−λt⋅e−2λt=e−3λtP\{N > t\} = e^{-\lambda t} \cdot e^{-2\lambda t} = e^{-3\lambda t}，故 N∼E(3λ)N \sim E(3\lambda)。考点：同上·max/min 的指数特例｜难度：中｜错因提醒：选 D 是误以为参数"取平均"或"调和"——正确直觉是失效率（风险）叠加。

7. A。期望的线性性无条件成立，E(2X−Y)=3E(2X - Y) = 3 可求；E(XY)E(XY) 需要独立性或联合分布信息；E(X2+Y2)E(X^2 + Y^2) 需要各自的二阶矩。考点：随机变量的数字特征·期望性质｜难度：易｜错因提醒：把"E(aX+bY)E(aX+bY) 无条件"扩大到"E(XY)E(XY) 无条件"是典型概念错位。

8. A。D(X−2Y)=D(X)+4D(Y)−2⋅1⋅2Cov⁡(X,Y)=1+16−4=13D(X - 2Y) = D(X) + 4D(Y) - 2 \cdot 1 \cdot 2 \operatorname{Cov}(X, Y) = 1 + 16 - 4 = 13。考点：同上·方差与协方差｜难度：中｜错因提醒：两个坑——系数要平方（4D(Y)4D(Y)）、减号时交叉项为减 2abCov⁡2ab\operatorname{Cov}；选 B（1+161+16）是漏交叉项，选 C（1+16+41+16+4）是符号错。

9. B。Cov⁡(X,X2)=E(X3)−E(X)E(X2)=0−0=0\operatorname{Cov}(X, X^2) = E(X^3) - E(X)E(X^2) = 0 - 0 = 0（X3X^3、XX 均为奇函数，对称区间积分为 0），但 YY 完全由 XX 决定，绝不独立。这是"不相关 ⇏ 独立"的经典反例。D(Y)=E(X4)−0<∞D(Y) = E(X^4) - 0 < \infty 存在，D 错。考点：同上·不相关与独立｜难度：中｜错因提醒：选 A/C 都源于把"函数依赖"与"线性相关"混为一谈。

10. C。代入 ε=3σ\varepsilon = 3\sigma：P{∣X−μ∣≥3σ}≤σ29σ2=19P\{|X - \mu| \ge 3\sigma\} \le \dfrac{\sigma^2}{9\sigma^2} = \dfrac19。D（89\tfrac89）是 P{∣X−μ∣<3σ}P\{|X-\mu| < 3\sigma\} 的下界，方向相反。考点：同上·切比雪夫不等式｜难度：易｜错因提醒：审题区分"≥ 的上界"与"< 的下界"。

填空题解析

11. k=4k = 4；316\dfrac{3}{16}。规范性：k∫01x dx∫01y dy=k4=1⇒k=4k \int_0^1 x\, \mathrm{d}x \int_0^1 y\, \mathrm{d}y = \dfrac{k}{4} = 1 \Rightarrow k = 4。P{X<12,Y>12}=∫01/2 ⁣ ⁣∫1/214xy dy dx=4⋅18⋅38=316P\{X < \tfrac12, Y > \tfrac12\} = \int_0^{1/2}\!\!\int_{1/2}^1 4xy\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x = 4 \cdot \dfrac18 \cdot \dfrac38 = \dfrac{3}{16}。考点：多维随机变量及其分布·联合密度｜难度：易｜错因提醒：ff 可分解且区域为矩形 ⇒ 独立，此题也可用独立乘积 P{X<12}P{Y>12}=14⋅34P\{X<\tfrac12\}P\{Y>\tfrac12\} = \tfrac14 \cdot \tfrac34 验算。

12. fX(x)=2π1−x2f_X(x) = \dfrac{2}{\pi}\sqrt{1 - x^2}，∣x∣<1|x| < 1（其他为 0）。竖直线截圆盘的长度为 21−x22\sqrt{1-x^2}，除以圆盘面积 π\pi。考点：同上·边缘密度｜难度：中｜错因提醒：积分限是内层变量（这里是 yy，范围 ±1−x2\pm\sqrt{1-x^2}）由区域决定，且必须分段标注 ∣x∣<1|x|<1。

13. 23\dfrac{2}{3}。fY(y)=∫0y2 dx=2yf_Y(y) = \int_0^y 2\, \mathrm{d}x = 2y（0<y<10<y<1），fX∣Y(x∣y)=22y=1yf_{X \mid Y}(x \mid y) = \dfrac{2}{2y} = \dfrac{1}{y}（0<x<y0 < x < y），即 X∣Y=y∼U(0,y)X \mid Y = y \sim U(0, y)；P{X≤12∣Y=34}=1/23/4=23P\{X \le \tfrac12 \mid Y = \tfrac34\} = \tfrac{1/2}{3/4} = \tfrac23。考点：同上·条件分布｜难度：中｜错因提醒：条件事件概率为 0 不是障碍，直接套条件密度公式。

14. N(3,14)N(3, 14)。独立正态线性组合：E(X−2Y)=1−2×(−1)=3E(X - 2Y) = 1 - 2 \times (-1) = 3；D(X−2Y)=2+4×3=14D(X - 2Y) = 2 + 4 \times 3 = 14。考点：同上·正态可加性｜难度：易｜错因提醒：D(−2Y)=4D(Y)D(-2Y) = 4D(Y)，系数平方。

15. 12\dfrac12；12\dfrac12。三角分布：fZ(z)=zf_Z(z) = z（0≤z≤10 \le z \le 1），fZ(z)=2−zf_Z(z) = 2 - z（1<z≤21 < z \le 2），故 fZ(12)=12f_Z(\tfrac12) = \tfrac12，fZ(32)=12f_Z(\tfrac32) = \tfrac12（对称轴 z=1z=1，两侧对称）。考点：同上·卷积｜难度：中｜错因提醒：两个积分限都由 0≤x≤10 \le x \le 1 与 0≤z−x≤10 \le z - x \le 1 的交集决定。

16. E(X)=83E(X) = \dfrac{8}{3}；D(X)=89D(X) = \dfrac{8}{9}。E(X)=∫04x28 dx=6424=83E(X) = \int_0^4 \dfrac{x^2}{8}\, \mathrm{d}x = \dfrac{64}{24} = \dfrac83；E(X2)=∫04x38 dx=8E(X^2) = \int_0^4 \dfrac{x^3}{8}\, \mathrm{d}x = 8；D(X)=8−649=89D(X) = 8 - \dfrac{64}{9} = \dfrac{8}{9}。考点：随机变量的数字特征·期望方差｜难度：易｜错因提醒：E(X2)E(X^2) 用函数期望定理直接积分，不要先求 X2X^2 的分布。

17. 22。Cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=4−2×1=2\operatorname{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 4 - 2 \times 1 = 2。考点：同上·协方差｜难度：易｜错因提醒：公式是"减积"，不是"减和"。

18. 0.9990.999。至少一个正常 = 1 - 全部失效 = 1−0.13=1−0.001=0.9991 - 0.1^3 = 1 - 0.001 = 0.999。等价于 N=min⁡N = \min 存活的补事件视角。考点：多维随机变量及其分布·min 分布应用｜难度：易｜错因提醒：并联系统走"全部失效"的对立事件，直接枚举至少一个正常的情形会重复计数。

解答题解析

19.（考点：多维随机变量及其分布·离散全流程｜难度：中｜错因提醒：联合表格必须包含概率为 0 的格子）

（1）每封信独立等可能进 3 个信箱，单封信落入指定信箱概率 13\tfrac13。逐对计算（X+Y≤2X+Y \le 2）：

X\YX \backslash Y001122
0019\dfrac1929\dfrac2919\dfrac19
1129\dfrac2929\dfrac2900
2219\dfrac190000

说明：(X,Y)=(1,1)(X,Y)=(1,1) 表示两信分入第 1、2 信箱，有 22 种分配方式，各 19\tfrac19，合计 29\tfrac29；(2,2)(2,2)、(2,1)(2,1)、(1,2)(1,2) 需两封信同入且超过两封，不可能，概率 0。

（2）按行求和：P{X=0}=49P\{X=0\} = \tfrac49，P{X=1}=49P\{X=1\} = \tfrac49，P{X=2}=19P\{X=2\} = \tfrac19（由对称性 YY 的边缘相同）。

（3）检验 P{X=1,Y=1}=29=1881P\{X=1, Y=1\} = \tfrac29 = \tfrac{18}{81}，而 P{X=1}P{Y=1}=1681≠1881P\{X=1\}P\{Y=1\} = \tfrac{16}{81} \ne \tfrac{18}{81}，不独立（直观：两封信总数固定为 2，一个信箱多另一个往往少，存在负关联）。

（4）P{X=0∣Y=1}=P{X=0,Y=1}P{Y=1}=2/94/9=12P\{X=0 \mid Y=1\} = \dfrac{P\{X=0, Y=1\}}{P\{Y=1\}} = \dfrac{2/9}{4/9} = \dfrac12。

（5）归并函数值：Z=0Z=0: (0,0)(0,0)，19\tfrac19；Z=1Z=1: (1,0)+(0,1)(1,0)+(0,1)，49\tfrac49；Z=2Z=2: (2,0)+(0,2)+(1,1)(2,0)+(0,2)+(1,1)，49\tfrac49。总和为 1，规范。

20.（考点：同上·连续全流程｜难度：难｜错因提醒：边缘密度积分限由区域边界决定，必须分段）

（1）规范性：∫0+∞ ⁣ ⁣∫0ye−y dx dy=∫0+∞ye−y dy=1\int_0^{+\infty}\!\!\int_0^y e^{-y}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int_0^{+\infty} y e^{-y}\, \mathrm{d}y = 1（Γ(2)\Gamma(2) 积分）。边缘：fX(x)=∫x+∞e−y dy=e−xf_X(x) = \int_x^{+\infty} e^{-y}\, \mathrm{d}y = e^{-x}（x>0x > 0），即 X∼E(1)X \sim E(1)；fY(y)=∫0ye−y dx=ye−yf_Y(y) = \int_0^y e^{-y}\, \mathrm{d}x = y e^{-y}（y>0y > 0）。

（2）非零区域 0<x<y0 < x < y 边界互相牵制（三角形），必不独立。

（3）fX∣Y(x∣y)=e−yye−y=1yf_{X \mid Y}(x \mid y) = \dfrac{e^{-y}}{y e^{-y}} = \dfrac{1}{y}（0<x<y0 < x < y），即在 Y=yY = y 条件下 X∼U(0,y)X \sim U(0, y)，条件分布是均匀分布。

（4）P{X+Y≤1}=∫01/2 ⁣ ⁣∫x1−xe−y dy dx=∫01/2(e−x−e−(1−x))dx=(1−e−1/2)−(e−1/2−e−1)=1−2e−1/2+e−1=(1−e−1/2)2P\{X + Y \le 1\} = \int_0^{1/2}\!\!\int_x^{1-x} e^{-y}\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}x = \int_0^{1/2}\left( e^{-x} - e^{-(1-x)} \right) \mathrm{d}x = \left(1 - e^{-1/2}\right) - \left(e^{-1/2} - e^{-1}\right) = 1 - 2e^{-1/2} + e^{-1} = \left(1 - e^{-1/2}\right)^2

积分区域：0<x<y0 < x < y 且 x+y≤1x + y \le 1，投影到 xx 轴得 0≤x≤120 \le x \le \tfrac12，yy 从 xx 到 1−x1 - x。

21.（考点：同上·卷积公式｜难度：中｜错因提醒：积分限 0<x<z0 < x < z 由两个密度的非零范围求交）

fX(x)=fY(y)=e−1f_X(x) = f_Y(y) = e^{-1}（参数 λ=1\lambda = 1 的指数密度，x,y>0x, y > 0）。由卷积公式：

fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x) dxf_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z - x)\, \mathrm{d}x

被积函数非零要求 x>0x > 0 且 z−x>0z - x > 0，交集为 0<x<z0 < x < z（仅当 z>0z > 0），故

fZ(z)=∫0ze−x e−(z−x) dx=∫0ze−z dx=ze−z,z>0f_Z(z) = \int_0^z e^{-x}\, e^{-(z - x)}\, \mathrm{d}x = \int_0^z e^{-z}\, \mathrm{d}x = z e^{-z}, \quad z > 0

z≤0z \le 0 时 fZ(z)=0f_Z(z) = 0。验证：∫0+∞ze−z dz=1\int_0^{+\infty} z e^{-z}\, \mathrm{d}z = 1（即 Γ(2,1)\Gamma(2,1) 分布，两个独立指数相加是二阶伽马——"第 2 次事件到达的等待时间"）。

22.（考点：同上·max/min 应用｜难度：中｜错因提醒：MM 与 NN 一个走"全好"一个走"全坏"，方向不能混）

FX(t)=1−e−0.001tF_X(t) = 1 - e^{-0.001t}，FY(t)=1−e−0.002tF_Y(t) = 1 - e^{-0.002t}（t>0t > 0）。

（1）并联 M=max⁡(X,Y)M = \max(X, Y)：FM(t)=FX(t)FY(t)=(1−e−0.001t)(1−e−0.002t)F_M(t) = F_X(t)F_Y(t) = (1 - e^{-0.001t})(1 - e^{-0.002t})。P{M>1000}=1−FM(1000)=1−(1−e−1)(1−e−2)=e−1+e−2−e−3≈0.600P\{M > 1000\} = 1 - F_M(1000) = 1 - (1 - e^{-1})(1 - e^{-2}) = e^{-1} + e^{-2} - e^{-3} \approx 0.600。

（2）串联 N=min⁡(X,Y)N = \min(X, Y)：FN(t)=1−[1−FX(t)][1−FY(t)]=1−e−0.003tF_N(t) = 1 - [1 - F_X(t)][1 - F_Y(t)] = 1 - e^{-0.003t}，即 N∼E(0.003)N \sim E(0.003)（参数相加）。P{N>1000}=e−3≈0.050P\{N > 1000\} = e^{-3} \approx 0.050。

23.（考点：随机变量的数字特征·泊松分布数字特征｜难度：易｜错因提醒：E(X2)=D(X)+[E(X)]2E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2，不要把 E(X2)E(X^2) 与 D(X)D(X) 混同）

（1）X∼P(3)X \sim P(3)：E(X)=3E(X) = 3，D(X)=3D(X) = 3（泊松期望=方差），E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+9=12E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 3 + 9 = 12。

（2）P{X=0}=30e−30!=e−3P\{X = 0\} = \dfrac{3^0 e^{-3}}{0!} = e^{-3}。

（3）独立泊松相加仍是泊松、参数相加：Y∼P(15)Y \sim P(15)，故 E(Y)=D(Y)=15E(Y) = D(Y) = 15。

24.（考点：同上·切比雪夫不等式｜难度：中｜错因提醒：先算 D(Xˉ)=D/100D(\bar X) = D/100，别直接代单次方差）

Xˉ\bar X 是 100 个独立同分布变量的均值：E(Xˉ)=0E(\bar X) = 0，D(Xˉ)=0.04100=0.0004D(\bar X) = \dfrac{0.04}{100} = 0.0004。取 ε=0.1\varepsilon = 0.1：

P{∣Xˉ∣<0.1}≥1−0.00040.12=1−0.04=0.96P\{|\bar X| < 0.1\} \ge 1 - \frac{0.0004}{0.1^2} = 1 - 0.04 = 0.96

本题即切比雪夫大数定律的数值化身（见大数定律与中心极限定理）：nn 越大，D(Xˉ)D(\bar X) 越小，下界趋于 1。

25.（考点：多维随机变量及其分布二维正态 + 随机变量的数字特征协方差｜难度：难｜错因提醒：第（4）问必须计算协方差再下结论，σ12≠σ22\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2 时结论为不独立）

（1）二维正态的边缘与 ρ\rho 无关：X∼N(1,4)X \sim N(1, 4)，Y∼N(0,9)Y \sim N(0, 9)。

（2）Cov⁡(X,Y)=ρ σ1σ2=12×2×3=3\operatorname{Cov}(X, Y) = \rho\, \sigma_1 \sigma_2 = \tfrac12 \times 2 \times 3 = 3。

（3）D(X+Y)=4+9+2×3=19D(X + Y) = 4 + 9 + 2 \times 3 = 19；D(X−Y)=4+9−2×3=7D(X - Y) = 4 + 9 - 2 \times 3 = 7。

（4）Cov⁡(X+Y, X−Y)=D(X)−D(Y)+Cov⁡(Y,X)−Cov⁡(X,Y)=4−9+0=−5≠0\operatorname{Cov}(X + Y,\ X - Y) = D(X) - D(Y) + \operatorname{Cov}(Y, X) - \operatorname{Cov}(X, Y) = 4 - 9 + 0 = -5 \ne 0。若两变量独立则协方差必为 0，故 X+YX + Y 与 X−YX - Y 不独立（实为负相关）。注：若参数改为 σ12=σ22\sigma_1^2 = \sigma_2^2，协方差为 0，且 (X+Y,X−Y)(X+Y, X-Y) 作为二维正态的线性变换仍服从二维正态，此时可升级为相互独立。

（5）P{X≤2}=Φ ⁣(2−12)=Φ(0.5)P\{X \le 2\} = \Phi\!\left(\dfrac{2 - 1}{2}\right) = \Phi(0.5)（标准化：减期望、除标准差）。