考研之路

数据的表示和运算

考点定位

  • 大纲章节：数制与编码、定点数表示与运算、浮点数表示与运算（IEEE 754）、算术逻辑单元
  • 常见题型：选择题密集（进制/校验码/范围/溢出/IEEE 754 互转），大题热点是 IEEE 754 表示与浮点运算流程
  • 考查频率：高（408 计组部分最高频的章节之一，几乎每年 4-6 分）
  • 工程师读者注意：你天天用补码和 float，但考试考手算全流程与教材口径的术语（左规/右规/对阶/溢出判断），坑全在细节

一、进制转换与编码

1.1 进制转换

整数部分除 2 取余（倒序），小数部分乘 2 取整（顺序）。工程师对整数转换无压力，重点是小数的精度陷阱。

小数转换的精度陷阱：多数十进制小数无法精确表示为有限位二进制。

例：0.6→0.6×2=1.20.6 \to 0.6\times2=1.2（取 1）→0.2×2=0.4\to 0.2\times2=0.4（取 0）→0.4×2=0.8\to 0.4\times2=0.8（取 0）→0.8×2=1.6\to 0.8\times2=1.6（取 1）→\to 回到 0.60.6，开始循环：0.6=0.1001 1001 …20.6 = 0.1001\,1001\,\dots_2，是无限循环小数。

选择题问法："十进制 0.6 用二进制表示时是……"答：无限循环小数，无法精确表示。能精确表示的十进制小数分母须为 2 的幂（如 0.5、0.75、0.0625）。

转换链套路：十进制 ↔ 二进制 ↔ 十六进制。八进制/十六进制与二进制按 3 位/4 位一组直转，nn 位十六进制对应 4n4n 位二进制。

1.2 BCD 码（8421 码）

每 4 位二进制表示 1 位十进制数字。十进制 59 → 0101 1001。

加法修正规则：两位 BCD 相加若某组结果 > 1001（即 > 9）或产生进位，则该组 +0110（+6）修正。

例：BCD 计算 9+89+8：1001+1000=1 00011001+1000=1\,0001，低 4 位为 0001 且有进位，需修正：1 0001+0110=1 01111\,0001+0110=1\,0111，即 0001 0111 = 17。

陷阱：BCD 码中 1010~ 1111 六种组合非法；"8421 码是有权码、余 3 码是无权码"是常考对比。

1.3 字符编码（ASCII）与校验位

  • 7 位编码共 128 字符；数字 '0' = 30H，大写 'A' = 41H，小写 'a' = 61H（大小写相差 20H，即第 5 位不同）。
  • 数字字符的 ASCII 低 4 位即该数字的 BCD 码（'5' = 35H）。

校验位计算：如 'A' = 1000001（7 位，含两个 1），配奇校验（使整个码字中 1 的个数为奇数）时校验位 = 1；配偶校验时校验位 = 0。考法常给一个字符让你算奇/偶校验位，或给含校验位的码判断是否出错。

二、校验码

2.1 奇偶校验

  • 添加 1 位使码字中 1 的个数为奇（奇校验）或偶（偶校验）。
  • 能力：检测 1 位（奇数位）错，不能纠错，不能检测偶数位错。
  • 码距（汉明距离）为 2。

2.2 码距与检错纠错能力（必背结论）

设码距为 dd：

  • 检测 ee 位错：d≥e+1d \ge e+1
  • 纠正 tt 位错：d≥2t+1d \ge 2t+1
  • 同时检 ee 纠 tt（e>te>t）：d≥e+t+1d \ge e+t+1

典型：纠 1 位错需码距至少 3；检 2 位错需码距至少 3；检 1 纠 1 需码距至少 4？——注意口径：只纠 1 位错是 d≥3d\ge3；"同时检 2 并纠 1"需 d≥2+1+1=4d \ge 2+1+1 = 4。题目常在 3 和 4 之间挖坑，看清楚问的是"仅纠 1"还是"又检又纠"。

2.3 海明码（汉明码）

校验位位数确定：信息位 nn 位，校验位 kk 位，须满足

2k≥n+k+12^k \ge n+k+1

速查：n=4→k=3n=4 \to k=3（23=8≥82^3=8\ge8）；n=8→k=4n=8 \to k=4（24=16≥132^4=16\ge13）；n=16→k=5n=16 \to k=5。

分组规则：校验位放在 2i2^i 号位置（第 1、2、4、8…位），第 jj 号信息位由其二进制展开中含 2i2^i 的那些校验位覆盖（第 3 位 = 1+2，被 P1,P2P_1,P_2 覆盖；第 5 位 = 1+4；第 6 位 = 2+4；第 7 位 = 1+2+4）。

分步演示【待动画化】：信息位 1010，按偶校验海明编码，n=4,k=3n=4,k=3，码字 7 位：

  1. 布局：位置 3、5、6、7 放信息位（按约定次序）D3=1,D5=0,D6=1,D7=0D_3=1, D_5=0, D_6=1, D_7=0
  2. 求 P1P_1（覆盖 1、3、5、7 位）：P1=1⊕0⊕0=1P_1 = 1 \oplus 0 \oplus 0 = 1
  3. 求 P2P_2（覆盖 2、3、6、7 位）：P2=1⊕1⊕0=0P_2 = 1 \oplus 1 \oplus 0 = 0
  4. 求 P4P_4（覆盖 4、5、6、7 位）：P4=0⊕1⊕0=1P_4 = 0 \oplus 1 \oplus 0 = 1
  5. 码字（第 1→7 位）：1 0 1 1 0 1 01\,0\,1\,1\,0\,1\,0

纠错演示【待动画化】：接收方收到 1 0 1 1 1 1 01\,0\,1\,1\,1\,1\,0（第 5 位 0→1 出错）：

  1. S1=S_1 = 第 1,3,5,7 位异或 =1⊕1⊕1⊕0=1= 1\oplus1\oplus1\oplus0 = 1
  2. S2=S_2 = 第 2,3,6,7 位异或 =0⊕1⊕1⊕0=0= 0\oplus1\oplus1\oplus0 = 0
  3. S4=S_4 = 第 4,5,6,7 位异或 =1⊕1⊕1⊕0=1= 1\oplus1\oplus1\oplus0 = 1
  4. 伴随式 S4S2S1=1012=5S_4S_2S_1 = 101_2 = 5，第 5 位出错，取反即纠正

能力结论：纠 1 位错或检（不纠）2 位错，标准海明码码距为 3；增设总体校验位后可"检 2 纠 1"（ SEC-DED ，实际内存 ECC 的做法）。

2.4 循环冗余校验（CRC）

发送方：信息位左移 rr 位（rr = 生成多项式最高次数，即除数位数减 1），用模 2 除法（异或，不借位）除以生成多项式对应位串，余数即 FCS，拼接在信息位后。接收方用同一多项式除整个码字，余数非 0 即出错。

模 2 除法分步演示【待动画化】：信息位 1010，生成多项式 G(x)=x3+x+1G(x) = x^3+x+1，对应除数 1011，r=3r=3：

被除数 = 1010 后补 3 个 0 = 1010000。

步骤当前余数窗口商位异或对象结果
11010110110001，落下一位得 0010
20010000000010，落下一位得 0100
30100000000100，落下一位得 1000
41000110110011，位数用尽

余数 = 011，即 FCS。发送码字 = 1010 011。自检：1010011 ÷ 1011 余 0。

注意：模 2 除法每一位运算都是异或、不进位不借位；"当前窗口最高位是 0 就商 0、异或全 0"这一步最容易漏做导致错位。

三、定点数的表示

3.1 四种机器码对比（含 1 位符号、nn 位数值，以 8 位整数为例）

四种码都是把真值（带正负号的实际数值）编码为机器数，编码规则（严格定义）：

  • 原码 [x]原[x]_原：符号位（0 正 1 负）+ 绝对值的二进制。如 x=−45x=-45（8 位）：[x]原=1010 1101[x]_原 = 1010\,1101。
  • 反码 [x]反[x]_反：正数与原码相同；负数 = 符号位不变、数值位按位取反。
  • 补码 [x]补[x]_补：正数与原码相同；负数 = 其反码末位加 1。等价定义：[x]补=2n+x[x]_补 = 2^n + x（模 2n2^n 加上真值，做同余映射），这是补码能把减法统一为加法的原因。
  • 移码 [x]移[x]_移：[x]移=2n+x[x]_移 = 2^n + x（真值加偏置量 2n2^n），与补码数值位完全相同、仅符号位相反；移码的编码顺序与无符号数大小顺序一致，故用于浮点阶码的比较。
码制0 的表示表示范围（8 位）特点
原码两个（00000000 / 10000000）−(27−1)∼27−1-(2^7-1) \sim 2^7-1（-127~127）乘除方便，加减复杂
反码两个（00000000 / 11111111）−127∼127-127 \sim 127负数=按位取反，很少实用
补码唯一（00000000）−27∼27−1-2^7 \sim 2^7-1（-128~127）加减统一，多表示一个最小负数
移码唯一（10000000 表示 0）−128∼127-128 \sim 127用于浮点阶码，便于比较大小

一般化（整数，1 符号 + nn 数值）：原码/反码 ±(2n−1)\pm(2^n-1)；补码/移码 −2n∼2n−1-2^n \sim 2^n-1。

必背结论：

  • 补码与移码数值位完全相同，仅符号位相反：[x]移=[x]补[x]_移 = [x]_补 符号位取反。如 x=−1x=-1：[x]补=FFH[x]_补=FFH，[x]移=7FH[x]_移=7FH（8 位，偏置 27=1282^7=128，−1+128=127=0111 1111-1+128=127=0111\,1111）。
  • 由 [x]补[x]_补 快速求 [−x]补[-x]_补：连同符号位一起取反加 1。
  • 补码算术右移：符号位不变，数值位右移（相当于除以 2 向负无穷取整，−5≫1=−3-5 \gg 1 = -3）。
  • 真值 x 与补码的互推：负数 x=−(2n−数值位按位取反后加1的值)x = -(2^n - \text{数值位按位取反后加}1\text{的值})，考场速算用"取反加一加负号"。

3.2 补码加减与溢出判断

补码加法：符号位一起参与运算；减法转加法：[X−Y]补=[X]补+[−Y]补[X-Y]_补 = [X]_补 + [-Y]_补。

溢出判断三种方法（只有同号相加才可能溢出，异号相加必不溢出）：

  1. 单符号位进位异或：溢出 = 符号位产生的进位 CsC_s ⊕ 最高数值位向符号位的进位 C1C_1。两者不同则溢出。
  2. 双符号位（变形补码）：用两位符号位运算，结果符号位 00 正确（正）、11 正确（负）、01 正溢出、10 负溢出（第一符号位永远是正确符号）。
  3. 操作数与结果符号：同号操作数相加结果符号相反则溢出。

分步演示：8 位补码 86+4286 + 42：

  1. 86=0101 011086 = 0101\,0110，42=0010 101042 = 0010\,1010（均为正数）
  2. 相加：0101 0110+0010 1010=1000 00000101\,0110 + 0010\,1010 = 1000\,0000
  3. 结果符号位为 1 而操作数均为正 → 正溢出（真值 128 超出 −128∼127-128\sim127）
  4. 双符号位验算：00∣01010110+00∣00101010=01∣0000000000|01010110 + 00|00101010 = 01|00000000，符号 01 → 正溢出，一致

负溢出示例：−100+(−100)-100 + (-100)：−100=1001 1100-100 = 1001\,1100，相加 =1 0011 1000= 1\,0011\,1000，丢进位得 0011 1000=560011\,1000 = 56，两负得正 → 负溢出；双符号位：11∣0011100+11∣0011100=10∣011100011|0011100 + 11|0011100 = 10|0111000，符号 10 → 负溢出。

快速判断技巧：先估算真值是否落在表示范围内，再套公式验证——比纯位级判断更稳。

3.3 乘除（了解即可）

原码一位乘、补码一位乘（Booth）、除法（恢复余数/加减交替）近年以选择考概念（部分积、符号处理）为主，大题概率低，掌握"Booth 算法根据相邻两位判断加减"即可。

3.4 符号扩展与位截断（选择题高频）

  • 原码扩展：符号位不动，数值位高位补 0。
  • 补码扩展：高位补符号位（正数补 0、负数补 1），值不变。速记：补码的"1 前缀"对负数是无数个符号位，截多长都不变值。
  • 截断（长 → 短）：直接丢弃高位、保留低位，剩余位按新类型重新解释，值通常改变。

例：8 位 [x]补=1110 0010[x]_补 = 1110\,0010（真值 −30-30）扩展为 16 位：1111 1111 1110 00101111\,1111\,1110\,0010（= FFE2H，真值仍为 −30-30：65536−30=65506=FFE2H65536-30=65506=\text{FFE2H}）。

考法：给 8 位补码问 16 位扩展后的十六进制；或问"[x]补=92H[x]_补 = 92H，将其作为 16 位数的低 8 位并符号扩展，高 8 位是多少"（92H 最高位 1 → 高 8 位 FFH）。

四、浮点数与 IEEE 754

4.0 浮点数的一般格式与规格化

IEEE 754 之前先建立一般模型：浮点数 = 阶码 + 尾数，即

N=M×rEN = M \times r^E

  • 阶码 EE：用定点整数表示（补码或移码），其位数决定表示范围；尾数 MM：用定点小数表示（补码或原码），其位数决定表示精度；rr 为基数（机器内常取 2）。
  • 规格化数：尾数最高数值位为有效数字的浮点数，目的是统一表示形式、保留最多有效位。判据：原码尾数 12≤∣M∣<1\frac{1}{2} \le |M| < 1（形如 0.1xx…0.1xx\ldots）；补码尾数的符号位与最高数值位相反（正数 0.1xx…0.1xx\ldots，负数 1.0xx…1.0xx\ldots）——符号位与最高数值位相同（0.0xx0.0xx 或 1.1xx1.1xx）即为非规格化，需左规（见 4.4）。
  • IEEE 754 用隐含最高位 1 强制尾数规格化，并保留阶码全 0 / 全 1 编码特殊值（含另一类"非规格化数"，见 4.2 表）。

4.1 格式（必背）

格式总位数符号 S阶码 E（含偏置）尾数 M偏置值
单精度 float321823127
双精度 double64111521023

位排列（单精度）：

3130 … 2322 … 0
S阶码 E（8 位）尾数 M（23 位）

规格化数的真值：

N=(−1)S×1.M×2E−127(单精度)N = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E-127} \quad (\text{单精度})

注意 1.M1.M 的"1"是隐含位，不占存储，这是 IEEE 754 多一位精度的来源。

4.2 特殊值（必背，选择题高频）

阶码 E尾数 M含义
全 0全 0±0\pm0（符号位区分正负零）
全 0非全 0非规格化数，隐含位是 0：N=(−1)S×0.M×2−126N = (-1)^S \times 0.M \times 2^{-126}
全 1全 0±∞\pm\infty
全 1非全 0NaN

单精度规格化数范围：2−126∼(2−2−23)×21272^{-126} \sim (2-2^{-23}) \times 2^{127}。阶码真值范围 −126∼+127-126 \sim +127（全 0、全 1 被特殊值占用）。

4.3 十进制 → IEEE 754 全流程【待动画化】

例：将 −12.75-12.75 转为单精度十六进制。

  1. 整数/小数分开转二进制：12=1100212 = 1100_2；0.75=0.1120.75 = 0.11_2（0.75×2=1.50.75\times2=1.5 取 1，0.5×2=1.00.5\times2=1.0 取 1）；故 −12.75=−1100.112-12.75 = -1100.11_2
  2. 规格化：−1100.11=−1.1001 12×23-1100.11 = -1.1001\,1_2 \times 2^3，得 S=1S=1，尾数（去隐含 1）=1001 1= 1001\,1
  3. 算阶码：E=3+127=130=1000 00102E = 3 + 127 = 130 = 1000\,0010_2
  4. 拼位：1 ∣ 10000010 ∣ 1001 1000 0000 0000 0000 0001\ |\ 10000010\ |\ 1001\,1000\,0000\,0000\,0000\,000（尾数右补 0 至 23 位）
  5. 转十六进制：按 4 位分组 1100 0001 0100 1100 ⋯=C14C0000H1100\,0001\,0100\,1100\,\dots = \text{C14C0000H}

反向：0x41C80000 = ?

  1. 展开二进制：0100 0001 1100 1000 0000 0000 0000 00000100\,0001\,1100\,1000\,0000\,0000\,0000\,0000
  2. 拆分：S=0S=0；E=1000 00112=131E = 1000\,0011_2 = 131；M=100 1000…0M = 100\,1000\dots0
  3. 阶码真值 =131−127=4= 131-127 = 4；尾数 =1.10012= 1.1001_2
  4. N=+1.10012×24=110012=25.0N = +1.1001_2 \times 2^4 = 11001_2 = 25.0

4.4 浮点四则运算流程（大题模板）

加/减五步：对阶 → 尾数运算 → 规格化 → 舍入 → 判溢出。

  1. 对阶：小阶向大阶看齐，阶小的尾数右移（每移 1 位阶加 1）。为什么不能大阶向小阶？——尾数左移会丢失高位有效数字，右移只丢低位，损失更小。
  2. 尾数运算：按补码（或教材口径的原码/补码体系）加减。
  3. 规格化：
    • 右规：尾数溢出（如出现 1x.xxxx1x.xxxx 或双符号位异常，∣尾数∣>1|尾数|>1）时尾数右移 1 位、阶加 1。右规可能引发阶码上溢。
    • 左规：尾数非规格化（补码下符号位与最高数值位相同，即形如 0.0xx0.0xx 或 1.1xx1.1xx）时尾数左移、阶减 1，直到规格化。左规可能引发阶码下溢（下溢一般按机器零处理，不算严重错误）。
  4. 舍入：右移丢位时处理精度。IEEE 754 默认就近舍入（向偶数舍入， round to nearest even ）：丢位后若超出半程则进位，恰为半程（丢弃部分 = 100…0）则使尾数最低位凑成偶数；另有朝 +∞+\infty、朝 −∞-\infty、朝 0（截断）三种定向舍入。
  5. 判溢出：溢出的判定只看阶码是否溢出，尾数溢出不算真溢出（可通过右规挽救）。阶码上溢 → 异常/无穷；下溢 → 按机器零。

乘除：阶码相加/相减（减去偏置修正——两数偏置加了两次，单精度须再减 127），尾数相乘/相除，其余步骤同上。

对阶计算示例：x=201×0.1101x = 2^{01} \times 0.1101，y=211×0.1010y = 2^{11} \times 0.1010，求 x+yx+y（阶码 3 位含符号口径）：

  1. 对阶：xx 阶小，xx 尾数右移 2 位：x=211×0.0011x = 2^{11} \times 0.0011（01 丢弃，此处先不精究舍入）
  2. 尾数相加：0.0011+0.1010=0.11010.0011 + 0.1010 = 0.1101
  3. 结果 211×0.11012^{11} \times 0.1101 已规格化，无溢出

五、C 语言中的数据类型转换（真题高频）

工程师天天写隐式转换，考试考的是位级口径——位模式变不变、值怎么变：

转换方向位模式值
同长度 signed ↔ unsigned不变解释改变
长整型 → 短整型保留低位、截断高位通常改变
int → float/double重新编码为 IEEE 754可能损失精度
float/double → int重新编码为补码小数截断（向零取整）
double → float重新编码舍入，可能溢出为 ±∞
  1. 有符号 ↔ 无符号：(unsigned)(-1) = FFFFFFFFH = 4294967295。比较运算中有一方是无符号数，另一方也被转为无符号解释：int i=-1; unsigned u=1; 则 i < u 为假。
  2. int → float：float 尾数有效位仅 24（隐含 1 + 23），而 int 有 31 个数值位，∣x∣>224|x| > 2^{24} 的整数不能全部精确表示；int → double（53 位有效）总能精确。
  3. float/double → int：小数部分截断（向零舍入），1.9→11.9 \to 1、−1.9→−1-1.9 \to -1；超出 int 范围时结果无意义（超界）。
  4. char 的符号性：C 标准未定义，408 教材口径按补码（有符号）处理。

典型判断：float f = 16777217;（224+12^{24}+1）实际存储值为 1677721616777216（224+12^{24}+1 恰在 2242^{24} 与 224+22^{24}+2 中点，向偶数舍入取 2242^{24}），故 f == 16777216 为真。

例题

例题 1（模拟题） 求信息位 8 位的海明码所需校验位数。

解：2k≥8+k+12^k \ge 8+k+1：k=3k=3 时 8≥128 \ge 12 不成立；k=4k=4 时 16≥1316 \ge 13 成立。答案 4。

例题 2（模拟题） 信息位 1100，生成多项式 G(x)=x3+x+1G(x)=x^3+x+1（1011），求 CRC 码字。

解：被除数 1100000。模 2 除：1100 ⊕ 1011 = 0111，落下 0 得 1110；1110 ⊕ 1011 = 0101，落下 0 得 1010；1010 ⊕ 1011 = 0001，落下 0 得 0010（最高位 0，商 0）。余数 010，码字 = 1100 010。自检：1100010 ÷ 1011 余 0。

例题 3（模拟题） 8 位补码 80H、FFH 分别表示的真值？

解：80H = 1000 0000，符号位 1、数值位取反加一 = 1000 0000=1281000\,0000 = 128，故真值 −128-128（最小负数，唯一没有对应正数的补码）；FFH = 1111 1111 → 取反加一 = 1，真值 −1-1。

例题 4（模拟题） 判断 8 位补码运算 86+4286+42 是否溢出并说明方法。

解：见 3.2 分步演示，正溢出；双符号位结果 01（正溢出），单符号位进位异或 0⊕1=10 \oplus 1 = 1 也判定溢出，两种方法一致。

例题 5（模拟题） 将 25.025.0 转为 IEEE 754 单精度十六进制，并反向验证。

解：见 4.3 反向示例，25.0=0x41C8000025.0 = 0x41C80000。

例题 6（模拟题） float 变量能否精确存储 0.10.1？能否精确存储 0.250.25？

解：0.10.1 的二进制为无限循环（0.000 1100 1100…20.000\,1100\,1100\dots_2），不能精确；0.25=2−20.25 = 2^{-2}，分母是 2 的幂，能精确（S=0,E=125=0111 1101,M=0S=0, E=125=0111\,1101, M=0，即 0x3E800000）。

例题 7（模拟题） int i = -1; unsigned u = 1; 判断 i < u 的结果并解释。

解：为假。i 被提升为无符号解释，FFFFFFFH = 4294967295 > 1。位模式一字未改，只是"贴的标签"变了——这正是本章"表示"与"值"分离的核心。

例题 8（模拟题） 8 位补码 92H 符号扩展为 16 位，结果的十六进制是多少？

解：92H = 1001 0010，最高位（符号位）为 1，是负数，扩展时高位补 1：高 8 位 FFH，结果 FF92H（真值 −(65536−65426)=−110-(65536-65426) = -110；验证：92H 无符号值 146，146−256=−110146-256=-110 ✓）。

常见坑

  1. 对阶方向：小阶向大阶（小阶尾数右移）。记忆锚：低个子向高个子看齐，蹲下（右移）比踮脚（左移）安全。
  2. 右规与左规的时机：尾数绝对值 > 1 → 右规（可能阶上溢）；尾数非规格化（符号位与首位数值位相同）→ 左规（可能阶下溢）。考试最爱混着考"尾数溢出 = 浮点溢出"这个错误说法——尾数溢出可右规挽救，阶码溢出才是浮点溢出。
  3. 双符号位 01 是正溢出、10 是负溢出（不是反的）；01/10 里第一位才是真实符号。
  4. 海明码 2k≥n+k+12^k \ge n+k+1 别忘"+1"；CRC 补 0 个数 = 生成多项式最高次幂（位数减一），不是位数。
  5. IEEE 754 阶码全 0/全 1 有特殊含义：规格化数阶码真值范围是 −126∼127-126\sim127，不是 −127∼128-127\sim128。
  6. 移码 = 补码符号位取反，但只适用于同一偏置口径；float 的 E 直接就是移码。
  7. 8 位补码范围 −128∼127-128\sim127：−128-128 有、+128+128 无；问"[x]补=80H[x]_补=80H 再取负"是无解陷阱。
  8. 奇校验/偶校验 vs 奇偶位数值：偶校验位等于信息位异或（使总数为偶），别记反。
  9. 有符号与无符号比较：一方无符号则双方按无符号解释，-1 < 1u 为假——工程上未必踩坑（编译器告警），考试专考这一条。
  10. int → float 可能丢精度（float 只有 24 位有效），int → double 不会（53 > 31）；"整型转浮点一定精确"是错误选项常客。

自测

  1. 十进制 0.625 转二进制小数，结果是什么？
  2. 信息位 16 位，海明码校验位至少几位？
  3. CRC 中"模 2 除法"与普通除法的本质区别是什么？
  4. 8 位机器中，[x]移=00H[x]_移 = 00H 对应的真值是多少？
  5. IEEE 754 单精度 0x7F800000 和 0xFFC00000 各代表什么？
  6. 浮点加减中，什么情况左规、什么情况右规？为什么对阶只能小向大？
  7. 为什么 int 转 double 不丢精度，转 float 却可能丢？

自测答案与简析

  1. 0.625×2=1.250.625\times2=1.25（1），0.25×2=0.50.25\times2=0.5（0），0.5×2=1.00.5\times2=1.0（1）→ 0.10120.101_2，可精确表示。
  2. 25=32≥16+5+1=222^5=32 \ge 16+5+1=22，而 k=4k=4 时 16<2116<21，故 5 位。
  3. 模 2 除法每步做异或、不进位不借位，也不比较大小（首 1 即商 1）。
  4. 0−128=−1280 - 128 = -128（移码 00H = 补码 80H = 真值 −128，移码最小值）。
  5. 前者阶码全 1、尾数全 0、符号 0 → +∞+\infty；后者阶码全 1、尾数非 0 → NaN（符号位对 NaN 无意义）。
  6. 尾数溢出（|尾数|>1）右规（尾数右移阶加 1）；尾数非规格化左规（尾数左移阶减 1）。大阶向小阶需尾数左移，会丢失高位有效位，故只能小阶向大阶。
  7. double 尾数有效位 53 位 > int 的 31 个数值位，足以放下；float 只有 24 位有效位，∣x∣>224|x| > 2^{24} 的整数放不下。