#特征值与二次型 章节测

覆盖 特征值与特征向量 与 二次型 两章。共 25 题：选择题 10、填空题 7、解答题 8。建议用时 100 分钟（解答题按考试标准写完整过程）。答案与解析统一在文末，先做后看。本卷全部为模拟题。

#一、选择题

1. 设 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值，$\xi$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量，则下列结论错误的是（　）

A. 对任意 $k \neq 0$，$k\xi$ 也是 $A$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量

B. 对任意多项式 $f$，$\xi$ 是 $f(A)$ 的属于 $f(\lambda)$ 的特征向量

C. $\xi$ 一定是 $A^T$ 的属于 $\lambda$ 的特征向量

D. 若 $\lambda \neq 0$，则 $\xi$ 是 $A^{-1}$ 的属于 $\dfrac{1}{\lambda}$ 的特征向量

2. 设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 2, 3$，则 $A^*$ 的特征值为（　）

A. $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}$　　B. $6, 3, 2$　　C. $1, 2, 3$　　D. $2, 3, 6$

3. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵且满足 $A^2 = A$，则 $A$ 的特征值（　）

A. 全为 $0$　　B. 全为 $1$　　C. 只能取 $0$ 或 $1$　　D. 可取任意值

4. 设 $A \sim B$（$A$ 与 $B$ 相似），则下列结论错误的是（　）

A. $|A| = |B|$　　B. $\mathrm{tr}\,A = \mathrm{tr}\,B$　　C. $A$ 与 $B$ 有相同的特征向量　　D. $r(A) = r(B)$

5. 设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 1, 2$，则 $A$ 可对角化的充要条件是（　）

A. $r(E - A) = 1$　　B. $r(E - A) = 2$　　C. $r(2E - A) = 1$　　D. $r(A) = 2$

6. 下列关于实对称矩阵的命题错误的是（　）

A. 特征值全为实数

B. 属于不同特征值的特征向量正交

C. 必可正交对角化

D. 任意两个特征向量都正交

7. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A$ 与 $B$ 合同的充要条件是（　）

A. $A$ 与 $B$ 的特征值相同　　B. $A$ 与 $B$ 的正、负惯性指数分别相同　　C. $A, B$ 都可对角化　　D. $|A| = |B|$

8. 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则"$a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ 全大于零"是 $A$ 正定的（　）

A. 充分必要条件　　B. 充分不必要条件　　C. 必要不充分条件　　D. 既不充分也不必要条件

9. 二次型 $f(x_1, \dots, x_n)$ 经不同的可逆线性变换可化为不同的标准形，但下列各项中唯一确定的是（　）

A. 标准形的系数　　B. 规范形　　C. 所用变换矩阵　　D. 标准形中系数的绝对值

10. 设三阶矩阵 $A$ 与 $\Lambda = \mathrm{diag}(0, 1, 2)$ 相似，则下列结论错误的是（　）

A. $|A| = 0$　　B. $r(A) = 2$　　C. $\mathrm{tr}\,A = 3$　　D. $A$ 可逆

#二、填空题

11. 设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$，则 $A$ 的全部特征值为____，属于特征值 $2$ 的线性无关特征向量共有____个。

12. 设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1, 2, -2$，则 $|A^2 + E| =$ ____。

13. 设三阶矩阵 $A$ 的行列式 $|A| = -2$，且两个特征值为 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2$，则第三个特征值 $\lambda_3 =$ ____。

14. 二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 + x_3)^2 + (x_1 + x_3)^2$ 的矩阵为____，正惯性指数为____。

15. 二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 - 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_3$ 的正惯性指数为____，负惯性指数为____。

16. 当 $t$ 满足____时，二次型 $f(x_1, x_2) = x_1^2 + 2tx_1x_2 + x_2^2$ 正定。

17. 设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则 $A^n =$ ____。

#三、解答题

18. 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值与全部特征向量，并判断 $A$ 能否相似对角化；若能，写出一个相似变换矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 为对角阵（不必计算 $P^{-1}$）。

19. 用正交变换将二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_2x_3$ 化为标准形，并写出所用的正交变换。

20. 用配方法将二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$ 化为标准形与规范形，并求正、负惯性指数（注意本题无平方项）。

21. 设三阶矩阵 $A$ 的特征值 $1, 2, 3$ 对应的特征向量分别为 $\xi_1 = (1, 0, 1)^T$，$\xi_2 = (1, 1, 0)^T$，$\xi_3 = (0, 1, 1)^T$，求 $A$。

22. 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，求 $A^n$（$n$ 为正整数）。

23. 设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，证明：$A^{-1}$ 与 $A + E$ 都是正定矩阵。

24. 已知二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2bx_1x_3 + 2bx_2x_3$ 在正交变换下的标准形为 $4y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$。求 $b$，并判断该二次型是否正定。

25. 设三阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2$，$\alpha_1 = (1, 1, 0)^T$ 是 $A$ 的属于特征值 $1$ 的特征向量，$\alpha_2 = (1, -1, 2)^T$ 是 $A$ 的属于特征值 $2$ 的特征向量。求 $A$ 的第三个特征值与对应的一个特征向量，并求矩阵 $A$。

#答案与解析

#选择题答案速查

填空题答案速查：11. $\lambda = 2$（三重）；1 个。12. $50$。13. $-1$。14. $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$；$3$。15. $2$；$1$。16. $-1 < t < 1$。17. $\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3^n + 1 & 3^n - 1 \\ 3^n - 1 & 3^n + 1 \end{pmatrix}$。

#选择题解析

1. 答案 C。 考点：特征值性质总表｜难度：易｜错因提醒：$A^T$ 与 $A$ 特征值相同（特征多项式相同），但特征向量一般不同——值与向量两个层面必须分开记。A、B、D 都是结论表中的标准条目（$A^{-1}$ 一条由 $A\xi = \lambda\xi$ 左乘 $A^{-1}$ 即得）。

2. 答案 B。 考点：特征值性质总表｜难度：易｜错因提醒：$A^*$ 的特征值是 $\dfrac{|A|}{\lambda}$ 不是 $\dfrac{1}{\lambda}$。本题 $|A| = 6$，故为 $6, 3, 2$；选 A 的考生忘了乘 $|A|$。记忆锚点：$A^* = |A|A^{-1}$。

3. 答案 C。 考点：矩阵方程约束特征值｜难度：易｜错因提醒：由 $A\xi = \lambda\xi$ 推 $A^2\xi = \lambda^2\xi = A\xi = \lambda\xi$，得 $\lambda^2 = \lambda$，故 $\lambda \in \{0, 1\}$。注意结论是"只能取 0 或 1"（不同特征值可以不同），不是"全为 0"或"全为 1"。

4. 答案 C。 考点：相似必要条件组｜难度：易｜错因提醒：相似保持特征多项式（从而 $|A|$、$\mathrm{tr}$、特征值、秩都相同），但特征向量被 $P^{-1}$ 搬动：$B(P^{-1}\xi) = \lambda(P^{-1}\xi)$，一般不是原来的 $\xi$。

5. 答案 A。 考点：k 重特征值判据｜难度：中｜错因提醒：只重根需要检验。$\lambda = 1$ 是二重根，可对角化 $\iff$ 几何重数 $= 2 \iff n - r(E - A) = 2 \iff r(E - A) = 1$。$\lambda = 2$ 是单根永远自动满足；$r(A)$ 与对角化无直接关系。

6. 答案 D。 考点：实对称矩阵三大性质｜难度：中｜错因提醒：不同特征值之间的特征向量正交（命题 B 正确），但同一特征子空间内部的特征向量不一定正交（需要施密特正交化才正交）。"必可正交对角化"的正交矩阵是"各子空间内正交化 + 全体单位化"之后的产物。

7. 答案 B。 考点：合同判据｜难度：中｜错因提醒：实对称矩阵合同的完全判据是正、负惯性指数分别相同。特征值相同是充分不必要条件（$\mathrm{diag}(1, 1)$ 与 $\mathrm{diag}(1, 4)$ 合同但特征值不同）；都可对角化、$|A| = |B|$ 都不足以保证惯性指数相同。

8. 答案 C。 考点：正定的必要条件｜难度：中｜错因提醒：对角元全正是正定的必要条件（取 $x = e_i$ 得 $a_{ii} > 0$），但不充分——反例 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ 对角全正而 $|A| = -3 < 0$。充要条件是顺序主子式全大于零。

9. 答案 B。 考点：惯性定理｜难度：易｜错因提醒：标准形不唯一（系数、变换矩阵都随方法变），但规范形（系数 $\pm 1, 0$）由惯性定理保证唯一。

10. 答案 D。 考点：相似传递结论｜难度：中｜错因提醒：$A \sim \mathrm{diag}(0, 1, 2)$ 意味着 $A$ 的特征值为 $0, 1, 2$：特征值含 $0 \Rightarrow |A| = 0 \Rightarrow A$ 不可逆（D 错）；$|A| = 0$、$\mathrm{tr} = 3$、$r(A) = 3 - \text{零特征值重数} = 2$ 均由特征值直接读出。

#填空题解析

11. 考点：特征值求法｜难度：易｜答案：$\lambda = 2$（三重）；$1$ 个。上（下）三角矩阵特征值就是对角元，得 $\lambda = 2$ 三重。$2E - A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为 $2$，线性无关特征向量个数 $= 3 - 2 = 1 <$ 代数重数 $3$，故 $A$ 不可对角化。错因提醒：不要以为"三重根就有三个无关特征向量"——代数重数是上界，几何重数要看秩。

12. 考点：矩阵多项式的特征值｜难度：易｜答案：$50$。$A^2 + E$ 的特征值为 $\lambda^2 + 1$，即 $2, 5, 5$，行列式 $= 2 \times 5 \times 5 = 50$。错因提醒：先算出 $A^2 + E$ 的矩阵再硬算三阶行列式是下策；"特征值逐个作用再连乘"是标准快解。

13. 考点：$\prod\lambda_i = |A|$ 恒等式｜难度：易｜答案：$-1$。$\lambda_3 = \dfrac{|A|}{\lambda_1\lambda_2} = \dfrac{-2}{2} = -1$。错因提醒：$\sum\lambda_i = \mathrm{tr}\,A$ 与 $\prod\lambda_i = |A|$ 是"由部分特征值配平剩余"的两把钥匙，本题用积。

14. 考点：二次型矩阵｜难度：中｜答案：$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$；正惯性指数 $3$。展开整理：$f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3$，交叉项系数 $2$ 对半拆成 $1 + 1$。各行和为 $4$，特征值为 $4, 1, 1$（核验 $4 + 1 + 1 = \mathrm{tr}\,A = 6$ ✓），全正故正惯性指数 $3$。错因提醒：本题为"由展开式写矩阵"与"凑行和求特征值"的组合考点；展开时三个平方项各出现两次是易漏点。

15. 考点：正负惯性指数｜难度：中｜答案：正惯性指数 $2$；负惯性指数 $1$。$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，按第二行展开 $|\lambda E - A| = (\lambda + 2)\left[(\lambda - 1)(\lambda - 3) - 1\right] = (\lambda + 2)\left[(\lambda - 2)^2 - 2\right]$，特征值 $-2, 2 \pm \sqrt{2}$（后两个均正），故 $p = 2, q = 1$。错因提醒：$2 - \sqrt{2} > 0$，别把"带根号的减法"想成负数；配方法做交叉验证更快。

16. 考点：正定求参数｜难度：易｜答案：$-1 < t < 1$。顺序主子式：$\Delta_1 = 1 > 0$ 恒成立；$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & t \\ t & 1 \end{vmatrix} = 1 - t^2 > 0 \iff |t| < 1$。错因提醒：二阶正定只需两个条件同时成立，别漏 $\Delta_1 > 0$ 的检验（本题自动满足，但流程不能省）。

17. 考点：相似对角化求 $A^n$｜难度：中｜答案：$A^n = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3^n + 1 & 3^n - 1 \\ 3^n - 1 & 3^n + 1 \end{pmatrix}$。特征值 $3, 1$，对应特征向量 $(1,1)^T$、$(1,-1)^T$。$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，$P^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$，$A^n = P\,\mathrm{diag}(3^n, 1)\,P^{-1}$。锚点校验 $n = 1$：$\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = A$ ✓。错因提醒：对称二阶矩阵走"和差换元"视角可心算（$A = E + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，后者幂为 $2^{n-1}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，两条路结果应一致）。

#解答题解析

18. 考点：特征值与特征向量四步流程 + 可对角化判定｜难度：中

特征多项式（按第三列展开）：$|\lambda E - A| = (\lambda - 1)\begin{vmatrix} \lambda - 4 & -6 \\ 3 & \lambda + 5 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)\left[(\lambda - 4)(\lambda + 5) + 18\right] = (\lambda - 1)\left(\lambda^2 + \lambda - 2\right) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$。特征值：$\lambda_1 = 1$（二重），$\lambda_2 = -2$。核验：$\mathrm{tr}\,A = 4 - 5 + 1 = 0 = 1 + 1 - 2$ ✓；$|A| = 1 \cdot (-2) \cdot 1 = -2$（按第三列展开原矩阵）✓。

对 $\lambda_1 = 1$：$E - A = \begin{pmatrix} -3 & -6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩 $1$，几何重数 $2 =$ 代数重数 ✓，基础解系 $\xi_{11} = (-2, 1, 0)^T$，$\xi_{12} = (0, 0, 1)^T$，属于 $1$ 的全部特征向量为 $c_1\xi_{11} + c_2\xi_{12} \neq 0$。对 $\lambda_2 = -2$：$-2E - A = \begin{pmatrix} -6 & -6 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，解得 $x_1 = -x_2$、$x_2 = x_3$，$\xi_{21} = (-1, 1, 1)^T$，属于 $-2$ 的全部特征向量为 $c\xi_{21}\ (c \neq 0)$。

可对角化（重根 $\lambda = 1$ 足额供应 $2$ 个无关向量），取

$P = (\xi_{11}, \xi_{12}, \xi_{21}) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad P^{-1}AP = \mathrm{diag}(1, 1, -2)$

错因提醒：三阶含零块矩阵按行/列展开降阶最省力；写 $P$ 时第三列必须对应 $-2$。

19. 考点：正交变换化标准形｜难度：中

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$。$|\lambda E - A|$ 按第一行展开 $= (\lambda - 2)\left[(\lambda - 3)^2 - 4\right] = (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda - 5)$。特征值 $2, 1, 5$ 互异，特征向量天然正交，无需施密特：$\lambda = 2$：$\xi_1 = (1, 0, 0)^T$；$\lambda = 1$：$x_2 = -x_3$，$\xi_2 = (0, 1, -1)^T$；$\lambda = 5$：$x_2 = x_3$，$\xi_3 = (0, 1, 1)^T$。单位化后拼

$Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix},\qquad x = Qy:\quad f = 2y_1^2 + y_2^2 + 5y_3^2$

错因提醒：特征值互异时对全部向量做施密特是浪费且易错动作，单位化即可；对角元顺序与 $Q$ 列顺序必须同步。

20. 考点：配方法（无平方项情形）｜难度：中

无平方项，先做过渡变换 $x_1 = y_1 + y_2$，$x_2 = y_1 - y_2$，$x_3 = y_3$（可逆）。代入：$x_1x_2 = y_1^2 - y_2^2$；$x_1x_3 + x_2x_3 = (x_1 + x_2)x_3 = 2y_1y_3$。故 $f = y_1^2 - y_2^2 + 2y_1y_3$。出现平方项，集中含 $y_1$ 的项配方：$f = (y_1 + y_3)^2 - y_2^2 - y_3^2$。令 $z_1 = y_1 + y_3$，$z_2 = y_2$，$z_3 = y_3$（可逆），标准形为 $f = z_1^2 - z_2^2 - z_3^2$，系数已为 $\pm 1$，即规范形。正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 2$，秩 $3$。

错因提醒：无平方项时的过渡变换 $x_1 = y_1 + y_2$、$x_2 = y_1 - y_2$ 是唯一入口，硬配方无从下手；两次变换矩阵的乘积仍是可逆矩阵，规范形结论与所用变换无关（惯性定理）。

21. 考点：反求矩阵 $A$（知子求母）｜难度：中

三个特征值互异，特征向量线性无关，$A$ 可对角化。$P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$\Lambda = \mathrm{diag}(1, 2, 3)$，则 $A = P\Lambda P^{-1}$。$|P| = 2$，$P^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。分两步乘：$P\Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$，再右乘 $P^{-1}$：

$A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -1 & 5 & 1 \\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

验算：$A\xi_1 = \dfrac{1}{2}(3 - 1, -1 + 1, -2 + 4)^T = (1, 0, 1)^T = 1 \cdot \xi_1$ ✓。错因提醒：$P$ 的列序与 $\Lambda$ 的对角元必须一一对应；算完必须抽查至少一个特征对。

22. 考点：相似对角化求 $A^n$（含重特征值）｜难度：中

左上二阶块 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征值为 $3, -1$，加右下角 $3$，故 $A$ 的特征值为 $\lambda = 3$（二重）、$\lambda = -1$。$A$ 实对称必可对角化。求特征向量：$\lambda = 3$：$3E - A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，得 $\xi_1 = (1, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (0, 0, 1)^T$（无关，几何重数 $2 =$ 代数重数 ✓）；$\lambda = -1$：$\xi_3 = (1, -1, 0)^T$。取

$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad \Lambda = \mathrm{diag}(3, 3, -1),\qquad P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

$A^n = P\Lambda^nP^{-1}$。先算 $P\Lambda^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 & \varepsilon \\ 3^n & 0 & -\varepsilon \\ 0 & 3^n & 0 \end{pmatrix}$（记 $\varepsilon = (-1)^n$），再右乘 $P^{-1}$ 逐行点乘：

$A^n = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3^n + \varepsilon & 3^n - \varepsilon & 0 \\ 3^n - \varepsilon & 3^n + \varepsilon & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 3^n \end{pmatrix}$

锚点校验 $n = 1$（$\varepsilon = -1$）：$\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = A$ ✓。错因提醒：$\varepsilon = (-1)^n$ 的符号随 $n$ 奇偶翻转，奇数次幂时非对角元是 $3^n + 1$ 不是 $3^n - 1$。

23. 考点：正定的抽象证明｜难度：中

证明：$A$ 正定 $\Rightarrow$ $A$ 实对称且特征值 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 全大于 $0$。

(1) $A^{-1}$：对称性 $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}$；特征值为 $\dfrac{1}{\lambda_i}$，全大于 $0$。实对称 + 特征值全正 $\Rightarrow$ 正定。

(2) $A + E$：对称性 $(A + E)^T = A^T + E = A + E$；特征值为 $\lambda_i + 1$，由 $\lambda_i > 0$ 知全大于 $0$，故正定。

另一条路（定义法，供对照）：对任意 $x \neq 0$，$x^T(A + E)x = x^TAx + x^Tx > 0 + 0 = 0$，得 $A + E$ 正定。错因提醒：抽象正定证明的两个必备动作——先证（或引用）对称性，再套充要条件（特征值全正 / 定义）；直接说"特征值全正所以正定"而跳过对称性在证明题中要扣分。

24. 考点：由标准形反求参数 + 正定性判定｜难度：难

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & b \\ 1 & 2 & b \\ b & b & 2 \end{pmatrix}$。标准形系数即特征值：$4, 1, 1$。逐条配平：$\mathrm{tr}\,A = 6 = 4 + 1 + 1$ ✓（不含 $b$）；$|A| = 4 \times 1 \times 1 = 4$。按第一行展开：

$|A| = 2(4 - b^2) - 1(2 - b^2) + b(b - 2b) = 8 - 2b^2 - 2 + b^2 - b^2 = 6 - 2b^2$

令 $6 - 2b^2 = 4$ 得 $b^2 = 1$，$b = \pm 1$。检验重根条件（$\lambda = 1$ 二重，需 $r(E - A) = 1$）：$b = 1$ 时 $E - A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ 秩 $1$ ✓；$b = -1$ 时 $E - A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ 三行成比例秩 $1$ ✓。故 $b = \pm 1$ 均符合。

正定性：无论 $b = \pm 1$，特征值均为 $4, 1, 1$ 全大于 $0$，且 $A$ 实对称，故该二次型正定。错因提醒：只算 $|A|$ 得 $b = \pm 1$ 就收尾是不完整的——重根必须验证几何重数，否则可能出现增根；正定判断直接用特征值全正（C2），不必再算顺序主子式。

25. 考点：实对称矩阵综合（正交性 + 谱分解反求）｜难度：难

第三特征值：$r(A) = 2 \Rightarrow |A| = 0 \Rightarrow \lambda_3 = 0$（且 $\lambda_3 \neq 1, 2$，否则 $r(A - E)$ 或 $r(A - 2E)$ 会把秩压到 $1$？直接由 $|A| = \prod\lambda_i = 0$ 且已有 $1, 2$ 非零，第三个只能是 $0$）。

第三特征向量：$A$ 实对称，属于不同特征值的特征向量正交，故 $\alpha_3 \perp \alpha_1$ 且 $\alpha_3 \perp \alpha_2$。解

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x_1 = -x_2,\ x_3 = x_2 \Rightarrow \alpha_3 = (-1, 1, 1)^T\ (\text{任一非零倍数})$

求 $A$（谱分解：特征向量两两正交时 $A = \sum_i \lambda_i\dfrac{\alpha_i\alpha_i^T}{\alpha_i^T\alpha_i}$）：$\alpha_1^T\alpha_1 = 2$，$\alpha_2^T\alpha_2 = 6$，$\lambda_3 = 0$ 项消失，

$A = 1 \cdot \frac{\alpha_1\alpha_1^T}{2} + 2 \cdot \frac{\alpha_2\alpha_2^T}{6} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{6} & \dfrac{5}{6} & -\dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{4}{3} \end{pmatrix}$

验算：$A\alpha_1 = \left(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6},\ \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6},\ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}\right)^T = (1, 1, 0)^T = \alpha_1$ ✓；$A\alpha_3 = \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3},\ \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3}\right)^T = (0, 0, 0)^T$ ✓。

错因提醒：第三特征向量不是任意与 $\alpha_1$ 无关的向量，必须与 $\alpha_1, \alpha_2$ 同时正交（联立两个齐次方程）；谱分解公式要求特征向量两两正交——本题靠实对称性质天然成立，一般题目需先正交化。拼 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 求 $A = P\Lambda P^{-1}$ 是等价路线，计算量更大。