考研之路

向量组与线性方程组 章节测

  • 范围：02-线性代数/03-向量组、02-线性代数/04-线性方程组；第 10、25 题涉及向量空间与正交化，标注（仅数一）
  • 题量：单选 10 + 填空 6 + 解答 9，共 25 题，建议 100 分钟内完成
  • 要求：全部题目为模拟题（按真题风格命制，非历年真题）。答案与解析在文档末尾，做完再对
  • 考后动作：错题按错因分类（概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失）回写 错题本

一、单选题

1. 设 α1=(1,2,3)T\alpha_1 = (1, 2, 3)^T，α2=(2,4,6)T\alpha_2 = (2, 4, 6)^T，α3=(1,1,1)T\alpha_3 = (1, 1, 1)^T，则向量组 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 的秩为（　）

A. 11　　B. 22　　C. 33　　D. 无法确定

2. 下列命题正确的是（　）

A. 若 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 线性相关，则 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性无关 B. 若 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性相关，则 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 线性相关 C. 若 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 线性相关，则 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性相关 D. 若 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性无关，则 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 线性相关

3. 设矩阵 A=(12324t369)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}，则（　）

A. 对任意 tt，r(A)=1r(A) = 1 B. 存在 tt 使 r(A)=3r(A) = 3 C. t=6t = 6 时 r(A)=1r(A) = 1，t≠6t \ne 6 时 r(A)=2r(A) = 2 D. t=6t = 6 时 r(A)=2r(A) = 2，t≠6t \ne 6 时 r(A)=3r(A) = 3

4. 设 AA、BB 均为 m×nm \times n 矩阵，则 r(A+B)r(A + B) 满足（　）

A. r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A + B) \le r(A) + r(B) B. r(A+B)≥r(A)+r(B)r(A + B) \ge r(A) + r(B) C. r(A+B)=r(A)+r(B)r(A + B) = r(A) + r(B) D. r(A+B)≤max⁡{r(A),r(B)}r(A + B) \le \max\{r(A), r(B)\}

5. 向量 β\beta 可由向量组 α1,α2,⋯ ,αs\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s 线性表示的充要条件是（　）

A. r(α1,⋯ ,αs)=r(β)r(\alpha_1, \cdots, \alpha_s) = r(\beta) B. r(α1,⋯ ,αs,β)=sr(\alpha_1, \cdots, \alpha_s, \beta) = s C. r(α1,⋯ ,αs)=r(α1,⋯ ,αs,β)r(\alpha_1, \cdots, \alpha_s) = r(\alpha_1, \cdots, \alpha_s, \beta) D. α1,⋯ ,αs\alpha_1, \cdots, \alpha_s 线性无关

6. 设 AA 为 4×34 \times 3 矩阵，r(A)=2r(A) = 2，则齐次方程组 Ax=0Ax = 0 的基础解系所含向量个数为（　）

A. 11　　B. 22　　C. 33　　D. 44

7. 设 AA 为 m×nm \times n 矩阵（m<nm < n），则对非齐次方程组 Ax=bAx = b，下列结论正确的是（　）

A. 必有无穷多解 B. 必有唯一解 C. 可能无解 D. 一定不能有唯一解

8. 设 η1,η2\eta_1, \eta_2 是 Ax=bAx = b（b≠0b \ne 0）的两个解，则（　）

A. η1+η2\eta_1 + \eta_2 是 Ax=0Ax = 0 的解 B. η1−η2\eta_1 - \eta_2 是 Ax=0Ax = 0 的解 C. η1−η2\eta_1 - \eta_2 是 Ax=bAx = b 的解 D. 2η1−η22\eta_1 - \eta_2 是 Ax=0Ax = 0 的解

9. 设 AA 为 3×43 \times 4 矩阵且 r(A)=2r(A) = 2，BB 为 4×54 \times 5 矩阵且 AB=OAB = O，则 r(B)r(B) 满足（　）

A. r(B)≤2r(B) \le 2 B. r(B)≤1r(B) \le 1 C. r(B)≥2r(B) \ge 2 D. r(B)=2r(B) = 2

10.（仅数一）设 α1=(1,1,0)T\alpha_1 = (1, 1, 0)^T，α2=(1,0,1)T\alpha_2 = (1, 0, 1)^T，施密特正交化中取 β1=α1\beta_1 = \alpha_1，则 β2=\beta_2 = （　）

A. (12,−12,1)T\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, 1\right)^T B. (1,0,1)T\left(1, 0, 1\right)^T C. (−12,12,1)T\left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 1\right)^T D. (12,12,−1)T\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, -1\right)^T

二、填空题

11. 设 α1=(1,0,−1)T\alpha_1 = (1, 0, -1)^T，α2=(2,1,3)T\alpha_2 = (2, 1, 3)^T，α3=(k,1,5)T\alpha_3 = (k, 1, 5)^T，若 α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 线性相关，则 k=k = ______

12. 设 AA 为 5×45 \times 4 实矩阵，r(A)=3r(A) = 3，则 r(ATA)=r(A^T A) = ______

13. 齐次方程组 x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0 的一组基础解系为 ______，通解为 ______

14. 设 η=(1,0,1)T\eta = (1, 0, 1)^T 是 Ax=bAx = b 的一个特解，ξ=(0,1,0)T\xi = (0, 1, 0)^T 是 Ax=0Ax = 0 的基础解系，则 Ax=bAx = b 的通解为 ______

15. 齐次方程组 {x1+x2+ax3=0x1+ax2+x3=0ax1+x2+x3=0\begin{cases} x_1 + x_2 + a x_3 = 0 \\ x_1 + a x_2 + x_3 = 0 \\ a x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{cases} 有非零解的充要条件是 a=a = ______

16. 两个 nn 元齐次线性方程组 (I) 与 (II) 同解的充要条件是它们的 ______ 相同（用解结构语言回答）

三、解答题

17. 设 α1=(1,0,1)T\alpha_1 = (1, 0, 1)^T，α2=(0,1,1)T\alpha_2 = (0, 1, 1)^T，α3=(1,1,2)T\alpha_3 = (1, 1, 2)^T，α4=(1,1,3)T\alpha_4 = (1, 1, 3)^T。求向量组 α1,α2,α3,α4\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 的一个极大线性无关组与秩，并用该极大无关组线性表示其余向量。

18.（含参数讨论）设方程组 {x1+x2+ax3=1x1+ax2+x3=aax1+x2+x3=a2\begin{cases} x_1 + x_2 + a x_3 = 1 \\ x_1 + a x_2 + x_3 = a \\ a x_1 + x_2 + x_3 = a^2 \end{cases}，讨论 aa 取何值时无解、唯一解、无穷多解；有无穷多解时求通解（要求无穷多情形给完整通解）。

19.（含参数讨论）设方程组 {x1+x2+x3=1x1+2x2+ax3=2x1+4x2+a2x3=4\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + 2x_2 + a x_3 = 2 \\ x_1 + 4x_2 + a^2 x_3 = 4 \end{cases}，讨论 aa 取何值时无解、唯一解、无穷多解；有无穷多解时求通解。

20.（抽象解结构）设 AA 为 4×44 \times 4 矩阵，r(A)=3r(A) = 3，η1,η2\eta_1, \eta_2 是 Ax=bAx = b（b≠0b \ne 0）的两个解，且 η1=(1,2,3,4)T\eta_1 = (1, 2, 3, 4)^T，η2=(2,3,4,5)T\eta_2 = (2, 3, 4, 5)^T。求 Ax=bAx = b 的通解。

21.（公共解）已知齐次方程组 (I) {x1+x2+x3=0x1+2x2+3x3=0\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \end{cases} 与齐次方程组 (II) 2x1−x2−ax3=02x_1 - x_2 - a x_3 = 0 有非零公共解，求 aa 及全部公共解。

22.（抽象判断）设 η∗\eta^* 是 Ax=bAx = b（b≠0b \ne 0）的解，ξ1,ξ2\xi_1, \xi_2 是 Ax=0Ax = 0 的基础解系。判断下列向量是 Ax=0Ax = 0 的解、Ax=bAx = b 的解，还是两者都不是，并说明理由： (1) ξ1+ξ2\xi_1 + \xi_2；(2) η∗+ξ1\eta^* + \xi_1；(3) 2η∗−ξ1−ξ22\eta^* - \xi_1 - \xi_2；(4) k1η∗+k2ξ1+k2ξ2k_1 \eta^* + k_2 \xi_1 + k_2 \xi_2。

23.（同解证明）设 (I) Ax=0Ax = 0 与 (II) Bx=0Bx = 0 都是 nn 元齐次方程组，且 (I) 与 (II) 同解。证明：r(A)=r(B)r(A) = r(B)；并说明逆命题是否成立，若不成立，补充一个使逆命题成立的条件并证明。

24.（AB=OAB = O 型）设 A=(111222)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}，BB 为 3×33 \times 3 矩阵且 AB=OAB = O。求 AA 的秩、Ax=0Ax = 0 解空间维数，并证明 r(B)≤2r(B) \le 2。

25.（仅数一）设 α1=(1,1,0)T\alpha_1 = (1, 1, 0)^T，α2=(0,1,1)T\alpha_2 = (0, 1, 1)^T。证明 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 是 R3\mathbb{R}^3 的一个基所张成子空间的基，并求 v=(1,2,1)Tv = (1, 2, 1)^T 在基 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 下的坐标。

四、答案速查

1-5：B C C A C　　6-10：A D B A A　　11. k=0k=0　12. 33　13. ξ1=(−1,1,0)T, ξ2=(−1,0,1)T\xi_1=(-1,1,0)^T,\ \xi_2=(-1,0,1)^T；通解 k1ξ1+k2ξ2k_1\xi_1+k_2\xi_2　14. x=(1,0,1)T+k(0,1,0)Tx=(1,0,1)^T+k(0,1,0)^T　15. a=1a=1 或 a=−2a=-2　16. 解空间（基础解系）相同

五、答案与解析

1. B。α2=2α1\alpha_2 = 2\alpha_1，向量组线性相关，α1,α3\alpha_1, \alpha_3 不成比例，故极大无关组为 {α1,α3}\{\alpha_1, \alpha_3\}，秩为 22。考点：向量组；难度：易；错因提醒：看到成比例向量立即降秩，但注意剩余向量是否还能再降（α1,α3\alpha_1,\alpha_3 无关，不能再降）。

2. C。部分组相关 ⟹ 整体相关（等价地，整体无关 ⟹ 部分无关）；反向均不成立。A 违背该定理；B 是典型逆命题错误；D 显然错误（整体无关 ⟹ 任何部分无关）。考点：向量组；难度：易；错因提醒："部分相关推整体"是单向的，逆推不成立——B 类逆命题陷阱是选择题常客。

3. C。三列均为 (1,2,3)T(1,2,3)^T 的倍数加扰动：第一、二列成比例关系由行看出——各行均为 (1,2,3)(1,2,3) 的倍数，故 r(A)≤2r(A) \le 2 且恒有 r(A)≥1r(A) \ge 1。t=6t=6 时三行全为 (1,2,3)(1,2,3) 的倍数且第二行 =2(1,2,3)=2(1,2,3)、第三行 =3(1,2,3)=3(1,2,3)，所有行成比例，r(A)=1r(A)=1；t≠6t \ne 6 时第一、二行不成比例，r(A)=2r(A)=2。考点：向量组；难度：易；错因提醒：B 选项是陷阱——行成比例结构决定了秩永远到不了 3，先看结构再算。

4. A。A+BA+B 的列向量组可由 AA 与 BB 列向量组的并线性表示，故 r(A+B)≤r(A∣B)≤r(A)+r(B)r(A+B) \le r(A \mid B) \le r(A)+r(B)。B、C 无一般结论，D 方向错误。考点：向量组·秩的不等式体系；难度：中；错因提醒：r(A+B)r(A+B) 只有上界控制 r(A)+r(B)r(A)+r(B) 与下界控制 ∣r(A)−r(B)∣|r(A)-r(B)|，等式无一般成立性——记住"和的上界、积的下界"两个方向。

5. C。β\beta 可由 α1,⋯ ,αs\alpha_1,\cdots,\alpha_s 线性表示 ⟺ 非齐次方程组 (α1,⋯ ,αs)x=β(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)x=\beta 有解 ⟺ r(α1,⋯ ,αs)=r(α1,⋯ ,αs,β)r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s) = r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s, \beta)（系数秩 = 增广秩）。A 只比较了各自秩、B 要求增广满秩且等于 ss（那是"表示且唯一"的强条件）、D 无关既不必要也不充分。考点：向量组·线性表示；难度：中；错因提醒：把"线性表示有解"翻译成"秩相等"是本章核心等价链，B 的 =s=s 混入了唯一性。

6. A。基础解系含 n−r(A)=3−2=1n - r(A) = 3 - 2 = 1 个向量。考点：线性方程组·基础解系；难度：易；错因提醒：AA 是 4×34\times3（4 个方程 3 个未知数），nn 取未知数个数 3 而不是行数 4——"行多列少"是命题人常设的方向陷阱。

7. D。m<nm < n 时 r(Aˉ)≤m≤nr(\bar{A}) \le m \le n：若 r(A)=r(Aˉ)r(A) = r(\bar{A})，因 r(A)≤m<nr(A) \le m < n 必有无穷多解——不可能唯一解，故 D 正确；但 r(Aˉ)r(\bar{A}) 也可能大于 r(A)r(A)（无解），故 A、B 均错。考点：线性方程组·秩判据；难度：中；错因提醒：区分"必有"与"可能"：未知数多于方程数排除唯一解，但不排除无解；A 是把"有解时必无穷多"偷换成"必有无穷多"。

8. B。A(η1−η2)=b−b=0A(\eta_1 - \eta_2) = b - b = 0，差是齐次解。A 给 2b≠02b \ne 0；C 给 0≠b0 \ne b；D 给 2b−b=b≠02b - b = b \ne 0——均非齐次解。考点：线性方程组·解的性质；难度：易；错因提醒：记住口诀"非齐次两解之差是齐次解；非齐次解的线性组合是非齐次解当且仅当系数和为 1"。

9. A。AB=OAB = O ⟹ BB 的每一列都是 Ax=0Ax = 0 的解，而 Ax=0Ax=0 解空间维数为 4−r(A)=24 - r(A) = 2，故 r(B)≤2r(B) \le 2（BB 的列空间含于解空间）。注意 r(A)+r(B)≤4r(A)+r(B) \le 4 也给出 r(B)≤2r(B) \le 2。考点：线性方程组·AB=OAB=O 型；难度：中；错因提醒：B 选项 r(B)≤1r(B) \le 1 误用了 3×43 \times 4 维度的数字——用"BB 的列都是解"推导时 n−r(A)n - r(A) 中的 nn 是 AA 的列数 4。

10. A。β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1\beta_2 = \alpha_2 - \dfrac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1，其中 (α2,β1)=1(\alpha_2,\beta_1) = 1，(β1,β1)=2(\beta_1,\beta_1) = 2，故 β2=(1,0,1)T−12(1,1,0)T=(12,−12,1)T\beta_2 = (1,0,1)^T - \tfrac{1}{2}(1,1,0)^T = (\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, 1)^T（可验证 (β1,β2)=12−12+0=0(\beta_1, \beta_2) = \tfrac12 - \tfrac12 + 0 = 0）。考点：向量组·施密特正交化（仅数一）；难度：易；错因提醒：投影系数的分母是 β1\beta_1 的内积而非 α1\alpha_1——本题两者恰好相同（第一步），多步正交化时就会出错。

11. k=0k = 0。三个三维向量相关 ⟺ 行列式为零：∣12k011−135∣=1(5−3)−2(0+1)+k(0+1)=k\begin{vmatrix} 1 & 2 & k \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(5-3) - 2(0+1) + k(0+1) = k，故 k=0k=0。考点：向量组；难度：易；错因提醒：向量个数 = 维数时优先算行列式，比行变换快。

12. 33。对实矩阵 AA 恒有 r(ATA)=r(A)r(A^T A) = r(A)，故为 33。考点：向量组·秩的不等式体系；难度：中；错因提醒：该等式要求 AA 是实矩阵（复矩阵不成立）；证明思路是 Ax=0Ax=0 与 ATAx=0A^TAx=0 同解。

13. ξ1=(−1,1,0)T\xi_1 = (-1, 1, 0)^T，ξ2=(−1,0,1)T\xi_2 = (-1, 0, 1)^T（任何与之等价的无关对均可）；通解 x=k1ξ1+k2ξ2x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2。自由未知量 n−r=3−1=2n - r = 3 - 1 = 2。考点：线性方程组·基础解系；难度：易；错因提醒：基础解系不唯一，但个数唯一（2 个）；阅卷写法要显式取 x2,x3x_2, x_3 为自由量再回代。

14. x=(1,0,1)T+k(0,1,0)Tx = (1, 0, 1)^T + k(0, 1, 0)^T，kk 任意。考点：线性方程组·通解结构；难度：易；错因提醒：非齐次通解 = 特解 + 齐次通解，缺一不可；只写 kξk\xi 是零分高发点。

15. a=1a = 1 或 a=−2a = -2。系数行列式 ∣11a1a1a11∣=−(a−1)2(a+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(a-1)^2(a+2)，有非零解 ⟺ 行列式为零。验证：a=1a=1 时三行相同；a=−2a=-2 时每行元素之和均为 00，(1,1,1)T(1,1,1)^T 是解。考点：线性方程组·解的判定；难度：中；错因提醒：行和相等型行列式先把各行加到第一行提公因子——(a−1)2(a-1)^2 的二重根容易因提因子失误漏掉 a=1a=1。

16. 解空间（即基础解系所张成的空间，或等价地：通解表达式）相同。严格说：(I) 与 (II) 同解 ⟺ 两者的解集合相等 ⟺ 基础解系等价。考点：线性方程组·公共解与同解；难度：中；错因提醒：同解是解集合相等，不是"秩相等"（秩相等只是必要条件，见第 23 题）。

17.（模拟题，大题）以 αi\alpha_i 为列作矩阵并初等行变换：

(α1,α2,α3,α4)=(101101111123)→r3−r1−r2(101101110001)→(101001100001)(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_1 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

主元在第 1,2,41, 2, 4 列，故 α1,α2,α4\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4 是一个极大无关组，秩为 33。由行最简形：α3=α1+α2\alpha_3 = \alpha_1 + \alpha_2（验证：(1,0,1)+(0,1,1)=(1,1,2)=α3(1,0,1)+(0,1,1) = (1,1,2) = \alpha_3 ✓）。考点：向量组·极大无关组；难度：中；错因提醒：极大无关组取"主元列"，其余向量的表示系数直接从行最简形对应列读出——不必重解方程组。

18.（模拟题，大题）系数行列式为 ∣11a1a1a11∣=−(a−1)2(a+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(a-1)^2(a+2)。

  • a≠1a \ne 1 且 a≠−2a \ne -2：行列式非零，由克拉默法则有唯一解。
  • a=1a = 1：三个方程均为 x1+x2+x3=1x_1 + x_2 + x_3 = 1（第三个为 x1+x2+x3=1x_1+x_2+x_3=1，与 a2=1a^2=1 一致），r(A)=r(Aˉ)=1<3r(A) = r(\bar{A}) = 1 < 3，无穷多解。取 x2,x3x_2, x_3 为自由量：特解 η=(1,0,0)T\eta = (1, 0, 0)^T，齐次基础解系 ξ1=(−1,1,0)T\xi_1 = (-1, 1, 0)^T，ξ2=(−1,0,1)T\xi_2 = (-1, 0, 1)^T，通解 x=η+k1ξ1+k2ξ2x = \eta + k_1\xi_1 + k_2\xi_2。
  • a=−2a = -2：Aˉ=(11−211−21−2−2114)\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}，行变换 r2−r1=(0,−3,3,−3)r_2 - r_1 = (0, -3, 3, -3)，r3+2r1=(0,3,−3,6)r_3 + 2r_1 = (0, 3, -3, 6)，两者相加得 (0,0,0,3)≠0(0,0,0,3) \ne 0，故 r(A)=2<r(Aˉ)=3r(A) = 2 < r(\bar{A}) = 3，无解。

考点：线性方程组·含参数讨论；难度：难；错因提醒：含参讨论标准流程是"先算系数行列式定分支，方阵首选行列式法"；a=1a=1 分支要回代原方程组确认（不能只看秩），a=−2a=-2 的无解证据要给出具体矛盾行（如 (0,0,0∣3)(0,0,0|3)）。

19.（模拟题，大题）系数行列式为 ∣11112a14a2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2 \end{vmatrix}（范德蒙德型）=(2−1)(a−1)(a−2)=(a−1)(a−2)= (2-1)(a-1)(a-2) = (a-1)(a-2)。

  • a≠1a \ne 1 且 a≠2a \ne 2：唯一解。
  • a=1a = 1：Aˉ=(111112121414)\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}，第 1,31, 3 列相同，r(A)=2r(A) = 2；增广阵第 22 列 (1,2,4)(1,2,4) 与第 44 列 (1,2,4)(1,2,4) 相同，r(Aˉ)=2r(\bar{A}) = 2，无穷多解。特解（取 x3=0x_3 = 0）：η=(0,1,0)T\eta = (0, 1, 0)^T；齐次解满足 x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0、x1+2x2+x3=0x_1 + 2x_2 + x_3 = 0，得 ξ=(−1,0,1)T\xi = (-1, 0, 1)^T，通解 x=η+kξx = \eta + k\xi。
  • a=2a = 2：Aˉ\bar{A} 的第 3 行 == 第 2 行系数与常数同乘 2 后……实际为 (111112221444)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}，第 3 行 =2×= 2 \times 第 2 行 −- 第 1 行，r(A)=r(Aˉ)=2r(A) = r(\bar{A}) = 2，无穷多解。特解 η=(0,1,0)T\eta = (0, 1, 0)^T；齐次基础解系 ξ=(0,−1,1)T\xi = (0, -1, 1)^T，通解 x=η+kξx = \eta + k\xi。
  • 本题不存在无解情形：增广矩阵恰为"系数矩阵每列追加同构的范德蒙列"，行列式为零时增广与系数同步降秩（范德蒙型方程组的特征），命题上常以此考"判断无解分支为空"。

考点：线性方程组·含参数讨论；难度：难；错因提醒：范德蒙型先认结构再算行列式，(2−1)(a−1)(a−2)(2-1)(a-1)(a-2) 三个根对应三个分支；"无解分支为空"必须像上面那样论证 r(Aˉ)r(\bar{A}) 同步下降，不能凭感觉说"无解不存在"。

20.（模拟题，大题）r(A)=3r(A) = 3，n=4n = 4，故 Ax=0Ax = 0 基础系含 4−3=14 - 3 = 1 个向量。η2−η1=(1,1,1,1)T≠0\eta_2 - \eta_1 = (1, 1, 1, 1)^T \ne 0 是 Ax=0Ax = 0 的非零解，单独构成基础解系。故通解：

x=η1+k(η2−η1)=(1,2,3,4)T+k(1,1,1,1)T,k∈Rx = \eta_1 + k(\eta_2 - \eta_1) = (1, 2, 3, 4)^T + k(1, 1, 1, 1)^T,\quad k \in \mathbb{R}

考点：线性方程组·抽象解结构；难度：中；错因提醒：两个已知特解只能产生一个齐次解 (η2−η1)(\eta_2 - \eta_1)；是否够用取决于 n−rn - r 恰为 1——先算基础解系个数再判断材料是否充足，缺材料时需从题设（如 r(A)=3r(A)=3）反推。

21.（模拟题，大题）先解 (I)：(111123)→(111012)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}，r=2r = 2，取 x3x_3 自由得基础解系 ξ=(1,−2,1)T\xi = (1, -2, 1)^T，(I) 的全部解为 kξk\xi。公共解须同时是 (II) 的解：代入 2x1−x2−ax3=02x_1 - x_2 - ax_3 = 0 得 2k+2k−ak=(4−a)k=02k + 2k - ak = (4 - a)k = 0。存在非零公共解 ⟺ k≠0k \ne 0 可取 ⟹ a=4a = 4。此时全部公共解为 x=k(1,−2,1)Tx = k(1, -2, 1)^T（kk 任意）。考点：线性方程组·公共解；难度：中；错因提醒：公共解 = 联立方程组的解；标准流程"先解出参数化形式的一组，代入另一组定参数"，避免直接联立四行增广矩阵的笨算法。

22.（模拟题，大题）用 Aξi=0A\xi_i = 0、Aη∗=b≠0A\eta^* = b \ne 0 逐个代入：

(1) A(ξ1+ξ2)=0+0=0A(\xi_1 + \xi_2) = 0 + 0 = 0 ⟹ 是 Ax=0Ax = 0 的解； (2) A(η∗+ξ1)=b+0=bA(\eta^* + \xi_1) = b + 0 = b ⟹ 是 Ax=bAx = b 的解； (3) A(2η∗−ξ1−ξ2)=2b−0−0=2b≠0A(2\eta^* - \xi_1 - \xi_2) = 2b - 0 - 0 = 2b \ne 0 且 2b≠b2b \ne b（因 b≠0b \ne 0）⟹ 两者都不是； (4) A(k1η∗+k2ξ1+k2ξ2)=k1bA(k_1\eta^* + k_2\xi_1 + k_2\xi_2) = k_1 b：k1=0k_1 = 0 时是 Ax=0Ax = 0 的解；k1=1k_1 = 1 时是 Ax=bAx = b 的解；其余情形两者都不是。

考点：线性方程组·解的性质；难度：中；错因提醒：此类题不靠记忆结论，全部用 A(⋅)A(\cdot) 代入展开——"组合系数之和是否为 1/0"只对"全由非齐次特解组合"的情形适用，混合齐次解时务必逐项验证。

23.（模拟题，大题）证明：同解 ⟹ 解集合相等 ⟹ 解空间相同 ⟹ 维数相等：n−r(A)=n−r(B)n - r(A) = n - r(B)，故 r(A)=r(B)r(A) = r(B)。

逆命题不成立：反例——(I) x1=0x_1 = 0（n=2n = 2，基础解系 (0,1)T(0,1)^T，r=1r = 1），(II) x2=0x_2 = 0（基础解系 (1,0)T(1,0)^T，r=1r = 1）。秩相等但解集不同，不同解。

补充条件："(II) 的解都是 (I) 的解"（即 (I) 的解集 ⊇ (II) 的解集）。证明：设 (I)、(II) 的解空间分别为 W1,W2⊆RnW_1, W_2 \subseteq \mathbb{R}^n，条件给出 W2⊆W1W_2 \subseteq W_1；又 dim⁡W1=n−r(A)=n−r(B)=dim⁡W2\dim W_1 = n - r(A) = n - r(B) = \dim W_2，子空间包含且维数相等 ⟹ W1=W2W_1 = W_2，即同解。∎

考点：线性方程组·同解；难度：难；错因提醒："秩相等 + 单向包含 ⟹ 同解"是同解类大题的标准武器；直接证明"解集相等"往往无从下手，翻译成子空间语言后维数论证一步到位。

24.（模拟题，大题）AA 的两行成比例（第 2 行 =2×= 2 \times 第 1 行），故 r(A)=1r(A) = 1；Ax=0Ax = 0 即 x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0，解空间维数 =n−r(A)=3−1=2= n - r(A) = 3 - 1 = 2。

设 B=(β1,β2,β3)B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)，AB=OAB = O 即 Aβj=0A\beta_j = 0（j=1,2,3j = 1,2,3），每个 βj\beta_j 都是 Ax=0Ax = 0 的解，故 BB 的列空间 ⊆\subseteq 解空间（维数 2），于是

r(B)=dim⁡{β1,β2,β3 的全体线性组合}≤dim⁡(解空间)=2.■r(B) = \dim\{\beta_1,\beta_2,\beta_3 \text{ 的全体线性组合}\} \le \dim(\text{解空间}) = 2. \qquad \blacksquare

考点：线性方程组·AB=OAB=O 型；难度：中；错因提醒：AB=OAB=O 有两条等价出路——"BB 的列是 Ax=0Ax=0 的解"与"r(A)+r(B)≤nr(A)+r(B) \le n"；前者更能揭示结构（可进一步写出 BB 的构造），后者是快速估值工具，大题证明建议用前者。

25.（模拟题，仅数一）α1,α2\alpha_1, \alpha_2 不成比例 ⟹ 线性无关，故是 V=span{α1,α2}V = \text{span}\{\alpha_1, \alpha_2\} 的一组基（二维子空间）。设 v=xα1+yα2v = x\alpha_1 + y\alpha_2，按分量展开：

x(110)+y(011)=(xx+yy)=(121)  ⟹  x=1, y=1, x+y=2✓x \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ x + y \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \implies x = 1,\ y = 1,\ x + y = 2 \checkmark

故 vv 在基 α1,α2\alpha_1, \alpha_2 下的坐标为 (1,1)T(1, 1)^T。考点：向量组·向量空间与坐标（仅数一）；难度：易；错因提醒：求坐标即解"基矩阵 × 坐标 = 向量"的线性方程组；三个方程两个未知数出现矛盾时说明 vv 不在该子空间内——本题为交待"验证一致"而设，实际解题时该验证不可省略。

六、小结与回炉指引

考点块对应题号
线性相关无关与判定1、2、3、11
秩与极大无关组、表示4、5、12、17
基础解系与通解结构6、13、14、20、22
解的判定与含参讨论7、15、18、19
公共解与同解16、21、23
AB=OAB = O 型9、24
向量空间（仅数一）10、25

含参讨论错 18/19 的回 04-线性方程组 的"含参数方程组的讨论"小节；抽象解结构错 20/22 的回该章"抽象方程组解的结构题套路"小节；秩不等式错 4/12/24 的回 03-向量组 的"秩的不等式体系"小节。